मान लीजिए $f$ एक ऐसा फलन है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए अवकलनीय है। यदि $f(2) = -4$ और सभी $x \in [2, 4]$ के लिए $f^{\prime}(x) \geq 6$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ एक तीन बार अवकलनीय फलन है जैसे कि $f(0)=0, f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2$ और $f(4)=-2$ है। तो,$(3 f^{\prime} f^{\prime \prime} + f f^{\prime \prime \prime})(x)$ के शून्यकों की न्यूनतम संख्या .................... है।

मान लीजिए कि $f(x)$,$[0, 2]$ में माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) की सभी शर्तों को संतुष्ट करता है। यदि $f(0) = 0$ और $[0, 2]$ में सभी $x$ के लिए $|f'(x)| \le \frac{1}{2}$ है,तो:

फलन $f(x) = |x - 2| + |x - 5|, x \in R$ पर विचार करें।
कथन-$1$: $f'(4) = 0$.
कथन-$2$: $f$,$[2, 5]$ में सतत है,$(2, 5)$ में अवकलनीय है और $f(2) = f(5)$ है।

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है,$(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

मान लीजिए $f:[1,3] \rightarrow R$ एक सतत फलन है जो $(1,3)$ में अवकलनीय है और सभी $x \in(1,3)$ के लिए $f^{\prime}(x)=|f(x)|^{2}+4$ है। तो,