मान लीजिए f(x) = max {x + |x|, x - [x]},जहाँ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।$x \in [-3, 0)$ के

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$\frac{21}{2}$

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(B) दिया गया है $f(x) = \max \{x + |x|, x - [x]\}$.हम जानते हैं कि $x - [x] = \{x\}$,जहाँ $\{x\}$ का अर्थ $x$ का भिन्नात्मक भाग है।$x \in [-3, 0)$ के लिए,$x + |x| = x - x = 0$. चूँकि $\{x\} \ge 0$,इसलिए $f(x) = \max \{0, \{x\}\} = \{x\}$.$x \in [0, 3]$ के लिए,$x + |x| = x + x = 2x$. चूँकि $x \ge 0$ के लिए $2x \ge \{x\}$,इसलिए $f(x) = 2x$.अब,समाकलन की गणना करें:$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \int_{-3}^0 \{x\} \, dx + \int_0^3 2x \, dx$$\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = \int_{-3}^0 (x - [x]) \, dx$. चूँकि $n$ लंबाई के अंतराल पर भिन्नात्मक भाग का समाकलन $\frac{n}{2}$ होता है,इसलिए $\int_{-3}^0 \{x\} \, dx = 3 	imes \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.$\int_0^3 2x \, dx = [x^2]_0^3 = 9 - 0 = 9$.अतः,$\int_{-3}^3 f(x) \, dx = \frac{3}{2} + 9 = \frac{21}{2}$.

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