मान लीजिए f अंतराल [a, b] पर एक सतत अवकलनीय फ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (

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किसी $x \in(a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x) = 0$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $f$ अंतराल $[a, b]$ पर सतत है और $(a, b)$ पर अवकलनीय है,जहाँ $f(a)=0$ और $f(b)=0$ है। रोले के प्रमेय के अनुसार,कम से कम एक $c \in (a, b)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime}(c)=0$ है। चूँकि $f^{\prime}(a)=0$ और $f^{\prime}(c)=0$ है,और $f^{\prime}$ अंतराल $[a, c]$ पर सतत है तथा $(a, c)$ पर अवकलनीय है,इसलिए हम अंतराल $[a, c]$ पर $f^{\prime}$ के लिए रोले का प्रमेय लागू कर सकते हैं। अतः,कम से कम एक $k \in (a, c)$ ऐसा विद्यमान है कि $f^{\prime \prime}(k)=0$ है। चूँकि $(a, c) \subset (a, b)$,इसलिए किसी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime \prime}(x)=0$ होगा।

मान लीजिए $f$ अंतराल $[a, b]$ पर एक सतत अवकलनीय फलन है और $(a, b)$ पर दो बार अवकलनीय है,इस प्रकार कि $f(a)=f^{\prime}(a)=0$ और $f(b)=0$ है। तब:

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सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ के लिए,जहाँ $f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0$ है,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

निम्नलिखित में से कौन सा फलन दिए गए अंतराल में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है?

मान लीजिए $f(x) = e^x \cos x + 1$. निम्नलिखित में से कौन सा कथन हमेशा सत्य है?

अंतराल $[1, 3]$ पर फलन $f(x) = \log_e x$ के लिए माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार $c$ का क्या मान होगा?

यदि $f(x)=|x-2|, x \in[0,4]$ है,तो इस फलन के लिए रोले का प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता क्योंकि

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