सरल रेखा $x-2y+1=0$ से $\sqrt{5}$ की दूरी और रेखा $2x+3y-1=0$ से $\sqrt{13}$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं की संख्या क्या है?

समतल में $y=x+r$ और $y=-x+r$ द्वारा दी गई चौदह रेखाओं पर विचार करें,जहाँ $r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है। इन रेखाओं द्वारा निर्मित वर्गों की संख्या,जिनकी भुजाओं की लंबाई $\sqrt{2}$ है,है:

$(2,3)$ से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के साथ $12$ वर्ग इकाई का क्षेत्रफल बनाने वाली संभावित भिन्न सरल रेखाओं की संख्या क्या है?

समीकरण निकाय $4x + 6y = 5$ और $8x + 12y = 10$ के

मान लीजिए कि एक सीधी रेखा $L : x + by + c = 0$ द्वारा निर्देशांक अक्षों के साथ बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $48$ वर्ग इकाई है। यदि मूल बिंदु से रेखा $L$ पर खींचा गया लंब धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,तो $b^2 + c^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$P(2,3)$ से गुजरने वाली और $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाने वाली एक रेखा $x^2-2xy-y^2=0$ को $A$ और $B$ पर मिलती है। तो $PA \cdot PB$ का मान ज्ञात कीजिए।