$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{n-1}}{n \sqrt{n}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + n} }} + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 2n} }} + \dots + \frac{1}{{\sqrt {{n^2} + (n - 1)n} }}} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \left\{ \sec ^{2} \frac{\pi}{4 n} + \sec ^{2} \frac{2 \pi}{4 n} + \ldots + \sec ^{2} \frac{n \pi}{4 n} \right\}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3+1^3}+\frac{2^2}{n^3+2^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right)=$

योगफल की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान ज्ञात कीजिए:
$\int_{2}^{3} x^{2} d x$