मान लीजिए f: R rightarrow R,x=0 पर अवकलनीय है | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$f(0)=0$ और $f'(0)=2$। सीमा $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=1}^{2015} f(kx)}{x}$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $= \

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$2015 	imes 2016$

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(C) दिया गया है,$f(0)=0$ और $f'(0)=2$। सीमा $\lim _{x ightarrow 0} \frac{\sum_{k=1}^{2015} f(kx)}{x}$ के लिए $L$'Hopital नियम का उपयोग करने पर: $= \lim _{x ightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]}{1}$ $= \lim _{x ightarrow 0} [f'(x) + 2f'(2x) + 3f'(3x) + \ldots + 2015f'(2015x)]$ $= f'(0) + 2f'(0) + 3f'(0) + \ldots + 2015f'(0)$ $= f'(0) [1 + 2 + 3 + \ldots + 2015]$ $= 2 	imes \frac{2015(2015+1)}{2}$ $= 2015 	imes 2016$.

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$,$x=0$ पर अवकलनीय है। यदि $f(0)=0$ और $f'(0)=2$ है,तो $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} [f(x)+f(2 x)+f(3 x)+\ldots+f(2015 x)]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x \log (\sin x) = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (\cos x)}}{{{x^2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $f(x) = \int_0^x (t + \sin(1 - e^t)) dt, x \in R$. तो $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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