वास्तविक संख्याओं के समुच्चय mathbb{R} पर एक | vedclass

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Question

(C) यहाँ संबंध $\rho$ को $x \rho y \iff xy > 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$(i)$ स्वतुल्य: यदि $\rho$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$

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$\rho$ सममित और संक्रामक है

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(C) यहाँ संबंध $ho$ को $x ho y \iff xy > 0$ के रूप में परिभाषित किया गया है।$(i)$ स्वतुल्य: यदि $ho$ स्वतुल्य है,तो प्रत्येक $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x ho x$ सत्य होना चाहिए। इसका अर्थ है $x \cdot x > 0$,या $x^2 > 0$। यह $x = 0$ के लिए असत्य है क्योंकि $0^2 = 0 
gtr 0$। अतः,$ho$ स्वतुल्य नहीं है।(ii) सममित: यदि $x ho y$ है,तो $xy > 0$ होगा। गुणा के क्रमविनिमेय नियम के अनुसार $yx > 0$ होगा,जिसका अर्थ है $y ho x$। अतः,$ho$ सममित है।(iii) संक्रामक: मान लीजिए $x ho y$ और $y ho z$ है। तो $xy > 0$ और $yz > 0$ होगा। यहाँ $y 
eq 0$ होना चाहिए (क्योंकि $xy > 0$),इसलिए $y^2 > 0$ होगा। असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें $(xy)(yz) > 0$ प्राप्त होता है,जो $y^2(xz) > 0$ में सरल हो जाता है। चूँकि $y^2 > 0$,इसलिए $xz > 0$ होना चाहिए। अतः,$x ho z$ है। इसलिए,$ho$ संक्रामक है।निष्कर्ष: संबंध सममित और संक्रामक है।

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