यदि sin ^{-1}left(x-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{4}}{8}+\ldots\right)=\frac{\pi}{6}$.$\sin ^{-1}$ फलन के अंदर दी गई श्रेणी

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है,$\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{4}}{8}+\ldots\right)=\frac{\pi}{6}$.$\sin ^{-1}$ फलन के अंदर दी गई श्रेणी एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{x}{2}$ है।अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।मान प्रतिस्थापित करने पर,$S_{\infty} = \frac{x}{1 - (-\frac{x}{2})} = \frac{x}{1 + \frac{x}{2}} = \frac{2x}{2+x}$.अतः,$\sin ^{-1}\left(\frac{2x}{2+x}\right) = \frac{\pi}{6}$.दोनों पक्षों में $\sin$ लेने पर,$\frac{2x}{2+x} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.वज्र गुणन करने पर,$4x = 2 + x$.$3x = 2$,जिससे $x = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

यदि $\sin ^{-1}\left(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{4}-\frac{x^{4}}{8}+\ldots\right)=\frac{\pi}{6},$ जहाँ $|x| < 2$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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