मान लीजिए S equiv frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^ | vedclass

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Question

(D) दिया गया दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ है। बिंदु $P(a \cos 	heta, b \sin 	heta)$ और $Q\left(a \cos \

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$\alpha^2 \beta^2$

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(D) दिया गया दीर्घवृत्त $S^{\prime} \equiv \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ है। बिंदु $P(a \cos 	heta, b \sin 	heta)$ और $Q\left(a \cos \left(\frac{\pi}{2}+	hetaight), b \sin \left(\frac{\pi}{2}+	hetaight)ight)$ $S^{\prime}$ पर स्थित हैं। $Q$ को सरल करने पर,$Q \equiv (-a \sin 	heta, b \cos 	heta)$ प्राप्त होता है। चूंकि $P$,$S^{\prime}$ पर स्थित है: $\frac{a^2 \cos^2 	heta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \sin^2 	heta}{\beta^2} = 1$ $(i)$ चूंकि $Q$,$S^{\prime}$ पर स्थित है: $\frac{a^2 \sin^2 	heta}{\alpha^2} + \frac{b^2 \cos^2 	heta}{\beta^2} = 1$ $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $\frac{a^2}{\alpha^2}(\cos^2 	heta + \sin^2 	heta) + \frac{b^2}{\beta^2}(\sin^2 	heta + \cos^2 	heta) = 2$ $\frac{a^2}{\alpha^2} + \frac{b^2}{\beta^2} = 2$ $\frac{a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2}{\alpha^2 \beta^2} = 2$ अतः,$\frac{1}{2}(a^2 \beta^2 + b^2 \alpha^2) = \alpha^2 \beta^2$.

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