एक दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई $6$ इकाई है और एक नाभि तथा उसके मुख्य अक्ष पर स्थित निकटतम शीर्ष के बीच की दूरी $\frac{5}{3}$ इकाई है। यदि $e$ इस दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता है,तो $e$ किस समीकरण को संतुष्ट करता है?

मान लीजिए कि एक दीर्घवृत्त,जिसका मुख्य अक्ष $x$-अक्ष पर है और केंद्र मूल बिंदु पर है,के नाभिलंब की लंबाई $8$ है। यदि इस दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी इसके लघु अक्ष की लंबाई के बराबर है,तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु इस पर स्थित है?

मान लीजिए $A=\{(\alpha, \beta) \in R \times R :|\alpha-1| \leq 4 \text{ और }|\beta-5| \leq 6\}$ और $B=\left\{(\alpha, \beta) \in R \times R : 16(\alpha-2)^2+9(\beta-6)^2 \leq 144\right\}$ है। तो

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $E : x^2 + 9y^2 = 9$ धनात्मक $x$- और $y$-अक्षों को क्रमशः $A$ और $B$ बिंदुओं पर काटता है। मान लीजिए कि $E$ का दीर्घ अक्ष वृत्त $C$ का व्यास है। मान लीजिए कि $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा वृत्त $C$ को बिंदु $P$ पर मिलती है। यदि त्रिभुज जिसके शीर्ष $A, P$ और मूल बिंदु $O$ हैं,का क्षेत्रफल $\frac{m}{n}$ है,जहाँ $m$ और $n$ सह-अभाज्य हैं,तो $m - n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नाभियों के बीच की दूरी उसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई के बराबर है,तो उसकी उत्केंद्रता (eccentricity) है

दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 - 36y + 4 = 0$ के नाभिलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।