$5x^2-xy-5x+y=0$ દ્વારા દર્શાવેલ રેખાઓ વર્તુળ $S=0$ ના અભિલંબ છે. જો આ વર્તુળ,વર્તુળ $S^{\prime} \equiv x^2+y^2-2x+2y-7=0$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,તો $S=0$ ના સાપેક્ષમાં $S^{\prime}=0$ ના કેન્દ્રની સ્પર્શક જીવાનું સમીકરણ શોધો.

બે વર્તુળો $x^2+y^2-4x-12=0$ અને $x^2+y^2+4x-12=0$ ના સામાન્ય પ્રદેશમાં એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ અંતર્ગત છે. જો આ વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા અને તેમની સામાન્ય જીવા આ સમબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો હોય, તો સમબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો. ($\sqrt{3}$ માં)

વર્તુળો $x^{2}+y^{2}-4x-4y=0$ અને $2x^{2}+2y^{2}=32$ ની સામાન્ય જીવા ઉગમબિંદુ આગળ કેટલા માપનો ખૂણો આંતરે છે?

વર્તુળનું સમીકરણ શોધો જેનો વ્યાસ $x^2+y^2-3x+y-10=0$ અને $x^2+y^2-x+2y-20=0$ વર્તુળોની સામાન્ય જીવા છે.

બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ પર દોરેલા સ્પર્શકો અને તેમના સ્પર્શબિંદુઓને જોડતી રેખા દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

નીચેના વિધાનો અંગે સાચો વિકલ્પ પસંદ કરો:
વિધાન $I$: વર્તુળો $x^2+y^2+ax+by+c=0$ અને $x^2+y^2+bx+ay+c=0$ ની સામાન્ય જીવાની લંબાઈ $\frac{\sqrt{(a+b)^2-8c}}{2}$ છે.
વિધાન $II$: જો બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદતા હોય,તો તેમની રેડિકલ અક્ષ (radical axis) એ તેમની સામાન્ય જીવા છે.