$X$-અક્ષને લંબ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=9$ ને $A$ માં અને ઉપવલય $4x^2+9y^2=36$ ને $B$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $A$ અને $B$ એક જ ચરણમાં હોય. જો $A$ અને $B$ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો સૌથી મોટો લઘુકોણ $\theta$ હોય,તો $\tan \theta=$

એક ઉપવલય $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ એ અતિવલય $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ ના શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ઉપવલય $E$ ની મુખ્ય અને ગૌણ અક્ષો અતિવલય $H$ ની અનુપ્રસ્થ અને સંયુગ્મી અક્ષો સાથે સંપાતી છે. જો $E$ અને $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $\frac{1}{2}$ હોય,અને $l$ એ ઉપવલય $E$ ના નાભિલંબની લંબાઈ હોય,તો $113l$ ની કિંમત $....$ છે.

જો રેખા $y = \sqrt{3}x$ એ વક્ર $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ ને $A$,$B$,$C$ અને $D$ બિંદુઓમાં છેદે,તો $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ નું મૂલ્ય શોધો,(જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે).

ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ ના નાભિઓ એક જ છે. તો $b^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, a > b$ અને $H : \frac{x^2}{A^2} - \frac{y^2}{B^2} = 1$. ધારો કે $E$ ના નાભિઓ અને $H$ ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2\sqrt{3}$ છે. જો $a - A = 2$,અને $E$ અને $H$ ની ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{1}{3}$ હોય,તો તેમના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈનો સરવાળો કેટલો થાય :

દ્વિઘાત સમીકરણ જેના બીજ $l$ અને $m$ છે,જ્યાં $l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} \right)$ અને $m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)}$ છે,તે: