TS EAMCET 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया समीकरण: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$. \\ मान लीजिए $t = x-a$. तब समीकरण इस प्रकार हो जाता है: \\ $t(t-1) + (t-1)(t-2) + t(t-2) = 0$ \\ $t^2 - t + t^2 - 3t + 2 + t^2 - 2t = 0$ \\ $3t^2 - 6t + 2 = 0$ \\ विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$. \\ चूँकि $D > 0$,$t$ के मूल वास्तविक और भिन्न हैं। \\ परिणामस्वरूप,$x = a + t$ के मूल भी वास्तविक और भिन्न होंगे।

(B) दिया गया है कि $f(x) = x^2 + ax + b$ के मूल काल्पनिक हैं।
अतः,विविक्तकर $D < 0$,जिसका अर्थ है $a^2 - 4b < 0$।
अब,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 2x + a$
$f''(x) = 2$
इन मानों को समीकरण $f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ में रखने पर:
$(x^2 + ax + b) + (2x + a) + 2 = 0$
$x^2 + (a + 2)x + (b + a + 2) = 0$
इस नए द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D'$ है:
$D' = (a + 2)^2 - 4(1)(b + a + 2)$
$D' = a^2 + 4a + 4 - 4b - 4a - 8$
$D' = a^2 - 4b - 4$
चूंकि $a^2 - 4b < 0$,इसलिए $a^2 - 4b - 4 < -4$।
अतः,$D' < 0$।
विविक्तकर ऋणात्मक होने के कारण,समीकरण $f(x) + f'(x) + f''(x) = 0$ के मूल काल्पनिक हैं।

(C) दिया गया है कि,$\alpha$ और $\beta$,$x^2-2x+4=0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,हमारे पास है:
$\alpha+\beta = 2$ ...$(i)$
$\alpha\beta = 4$ ...$(ii)$
अब,हम $\alpha^6+\beta^6 = (\alpha^2)^3 + (\beta^2)^3$ लिख सकते हैं।
वैकल्पिक रूप से,ध्यान दें कि $x^2-2x+4=0$ के मूल $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$ हैं।
ध्रुवीय रूप में,$1 \pm \sqrt{3}i = 2(\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{\pm i\pi/3}$ है।
अतः,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ और $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ है।
तब,$\alpha^6 = (2e^{i\pi/3})^6 = 2^6 e^{i2\pi} = 64(1) = 64$।
इसी प्रकार,$\beta^6 = (2e^{-i\pi/3})^6 = 2^6 e^{-i2\pi} = 64(1) = 64$।
इसलिए,$\alpha^6+\beta^6 = 64+64 = 128$।

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$1+i\sqrt{3} = -2\omega^2$ और $1-i\sqrt{3} = -2\omega$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
चूँकि $n = 3r+1$,इसलिए $\omega^n = \omega^{3r+1} = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^{6r+2} = \omega^2$।
अतः,व्यंजक $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ हो जाता है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$।
अतः,परिणाम $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $S$ सभी $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों का समुच्चय है। ऐसे अनुक्रमों की कुल संख्या $2^n$ है।
मान लीजिए $E$ उन अनुक्रमों की संख्या है जिनमें $0$ की संख्या सम है और $O$ उन अनुक्रमों की संख्या है जिनमें $0$ की संख्या विषम है।
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + . . . + \binom{n}{n} = 2^n$ होता है।
$0$ की सम संख्या वाले अनुक्रमों की संख्या सम-अनुक्रमित द्विपद गुणांकों के योग द्वारा दी जाती है: $E = \binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . .$.
द्विपद गुणांकों के गुण का उपयोग करते हुए,$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + . . . = 2^{n-1}$।
अतः,$0$ की सम संख्या वाले $n$-अंकीय बाइनरी अनुक्रमों की संख्या $2^{n-1}$ है।

(D) कुल बिंदुओं की संख्या $3p$ है।
त्रिभुज बनाने के लिए,हमें $3p$ में से $3$ बिंदु चुनने होंगे।
$3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{3p}C_3$ हैं।
हालाँकि,यदि $3$ बिंदु संरेख (collinear) हैं,तो वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं।
वहाँ $3$ रेखाएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $p$ बिंदु हैं।
प्रत्येक रेखा के लिए,$3$ संरेख बिंदुओं को चुनने के तरीके $^pC_3$ हैं।
अतः,त्रिभुजों की संख्या $^{3p}C_3 - 3 \cdot ^pC_3$ है।
$= \frac{3p(3p-1)(3p-2)}{6} - 3 \cdot \frac{p(p-1)(p-2)}{6}$
$= \frac{p}{2} [ (3p-1)(3p-2) - (p-1)(p-2) ]$
$= \frac{p}{2} [ (9p^2 - 9p + 2) - (p^2 - 3p + 2) ]$
$= \frac{p}{2} [ 8p^2 - 6p ]$
$= p^2(4p-3)$.

(B) दिया गया है,$a_0 = 1$ और $a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n$।
$n = 0$ के लिए: $a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 0 + 0 + 1 = 1$।
$n = 1$ के लिए: $a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 3 + 1 + 1 = 5$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(B)$ के लिए,$P(n) = n^3 - n^2 + 1$:
$P(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1 = a_0$।
$P(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 = a_1$।
$P(2) = 2^3 - 2^2 + 1 = 8 - 4 + 1 = 5 = a_2$।
चूँकि प्रारंभिक पदों के लिए मान समान हैं,इसलिए सही व्यंजक $a_n = n^3 - n^2 + 1$ है।

(B) हमें दिया गया है $\lambda = \frac{\cos x}{\cos (x-2 y)}$.
व्यंजक $\tan (x-y) \tan y = \frac{\sin (x-y) \sin y}{\cos (x-y) \cos y}$ पर विचार करें।
अंश और हर को $2$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{2 \sin (x-y) \sin y}{2 \cos (x-y) \cos y}$ प्राप्त होता है।
गुणनफल-से-योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\tan (x-y) \tan y = \frac{\cos(x-2y) - \cos x}{\cos(x-2y) + \cos x}$.
अंश और हर को $\cos(x-2y)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - \frac{\cos x}{\cos(x-2y)}}{1 + \frac{\cos x}{\cos(x-2y)}} = \frac{1-\lambda}{1+\lambda}$.

(C) दिया गया है,$\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3 = x$
दोनों पक्षों में $\cosh$ लेने पर,$\cosh(\sinh ^{-1} 2 + \sinh ^{-1} 3) = \cosh x$
सर्वसमिका $\cosh(A + B) = \cosh A \cosh B + \sinh A \sinh B$ का उपयोग करने पर:
$\cosh(\sinh ^{-1} 2) \cosh(\sinh ^{-1} 3) + \sinh(\sinh ^{-1} 2) \sinh(\sinh ^{-1} 3) = \cosh x$
चूंकि $\cosh(\sinh ^{-1} y) = \sqrt{1 + y^2}$ और $\sinh(\sinh ^{-1} y) = y$:
$\cosh x = \sqrt{1 + 2^2} \cdot \sqrt{1 + 3^2} + 2 \cdot 3$
$\cosh x = \sqrt{5} \cdot \sqrt{10} + 6$
$\cosh x = \sqrt{50} + 6 = \frac{2 \sqrt{50} + 12}{2} = \frac{1}{2}(12 + 2 \sqrt{50})$

(C) दिया गया समीकरण: $\sin^2 x - \cos 2x = 2 - \sin 2x$
सर्वसमिका $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ और $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$\sin^2 x - (2\cos^2 x - 1) = 2 - 2\sin x \cos x$
$(1 - \cos^2 x) - 2\cos^2 x + 1 = 2 - 2\sin x \cos x$
$2 - 3\cos^2 x = 2 - 2\sin x \cos x$
$-3\cos^2 x + 2\sin x \cos x = 0$
$\cos x (2\sin x - 3\cos x) = 0$
चूंकि $3\cos x \neq 2\sin x$,इसलिए $\cos x = 0$ होना चाहिए।
$\cos x = 0$ का व्यापक हल $x = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जिसे $x = (4n \pm 1) \frac{\pi}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है।
जब अक्षों को $\theta = 36^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = r^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$(X^2 \cos^2 \theta + Y^2 \sin^2 \theta - 2XY \sin \theta \cos \theta) + (X^2 \sin^2 \theta + Y^2 \cos^2 \theta + 2XY \sin \theta \cos \theta) = r^2$
सरल करने पर:
$X^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + Y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = r^2$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$X^2 + Y^2 = r^2$.

(C) दिया गया समीकरण: $(x-a)(x-a-1)+(x-a-1)(x-a-2)+(x-a)(x-a-2)=0$.
माना $t = x-a$. तब समीकरण $t(t-1)+(t-1)(t-2)+t(t-2)=0$ हो जाता है।
पदों का विस्तार करने पर: $(t^2-t) + (t^2-3t+2) + (t^2-2t) = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर: $3t^2 - 6t + 2 = 0$.
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12$.
चूंकि $D > 0$,इसलिए $t$ के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
अतः,किसी भी $a \in R$ के लिए $x = a + t$ भी वास्तविक और भिन्न होंगे।

(C) दिया है,$f(x)=2 x^4-13 x^2+a x+b$,$x^2-3 x+2 = (x-2)(x-1)$ से विभाज्य है।
अतः,$f(2)=0$ और $f(1)=0$ होगा।
$f(2)=0$ के लिए:
$2(2)^4-13(2)^2+a(2)+b=0$
$32-52+2a+b=0$
$2a+b=20$ ... $(i)$
$f(1)=0$ के लिए:
$2(1)^4-13(1)^2+a(1)+b=0$
$2-13+a+b=0$
$a+b=11$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर:
$a=9$
$a=9$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$b=2$
अतः,$(a, b) = (9, 2)$।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+4x+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से,$\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,और $\alpha\beta\gamma=-1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma=0$,इसलिए $\beta+\gamma=-\alpha$,$\gamma+\alpha=-\beta$,और $\alpha+\beta=-\gamma$ होगा।
नए समीकरण के मूल $y_1 = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha$,$y_2 = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta$,और $y_3 = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma$ हैं।
माना $y = -x$,इसलिए $x = -y$।
मूल समीकरण $x^3+4x+1=0$ में $x = -y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y)^3 + 4(-y) + 1 = 0$
$-y^3 - 4y + 1 = 0$
$y^3 + 4y - 1 = 0$।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3+4x-1=0$ है।

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है।
हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।
अतः,$1 + i\sqrt{3} = -2\omega^2$ और $1 - i\sqrt{3} = -2\omega$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(1 + i\sqrt{3})^n + (1 - i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
चूँकि $n = 3r + 1$,इसलिए $\omega^n = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^2$।
अतः,व्यंजक $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ हो जाता है।
चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$।
अतः,परिणाम $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ प्राप्त होता है।

(C) माना $z = x + iy$.
दिया गया है,$\left|\frac{z + 2i}{2z + i}\right| < 1$.
इसका अर्थ है $|z + 2i| < |2z + i|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|x + i(y + 2)| < |2x + i(2y + 1)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (y + 2)^2 < (2x)^2 + (2y + 1)^2$.
$x^2 + y^2 + 4y + 4 < 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1$.
$3 < 3x^2 + 3y^2$.
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 > 1$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ है,जहाँ $n=9$ है।
कुल उपसमुच्चय $= 2^9 = 512$।
हमें उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम एक विषम संख्या हो।
पूरक विधि का उपयोग करना आसान है: उन उपसमुच्चयों की संख्या जिनमें कोई भी विषम संख्या न हो।
एक उपसमुच्चय में कोई विषम संख्या नहीं होगी यदि और केवल यदि उसके सभी अवयव सम हों।
समुच्चय में सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं।
केवल इन सम संख्याओं का उपयोग करके बनने वाले उपसमुच्चयों की संख्या $2^4 = 16$ है।
इन $16$ उपसमुच्चयों में रिक्त समुच्चय $\emptyset$ भी शामिल है।
अतः,कम से कम एक विषम संख्या वाले उपसमुच्चयों की संख्या $=$ कुल उपसमुच्चय $-$ केवल सम संख्याओं वाले उपसमुच्चय।
अभीष्ट संख्या $= 512 - 16 = 496$।

(B) दिया गया है,$a_0=1$ और $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$।
हम पहले कुछ पद ज्ञात कर सकते हैं:
$a_1 = 3(0)^2 + 0 + a_0 = 1$।
$a_2 = 3(1)^2 + 1 + a_1 = 5$।
$a_3 = 3(2)^2 + 2 + a_2 = 19$।
अब,विकल्पों की जाँच करें:
$n=0$ के लिए: $a_0 = 0^3 - 0^2 + 1 = 1$।
$n=1$ के लिए: $a_1 = 1^3 - 1^2 + 1 = 1$।
$n=2$ के लिए: $a_2 = 2^3 - 2^2 + 1 = 5$।
$n=3$ के लिए: $a_3 = 3^3 - 3^2 + 1 = 19$।
अतः,$a_n = n^3 - n^2 + 1$ सही व्यंजक है।

(D) हमारे पास व्यंजक $\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}$ है।
इसे $\frac{1}{(-1)^2(1-x)^2(-2)(1-\frac{x}{2})} = -\frac{1}{2}(1-x)^{-2}(1-\frac{x}{2})^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए:
$(1-x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots$
$(1-\frac{x}{2})^{-1} = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{4} + \dots$
इन श्रेणियों का गुणा करने पर: $-\frac{1}{2}(1 + 2x + \dots)(1 + \frac{x}{2} + \dots) = -\frac{1}{2}(1 + \frac{5}{2}x + \dots)$ प्राप्त होता है।
अतः,अचर पद $-\frac{1}{2} \times 1 = -\frac{1}{2}$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ है।
सबसे पहले,$(1+x^{12})(1+x^{24}) = 1 + x^{12} + x^{24} + x^{36}$ का सरलीकरण करें।
अब,अभिव्यक्ति $(1+x^2)^{12}(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ हो जाती है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1+x^2)^{12} = \sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r}$।
हमें $(\sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r})(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ के गुणनफल में $x^{24}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह निम्न प्रकार से प्राप्त होता है:
$1$. योग में जहाँ $2r = 24$ है,अर्थात ${}^{12}C_{12} x^{24} \times 1 = {}^{12}C_{12} x^{24}$।
$2$. योग में जहाँ $2r = 12$ है,अर्थात ${}^{12}C_6 x^{12} \times x^{12} = {}^{12}C_6 x^{24}$।
$3$. योग में जहाँ $2r = 0$ है,अर्थात ${}^{12}C_0 x^0 \times x^{24} = 1 \times x^{24} = 1 x^{24}$।
इन गुणांकों का योग: ${}^{12}C_{12} + {}^{12}C_6 + 1 = 1 + {}^{12}C_6 + 1 = {}^{12}C_6 + 2$।

(A) दिया गया व्यंजक: $E = (1 + \frac{2x}{3})^{3/2} \cdot (32 + 5x)^{-1/5}$
छोटे $u$ के लिए द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
$E \approx (1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{3}) \cdot (32)^{-1/5} (1 + \frac{5x}{32})^{-1/5}$
$E \approx (1 + x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5x}{32})$
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x) (1 - \frac{x}{32})$
$x^2$ वाले पदों को नगण्य मानने पर:
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x - \frac{x}{32}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{31x}{32}) = \frac{32 + 31x}{64}$

(A) गुणनफल $P = \cos A \cos 2 A \cos 2^2 A \ldots \cos 2^{n-1} A$ का मूल्यांकन करने के लिए,$2 \sin A$ से गुणा और भाग करें:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (2 \sin A \cos A) \cos 2 A \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{1}{2 \sin A} (\sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$P = \frac{1}{2^2 \sin A} (2 \sin 2 A \cos 2 A) \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A = \frac{\sin 4 A}{2^2 \sin A} \cos 4 A \ldots \cos 2^{n-1} A$
इस प्रक्रिया को $n$ बार दोहराने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{\sin 2^n A}{2^n \sin A}$

(D) सबसे पहले,रेखाओं $x + 3y - 1 = 0$ और $x - 2y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(x + 3y - 1) - (x - 2y + 4) = 0$ $\Rightarrow 5y - 5 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ को $x + 3y - 1 = 0$ में रखने पर,हमें $x + 3(1) - 1 = 0 \Rightarrow x = -2$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ है।
$3x + 2y = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x - 3y + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि रेखा $(-2, 1)$ से गुजरती है,इसलिए निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$2(-2) - 3(1) + \lambda = 0$ $\Rightarrow -4 - 3 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = 7$.
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x - 3y + 7 = 0$ है।

(B) माना रेखा $3x + 4y = 5$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ है।
चूंकि $P$,$A(1, 2)$ और $B(3, 4)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16$
$-2x - 4y + 5 = -6x - 8y + 25$
$4x + 4y = 20$
$x + y = 5$
अब,समीकरणों के निकाय को हल करें:
$3x + 4y = 5$
$x + y = 5 \Rightarrow x = 5 - y$
पहले समीकरण में $x$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$3(5 - y) + 4y = 5$
$15 - 3y + 4y = 5$
$y = -10$
$x = 5 - (-10) = 15$
अतः,बिंदु $(15, -10)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $4x + 3y - 15 = 0$ और $4x + 3y - 5 = 0$ हैं। चूँकि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = \frac{|-15 - (-5)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
चूँकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्श करता है,इसलिए इसका व्यास रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है,अतः $2r = 2$,जिसका अर्थ है $r = 1$.
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) दी गई सरल रेखाओं का युग्म $x^2-3xy+2y^2=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2-2xy-xy+2y^2=0$ $\Rightarrow x(x-2y)-y(x-2y)=0$ $\Rightarrow (x-y)(x-2y)=0$.
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x-y=0$ और $L_2: x-2y=0$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y+1=0$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x-y=0$ और $x+y=-1$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}$. बिंदु $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
$3$. $L_2$ और $L_3$ का प्रतिच्छेदन: $x=2y$ और $2y+y=-1$ $\Rightarrow 3y=-1$ $\Rightarrow y=-\frac{1}{3}, x=-\frac{2}{3}$. बिंदु $(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3})$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{3})) + (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{3} - 0) + (-\frac{2}{3})(0 - (-\frac{1}{2}))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0 + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}| = \frac{1}{2} |-\frac{1}{6}| = \frac{1}{12}$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए रेखाओं के युग्म $x^2-3xy+2y^2=0$ और $x^2-3xy+2y^2+x-2=0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y)(x-y)=0$,जो रेखाएं $L_1: x-2y=0$ और $L_2: x-y=0$ देती हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x-2y+2)(x-y-1)=0$,जो रेखाएं $L_3: x-2y+2=0$ और $L_4: x-y-1=0$ देती हैं।
समीकरणों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $L_1 \parallel L_3$ और $L_2 \parallel L_4$ है।
चूंकि सम्मुख भुजाएं समांतर हैं,इसलिए यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।
$L_1$ और $L_2$ के बीच का कोण जांचने पर,ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_2 = 1$ है। चूंकि $m_1 \times m_2 \neq -1$,इसलिए कोण $90^{\circ}$ नहीं है।
अतः,यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2-10 x y+12 y^2+5 x+\lambda y-3=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$a=2, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=\frac{\lambda}{2}, c=-3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए: $\begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
मान रखने पर: $\begin{vmatrix} 2 & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & \lambda/2 \\ 5/2 & \lambda/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर: $2(-36 - \frac{\lambda^2}{4}) + 5(15 - \frac{5\lambda}{4}) + \frac{5}{2}(\frac{-5\lambda}{2} - 30) = 0$.
$-72 - \frac{\lambda^2}{2} + 75 - \frac{25\lambda}{4} - \frac{25\lambda}{4} - 75 = 0$.
$-\frac{\lambda^2}{2} - \frac{50\lambda}{4} - 72 = 0$.
$-2$ से गुणा करने पर: $\lambda^2 + 25\lambda + 144 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(\lambda + 9)(\lambda + 16) = 0$.
अतः,$\lambda = -9$ या $\lambda = -16$।
चूंकि शर्त $|\lambda| < 16$ है,इसलिए सही उत्तर $\lambda = -9$ है।

(C) व्यास रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र है। समीकरणों $2x + y = 7$ और $x + 3y = 11$ को हल करने पर:
पहले समीकरण से,$y = 7 - 2x$।
दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 3(7 - 2x) = 11$ $\Rightarrow x + 21 - 6x = 11$ $\Rightarrow -5x = -10$ $\Rightarrow x = 2$।
तब $y = 7 - 2(2) = 3$। अतः,केंद्र $(h, k) = (2, 3)$ है।
वृत्त $(5, 7)$ से होकर गुजरता है,इसलिए त्रिज्या $r$,$(2, 3)$ और $(5, 7)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5^2$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 25$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 12 = 0$।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है।
$x$-अक्ष पर अंतःखंड $2|g|=4$ $\Rightarrow |g|=2$ $\Rightarrow g = \pm 2$ है।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड $2|f|=8$ $\Rightarrow |f|=4$ $\Rightarrow f = \pm 4$ है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x^2+y^2 \pm 2(2)x \pm 2(4)y=0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2 \pm 4x \pm 8y=0$ हैं।

(C) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2-6x+8=0$ के लिए,$g_1=-3, f_1=0, c_1=8$. अतः,$2g(-3)+2f(0)=0+8$ $\Rightarrow -6g=8$ $\Rightarrow g=-\frac{4}{3}$.
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2-2x-2y-7=0$ के लिए,$g_2=-1, f_2=-1, c_2=-7$. अतः,$2g(-1)+2f(-1)=0-7 \Rightarrow -2g-2f=-7$.
$g=-\frac{4}{3}$ रखने पर,$-2(-\frac{4}{3})-2f=-7$ $\Rightarrow \frac{8}{3}+7=2f$ $\Rightarrow 2f=\frac{29}{3}$.
समीकरण में $g$ और $f$ का मान रखने पर: $x^2+y^2+2(-\frac{4}{3})x+2(\frac{29}{6})y=0 \Rightarrow x^2+y^2-\frac{8}{3}x+\frac{29}{3}y=0$.
$3$ से गुणा करने पर,$3x^2+3y^2-8x+29y=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 2x + 8y + 13 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 4x + 6y + 11 = 0$ हैं।
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + (-4)^2 - 13} = 2$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{2^2 + (-3)^2 - 11} = \sqrt{2}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-3 - (-4))^2} = \sqrt{2}$ है।
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ निकालने के लिए $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \theta = \frac{2 - 4 - 2}{4\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = 135^{\circ}$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। चूँकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $r^2 = h^2 + k^2$ होगा।
केंद्र $C(h, k)$ से रेखा $x=3$ की लंबवत दूरी $d = |h-3|$ है।
रेखा $x=3$ द्वारा काटे गए जीवा की लंबाई $4$ इकाई है। अतः,जीवा की आधी लंबाई $2$ इकाई है।
त्रिज्या,लंबवत दूरी और जीवा की आधी लंबाई से बने समकोण त्रिभुज में:
$r^2 = d^2 + 2^2$
$h^2 + k^2 = (h-3)^2 + 4$
$h^2 + k^2 = h^2 - 6h + 9 + 4$
$k^2 = -6h + 13$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $y^2 = -6x + 13$ या $y^2 + 6x = 13$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है। बिंदु $(1,0)$ परवलय की नाभि है।
परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ होता है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $(h, k) = (1, 0)$ से गुजरता है,तो $0 = -t(1) + 2(1)t + (1)t^3$ होगा।
इसे सरल करने पर $0 = t + t^3$ या $t(1 + t^2) = 0$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए वास्तविक हल $t=0$ है।
$t=0$ के लिए,अभिलंब $y = 0$ है,जो $x$-अक्ष है।
अतः,बिंदु $(1,0)$ से परवलय $y^2=4x$ पर केवल $1$ अभिलंब खींचा जा सकता है।

(C) यहाँ,नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 6$ है,इसलिए $ae = 3$।
लघु अक्ष की लंबाई $2b = 8$ है,इसलिए $b = 4$।
हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - a^2e^2$।
$b = 4$ और $ae = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $16 = a^2 - (3)^2$।
$16 = a^2 - 9$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = 5$।
अतः,उत्केंद्रता $e = \frac{ae}{a} = \frac{3}{5}$।

(D) दिए गए शांकव का समीकरण: $\frac{5}{r}=2+3 \cos \theta+4 \sin \theta$ है।
समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ प्राप्त होता है।
हम $\frac{3}{2} \cos \theta + 2 \sin \theta$ को $e \cos(\theta - \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $e = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 2^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ है।
अतः,समीकरण $\frac{5/2}{r} = 1 + \frac{5}{2} \cos(\theta - \phi)$ हो जाता है।
इसे मानक ध्रुवीय रूप $\frac{l}{r} = 1 + e \cos(\theta - \phi)$ से तुलना करने पर,हमें उत्केंद्रता $e = \frac{5}{2}$ प्राप्त होती है।

(B) अतिपरवलय $S: 2x^2 - 3y^2 - 12 = 0$ के लिए मध्य बिंदु $M(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ है,जहाँ $T = 2xh - 3yk - 12$ और $S_1 = 2h^2 - 3k^2 - 12$ है।
अतः,जीवा का समीकरण $2xh - 3yk = 2h^2 - 3k^2$ है।
दी गई जीवा $4x - 3y = 5$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{2h}{4} = \frac{-3k}{-3} = \frac{2h^2 - 3k^2}{5}$.
$\frac{2h}{4} = k$ से,$k = \frac{h}{2}$ प्राप्त होता है।
$k = \frac{h}{2}$ को $\frac{2h}{4} = \frac{2h^2 - 3(h/2)^2}{5}$ में रखने पर:
$\frac{h}{2} = \frac{2h^2 - \frac{3h^2}{4}}{5} = \frac{5h^2}{20} = \frac{h^2}{4}$.
अतः,$\frac{h}{2} = \frac{h^2}{4}$ $\Rightarrow 2h = h^2$ $\Rightarrow h(h - 2) = 0$.
चूंकि जीवा का अस्तित्व है,$h \neq 0$ है।
अतः,$h = 2$ और $k = 1$ है।
मध्य बिंदु $(2, 1)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $x^2+y^2=a^2$ और $xy=c^2$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$x = \frac{c^2}{y}$ है।
पहले समीकरण में $x$ का मान रखने पर:
$\left(\frac{c^2}{y}\right)^2 + y^2 = a^2$
$\frac{c^4}{y^2} + y^2 = a^2$
$c^4 + y^4 = a^2 y^2$
$y^4 - a^2 y^2 + c^4 = 0$
यह $y$ में एक द्वि-वर्ग समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $y_1, y_2, y_3, y_4$ हैं।
समीकरण $Ay^4 + By^3 + Cy^2 + Dy + E = 0$ के रूप में है,जहाँ $B=0$ है।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $-\frac{B}{A} = -\frac{0}{1} = 0$ होता है।
अतः,$y_1+y_2+y_3+y_4 = 0$।

(C) हम जानते हैं कि $\lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{a}{x+b})^{x+c} = e^a$.
दिया गया व्यंजक: $\lim _{x \rightarrow \infty} (\frac{x+5}{x+2})^{x+3} = \lim _{x \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{x+2})^{x+3}$.
माना $t = x+2$,तो जैसे $x \rightarrow \infty$,$t \rightarrow \infty$.
$= \lim _{t \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{t})^{t+1} = \lim _{t \rightarrow \infty} (1 + \frac{3}{t})^t \cdot (1 + \frac{3}{t})^1$.
$= e^3 \cdot 1 = e^3$.

(B) कोज्या (cosine) नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$a(b \cos C - c \cos B) = ab \cos C - ac \cos B$
$= ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - ac \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right)$
$= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$
$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$
$= b^2 - c^2$.

(C) माना $2s = a+b+c$. तब $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,और $a+b-c = 2s-2c$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ और $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) माना $s = \frac{a+b+c}{2}$ त्रिभुज $\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है। तब $a+b+c = 2s$,$b+c-a = 2(s-a)$,$c+a-b = 2(s-b)$,और $a+b-c = 2(s-c)$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(2s)(2(s-a))(2(s-b))(2(s-c))}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
हेरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ हो जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ है,इसलिए $\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ होता है।
अतः,$\frac{4\Delta^2}{b^2c^2} = (\frac{2\Delta}{bc})^2 = \sin^2 A$।

(D) माना $f(x) = \sin ^4 x + \cos ^4 x$.
हम जानते हैं कि $\sin ^4 x + \cos ^4 x = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
चूँकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं कि $2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
अतः,$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \sin ^2 2x$.
सर्वसमिका $\sin ^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos 4x}{2} \right) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{\cos 4x}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$.
$\cos(kx)$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{|k|}$ होता है।
इसलिए,$f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4x$ का आवर्तकाल $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(C) माना दो खंभे $AD$ और $BC$ हैं जिनकी ऊँचाई क्रमशः $a$ और $b$ है,जो एक क्षैतिज रेखा $AB$ पर स्थित हैं।
$P$,$AB$ पर एक बिंदु है ताकि $\angle DPA = 45^{\circ}$ और $\angle CPB = 45^{\circ}$ हो।
$\triangle APD$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{AD}{AP} = \frac{a}{AP} \Rightarrow AP = a$।
$\triangle BPC$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{BC}{BP} = \frac{b}{BP} \Rightarrow BP = b$।
खंभों के बीच की क्षैतिज दूरी $AB = AP + PB = a + b$ है।
$AB$ के समानांतर एक रेखा $DE$ खींचें ताकि $E$,$BC$ पर स्थित हो। तब $DE = AB = a + b$ और $CE = BC - BE = BC - AD = b - a$ होगा।
समकोण त्रिभुज $\triangle DEC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$DC^2 = DE^2 + CE^2$
$DC^2 = (a + b)^2 + (b - a)^2$
$DC^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 - 2ab + a^2)$
$DC^2 = 2(a^2 + b^2)$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = (1, 0, 0)$,$B = (0, 1, 0)$,और $C = (0, 0, 1)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके,हम भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$BC = \sqrt{(0-0)^2 + (0-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$CA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
त्रिभुज का परिमाप उसकी भुजाओं की लंबाई का योग है:
$\text{परिमाप} = AB + BC + CA = \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

(C) दिया है,$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\overline{A \cap B}) = \frac{7}{10}$.
चूँकि $P(A \cap B) + P(\overline{A \cap B}) = 1$,इसलिए:
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$.
साथ ही,दो घटनाओं के संघ के लिए सूत्र:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{5} = P(A) + \frac{2}{5} - \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{4}{5} - \frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
$P(A) = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4+3}{10} = \frac{7}{10}$.

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 4x + c = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \geq 0$
$a = 1, b = 4$ मान रखने पर:
$4^2 - 4(1)(c) \geq 0$
$16 - 4c \geq 0$
$16 \geq 4c$
$c \leq 4$।
चूंकि $c$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ से चुना गया है,इसलिए $c$ के संभावित मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं।
कुल $9$ संभावित परिणामों में से $4$ अनुकूल परिणाम हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{9}$ है।

(D) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम तब संभव नहीं होता जब उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया है $A = \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1\end{array}\right]$।
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$-x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,$x = 1$ एक मूल है क्योंकि $1^3 + 1 - 2 = 0$।
$x^3 + x - 2$ को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2 + x + 2 = 0$ के लिए,विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$ है।
चूंकि $D < 0$,द्विघात समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$x$ का एकमात्र वास्तविक मान $x = 1$ है।

(C) दिया गया है,$x=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\right)$ और $y=\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\right)$.
माना $t = \tan \theta$,तब $\theta = \tan^{-1} t$.
$x$ के लिए,$x = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sec \theta}\right) = \cos^{-1}(\cos \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
$y$ के लिए,$y = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{\sec \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin \theta) = \theta = \tan^{-1} t$.
चूँकि $x = \tan^{-1} t$ और $y = \tan^{-1} t$,इसलिए $y = x$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$z=\tan (y+a x)+\sqrt{y-a x}$
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = a \sec^2(y+ax) - \frac{a}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}$
इसके बाद,$y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलन ज्ञात करें:
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = \sec^2(y+ax) + \frac{1}{2\sqrt{y-ax}}$
$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}$
अब,$z_{xx} - a^2 z_{yy}$ की गणना करें:
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = [2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}}] - a^2 [2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{1}{4(y-ax)^{3/2}}]$
$z_{xx} - a^2 z_{yy} = 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) - \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} - 2a^2 \sec^2(y+ax) \tan(y+ax) + \frac{a^2}{4(y-ax)^{3/2}} = 0$

(C) दिया गया है,$y=e^{a \sin ^{-1} x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = e^{a \sin ^{-1} x} \cdot \frac{a}{\sqrt{1-x^2}}$
$\Rightarrow y_1 \sqrt{1-x^2} = ay$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(1-x^2) y_1^2 = a^2 y^2$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1-x^2) 2 y_1 y_2 - 2x y_1^2 = a^2 2y y_1$
$2y_1$ से भाग देने पर:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 - a^2 y = 0$
$n$-वें अवकलज के लिए लेबनीज प्रमेय का उपयोग करने पर:
$[(1-x^2) y_{n+2} + n(-2x) y_{n+1} + \frac{n(n-1)}{2}(-2) y_n] - [x y_{n+1} + n(1) y_n] - a^2 y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - 2nx y_{n+1} - n(n-1) y_n - x y_{n+1} - n y_n - a^2 y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - (2n+1) x y_{n+1} - (n^2 - n + n + a^2) y_n = 0$
$(1-x^2) y_{n+2} - (2n+1) x y_{n+1} = (n^2 + a^2) y_n$

(B) दिया गया है,$f(x)=x^3+3x-2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x)=3x^2+3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in [2,3]$ के लिए $x^2 \ge 0$ है,इसलिए $f'(x) = 3x^2+3 \ge 3 > 0$ है।
अतः,$f(x)$ अंतराल $[2,3]$ पर एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक वर्धमान फलन के लिए,परिसर $[f(2), f(3)]$ होता है।
$x=2$ पर,$f(2) = 2^3 + 3(2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12$।
$x=3$ पर,$f(3) = 3^3 + 3(3) - 2 = 27 + 9 - 2 = 34$।
इसलिए,$f(x)$ का परिसर $[12, 34]$ है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f^{\prime}(x)=3 x^2+2 a x+b$.
चरम मानों के लिए,हम $f^{\prime}(x)=0$ रखते हैं:
$3 x^2+2 a x+b=0$.
इस द्विघात समीकरण के मूल द्विघात सूत्र द्वारा प्राप्त होते हैं:
$x = \frac{-2 a \pm \sqrt{(2 a)^2 - 4(3)(b)}}{2(3)} = \frac{-2 a \pm \sqrt{4 a^2 - 12 b}}{6} = \frac{-2 a \pm 2 \sqrt{a^2 - 3 b}}{6} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 3 b}}{3}$.
दी गई शर्त $a^2 \leq 3 b$ के अनुसार,पद $a^2 - 3 b \leq 0$ है।
यदि $a^2 - 3 b < 0$ है,तो मूल काल्पनिक हैं,जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $f^{\prime}(x)$ शून्य नहीं होता है।
यदि $a^2 = 3 b$ है,तो $f^{\prime}(x) = 3(x + \frac{a}{3})^2$,जो हमेशा $\geq 0$ होता है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और इसका कोई स्थानीय चरम मान नहीं है।
अतः,फलन का कोई चरम मान नहीं है।

(D) माना $y = \frac{\log x}{x}$.
भागफल नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं के लिए,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$1 - \log x = 0 \Rightarrow \log x = 1 \Rightarrow x = e$.
अधिकतम मान की जांच करने के लिए,द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{x^2(-\frac{1}{x}) - (1 - \log x)(2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{2 \log x - 3}{x^3}$.
$x = e$ पर,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2(1) - 3}{e^3} = -\frac{1}{e^3} < 0$,अतः $x = e$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
अधिकतम मान $y(e) = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ है।

(A) माना $I = \int \left( \frac{2 - \sin 2x}{1 - \cos 2x} \right) e^x \, dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \left( \frac{2 - 2 \sin x \cos x}{2 \sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\sin x \cos x}{\sin^2 x} \right) e^x \, dx$
$I = \int (\operatorname{cosec}^2 x - \cot x) e^x \, dx$
$I = \int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx - \int e^x \cot x \, dx$ प्राप्त होता है।
प्रथम समाकलन $\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
माना $u = \cot x$,तब $du = -\operatorname{cosec}^2 x \, dx$।
$\int e^x \operatorname{cosec}^2 x \, dx = e^x(-\cot x) - \int e^x(-\cot x) \, dx = -e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx$।
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = (-e^x \cot x + \int e^x \cot x \, dx) - \int e^x \cot x \, dx + c$
$I = -e^x \cot x + c$।

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $y = (a + bx + cx^2) e^x$
इसे $y e^{-x} = a + bx + cx^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:
प्रथम अवकलज: $y' e^{-x} - y e^{-x} = b + 2cx \implies (y' - y) e^{-x} = b + 2cx$
द्वितीय अवकलज: $(y'' - y') e^{-x} - (y' - y) e^{-x} = 2c \implies (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 2c$
तृतीय अवकलज: $(y''' - 2y'' + y') e^{-x} - (y'' - 2y' + y) e^{-x} = 0$
चूँकि $e^{-x} \neq 0$,इसलिए $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है,$\frac{dy}{dx} = \sin(x+y) \tan(x+y) - 1$.
माना $x+y = z$. तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}$,अर्थात $\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx} - 1$.
इसे अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dz}{dx} - 1 = \sin z \tan z - 1$
$\frac{dz}{dx} = \sin z \tan z = \sin z \cdot \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{\sin^2 z}{\cos z}$.
चरों को पृथक करने पर:
$\int \frac{\cos z}{\sin^2 z} dz = \int dx$.
माना $\sin z = t$,तब $\cos z dz = dt$.
$\int \frac{1}{t^2} dt = x + c$
$- \frac{1}{t} = x + c$
$- \operatorname{cosec} z = x + c$
$z = x+y$ वापस रखने पर:
$- \operatorname{cosec}(x+y) = x + c$
$x + \operatorname{cosec}(x+y) = c$ (जहाँ $c$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(A) एक सदिश $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाणों की गणना:
$M_1 = |\vec{a}_1| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.45$
$M_2 = |\vec{a}_2| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \approx 6.40$
$M_3 = |\vec{a}_3| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \approx 1.73$
$M_4 = |\vec{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 1} = \sqrt{11} \approx 3.32$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$,जिसका अर्थ है कि $M_3 < M_1 < M_4 < M_2$।

(D) दिए गए समीकरण $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ और $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$m = -2l - 2n$.
$m$ का मान $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ से भाग देने पर: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
मान लीजिए $x = \frac{l}{n}$. तब $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
मान लीजिए मूल $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ और $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ हैं।
तब $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
इसी प्रकार,$l = -\frac{m+2n}{2}$ को $(2)$ में रखने पर $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$n^2$ से भाग देने पर,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
मान लीजिए $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ और $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. तब $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
दो रेखाओं के लिए जिनके दिक्-अनुपात $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
अतः,$\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) हम जानते हैं कि अंतरिक्ष में एक रेखा जो निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,उसके दिक्-कोसाइन के लिए $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
दी गई व्यंजक: $E = \cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर:
$E = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) + (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) + (\cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma) + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$E = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \cos^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \gamma - \sin^2 \gamma + \sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$.
$\sin^2$ वाले पद कट जाएंगे:
$E = \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma$.
चूंकि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$,इसलिए व्यंजक का मान $1$ है।

(C) दिया गया है,$P(E_1) = \frac{1}{4}$,$P(E_2 / E_1) = \frac{1}{2}$,और $P(E_1 / E_2) = \frac{1}{4}$।
$(A)$ चूंकि $P(E_2 / E_1) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}$,हमारे पास $\frac{1}{2} = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{1/4}$ है,इसलिए $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$।
साथ ही,$P(E_1 / E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$।
$P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1/8}{P(E_2)} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(E_2) = \frac{1}{2}$। अतः,$(A)$ का मिलान $(iv)$ से होता है।
$(B)$ $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$। अतः,$(B)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
$(C)$ $P(\bar{E}_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{1 - P(E_1 \cup E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1 - 5/8}{1 - 1/2} = \frac{3/8}{1/2} = \frac{3}{4}$। अतः,$(C)$ का मिलान $(vi)$ से होता है।
$(D)$ $P(E_1 / \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{P(E_1) - P(E_1 \cap E_2)}{1 - P(E_2)} = \frac{1/4 - 1/8}{1 - 1/2} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$। अतः,$(D)$ का मिलान $(i)$ से होता है।

(A) यहाँ $X$ एक द्विपद चर है जिसका परिसर $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है,इसलिए परीक्षणों की संख्या $n = 6$ है।
द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P(X=2) = 4 P(X=4)$ है।
मान रखने पर:
${^6C_2} p^2 q^4 = 4 \cdot {^6C_4} p^4 q^2$.
चूँकि ${^6C_2} = 15$ और ${^6C_4} = 15$,इसलिए:
$15 p^2 q^4 = 4 \cdot 15 p^4 q^2$.
दोनों पक्षों को $15 p^2 q^2$ से विभाजित करने पर:
$q^2 = 4 p^2$.
$q = 1-p$ रखने पर:
$(1-p)^2 = 4 p^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$1-p = 2p$ या $1-p = -2p$.
स्थिति $1$: $1 = 3p \Rightarrow p = \frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $1 = -p \Rightarrow p = -1$ (जो संभव नहीं है क्योंकि $0 \leq p \leq 1$)।
अतः,प्राचल $p = \frac{1}{3}$ है।

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^2+a x+b$ के मूल काल्पनिक हैं।
चूँकि मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D < 0$,अतः $a^2-4b < 0$।
अब,हम अवकलज ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 2x+a$
$f^{\prime \prime}(x) = 2$
इन मानों को समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ में रखने पर:
$(x^2+ax+b) + (2x+a) + 2 = 0$
$x^2+(a+2)x+(a+b+2) = 0$
मान लीजिए $D'$ इस नए द्विघात समीकरण का विविक्तकर है:
$D' = (a+2)^2 - 4(a+b+2)$
$D' = a^2+4a+4 - 4a-4b-8$
$D' = a^2-4b-4$
चूँकि $a^2-4b < 0$,इसलिए $a^2-4b-4 < -4$।
अतः,$D' < 0$,जिसका अर्थ है कि समीकरण $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ के मूल भी काल्पनिक हैं।

(D) दिया गया है,$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow e^{-2x} + e^{2x} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$e^u$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करने पर:
$e^{-2x} + e^{2x} = (1 - 2x + \frac{(-2x)^2}{2!} - \frac{(-2x)^3}{3!} + \ldots) + (1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \ldots)$
$= 2(1 + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + \ldots) = 2 + 4x^2 + \frac{2}{3}x^4 + \ldots$
गुणांकों की तुलना करने पर,सभी विषम अनुक्रमित गुणांक $a_1, a_3, a_5, \ldots$ शून्य $(0)$ हैं।
अतः,$2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots = 0$।

(C) दिया गया प्रायिकता वितरण:
माध्य $m = \sum p_i x_i = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6})$
$m = 0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1$
प्रसरण $\sigma^2 = \sum p_i (x_i - m)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(0 - 1)^2 + \frac{1}{2}(1 - 1)^2 + 0(2 - 1)^2 + \frac{1}{6}(3 - 1)^2$
$\sigma^2 = \frac{1}{3}(1) + \frac{1}{2}(0) + 0 + \frac{1}{6}(4)$
$\sigma^2 = \frac{1}{3} + 0 + 0 + \frac{4}{6} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$
अतः,$m = 1$ और $\sigma^2 = 1$,इसलिए $m = \sigma^2 = 1$.

(D) यह क्षेत्र $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ के लिए $y=\sin x$,$y=\cos x$ और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A_1$,$x=0$ से $x=\frac{\pi}{4}$ तक $y=\sin x$ के नीचे का क्षेत्रफल है:
$A_1 = \int_0^{\pi/4} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\pi/4} = -(\cos \frac{\pi}{4} - \cos 0) = -(\frac{1}{\sqrt{2}} - 1) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
क्षेत्रफल $A_2$,$x=\frac{\pi}{4}$ से $x=\frac{\pi}{2}$ तक $y=\cos x$ के नीचे का क्षेत्रफल है:
$A_2 = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \cos x \, dx = [\sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $A_1 : A_2 = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} : \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}} = 1 : 1$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त लेने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = (AB)^{\prime} - (BA)^{\prime}$
गुणधर्म $(XY)^{\prime} = Y^{\prime}X^{\prime}$ का उपयोग करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = B^{\prime}A^{\prime} - A^{\prime}B^{\prime}$
$A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(AB - BA)^{\prime} = BA - AB$
$(AB - BA)^{\prime} = -(AB - BA)$
चूंकि आव्यूह $(AB - BA)$ का परिवर्त उसके ऋणात्मक के बराबर है,इसलिए $(AB - BA)$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(D) एक वर्ग आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम नहीं होता है यदि और केवल यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & -1 & 1 \end{bmatrix}$ है।
सारणिक की गणना करने पर:
$|A| = 1(x - (-1)) - (-1)(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = 1(x + 1) + 1(1 - x) + x(-1 - x^2) = 0$
$|A| = x + 1 + 1 - x - x - x^3 = 0$
$|A| = -x^3 - x + 2 = 0$
$x^3 + x - 2 = 0$
निरीक्षण द्वारा,यदि $x = 1$ है,तो $1^3 + 1 - 2 = 0$ होता है,जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
वैकल्पिक रूप से,यदि $x = 1$ है,तो आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ बन जाता है।
चूंकि पहली और तीसरी पंक्ति (या स्तंभ) समान हैं,इसलिए सारणिक $0$ है।
अतः,$x$ का वास्तविक मान $1$ है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll}3 & 5 & x \\ 7 & x & 7 \\ x & 5 & 3\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$3(3x - 35) - 5(21 - 7x) + x(35 - x^2) = 0$
$9x - 105 - 105 + 35x + 35x - x^3 = 0$
$-x^3 + 79x - 210 = 0$
$x^3 - 79x + 210 = 0$
चूंकि $x = -10$ एक मूल है,इसलिए $(x + 10)$ एक गुणनखंड है।
बहुपद विभाजन करने पर:
$(x + 10)(x^2 - 10x + 21) = 0$
$(x + 10)(x - 3)(x - 7) = 0$
अतः मूल $x = -10, 3, 7$ हैं।
इस प्रकार,अन्य मूल $3$ और $7$ हैं।

(D) माना कि $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।
अतः,$n$-वाँ पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है कि $x = T_p = a R^{p-1}$,$y = T_q = a R^{q-1}$,और $z = T_r = a R^{r-1}$ है।
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:
$\log x = \log a + (p-1) \log R$
$\log y = \log a + (q-1) \log R$
$\log z = \log a + (r-1) \log R$
अब,इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \\ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \\ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \\ \log a & q & 1 \\ \log a & r & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \\ (q-1) \log R & q & 1 \\ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}\right|$
पहले सारणिक में,पहला स्तंभ तीसरे स्तंभ का $\log a$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,$C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ संक्रिया करने पर:
$\Delta = 0 + \log R \left|\begin{array}{lll} p-1 & p-1 & 1 \\ q-1 & q-1 & 1 \\ r-1 & r-1 & 1 \end{array}\right|$
यहाँ पहला और दूसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

(D) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों का उपयोग करते हैं: $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$,$\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}(x)$,और $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x)$।
दिया गया व्यंजक: $E = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) - 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 3\cos^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 4\tan^{-1}(-1)$
चरण $1$: गुणों को लागू करें:
$E = \left(\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)\right) - 2\left(\frac{\pi}{6}\right) + 3\left(\pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right) - 4\left(-\frac{\pi}{4}\right)$
चरण $2$: मानक मान प्रतिस्थापित करें:
$E = \left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} + 3\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) + \pi$
चरण $3$: व्यंजक को सरल करें:
$E = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} + 3\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \pi$
$E = \frac{\pi}{3} + \frac{9\pi}{4} + \pi$
$E = \frac{4\pi + 27\pi + 12\pi}{12} = \frac{43\pi}{12}$

(C) व्यंजक $\frac{2x-1}{x^3+4x^2+3x}$ सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के लिए परिभाषित है,सिवाय जहाँ हर शून्य हो।
हर को शून्य के बराबर रखें:
$x^3+4x^2+3x = 0$
$x(x^2+4x+3) = 0$
$x(x+1)(x+3) = 0$
अतः,व्यंजक $x = 0$,$x = -1$,और $x = -3$ पर अपरिभाषित है।
इसलिए,समुच्चय $R - \{0, -1, -3\}$ है।

(B) संख्यात्मक समाकलन के लिए ट्रेपेज़ॉइडल नियम इस प्रकार है:
$\text{दूरी} = \int_{0}^{10} v \ dt \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3 + y_4) + y_5]$
यहाँ,अंतराल की चौड़ाई $h = 2 \ s$ है।
मान $y_0=0, y_1=12, y_2=16, y_3=20, y_4=35, y_5=60$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{दूरी} = \frac{2}{2} [0 + 2(12 + 16 + 20 + 35) + 60]$
$= 1 \times [0 + 2(83) + 60]$
$= 166 + 60$
$= 226 \ \text{m}$.

(D) किसी फलन $f(x)$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = f(0)$ का पालन होना चाहिए।
दिया गया है कि $x \neq 0$ के लिए $f(x) = \frac{2 \sin x - \sin 2x}{2x \cos x}$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x - 2 \sin x \cos x}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin x (1 - \cos x)}{2x \cos x}$
$= \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{1 - \cos x}{\cos x} \right)$
चूंकि $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ और $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{\cos x} = \frac{1 - 1}{1} = 0$ है।
अतः,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 1 \cdot 0 = 0$।
चूंकि $f(0) = a$,सांतत्य के लिए $a = 0$ होना चाहिए।

(B) दिया गया है,$x = \frac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}$.
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{(1+\sqrt{y})+(1-\sqrt{y})}{(1+\sqrt{y})-(1-\sqrt{y})}$
$\frac{1+x}{1-x} = \frac{2}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sqrt{y} = \frac{1-x}{1+x}$,अतः $y = \left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \frac{(-1)(1+x) - (1-x)(1)}{(1+x)^2} = \frac{-1-x-1+x}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = 2\left(\frac{1-x}{1+x}\right) \cdot \left(\frac{-2}{(1+x)^2}\right) = \frac{-4(1-x)}{(1+x)^3} = \frac{4(x-1)}{(1+x)^3}$.

(D) दिया है,व्यास में त्रुटि $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$।
चूँकि $D = 2r$,इसलिए त्रिज्या में त्रुटि $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dV = 4 \pi r^2 dr$ प्राप्त होता है।
आयतन में सापेक्ष त्रुटि $\frac{dV}{V} = \frac{4 \pi r^2 dr}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 3 \frac{dr}{r}$ है।
आयतन में प्रतिशत त्रुटि $= \frac{dV}{V} \times 100 = 3 \times \frac{\Delta r}{r} \times 100$।
मान $r = 10 \text{ cm}$ और $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ रखने पर:
प्रतिशत त्रुटि $= 3 \times \frac{\pm 0.02}{10} \times 100 = 3 \times (\pm 0.002) \times 100 = \pm 0.6\%$।

(B) दिया गया फलन $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$.
चरम मानों के लिए,हम $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$3x^2 + 2ax + b = 0$.
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2 - 3b)$ है।
दी गई शर्त $a^2 \leq 3b$ के अनुसार,$a^2 - 3b \leq 0$ होता है,जिसका अर्थ है कि $D \leq 0$ है।
यदि $D < 0$ है,तो द्विघात समीकरण $f'(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,जिसका अर्थ है कि $f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है और फलन पूरी तरह से एकदिष्ट है।
यदि $D = 0$ है,तो $f'(x) = 3(x + a/3)^2$,जो हमेशा $\geq 0$ है,इसलिए फलन निरंतर वर्धमान है और इसमें नति परिवर्तन बिंदु है,कोई चरम मान नहीं है।
अतः,फलन का कोई चरम मान नहीं है।

(B) दिया गया है,$\frac{d}{d x}\left[a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)\right]=\frac{1}{x^4-1}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \int \frac{1}{x^4-1} dx$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{x^4-1} = \frac{1}{(x^2-1)(x^2+1)} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{x^2-1} - \frac{1}{x^2+1} \right]$.
अतः,$\int \frac{1}{x^4-1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-1} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} dx$.
मानक समाकलन सूत्रों $\int \frac{1}{x^2-a^2} dx = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ और $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \tan^{-1} x$ का उपयोग करने पर:
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right| \right) - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$.
$a \tan ^{-1} x+b \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right) = -\frac{1}{2} \tan^{-1} x + \frac{1}{4} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$a = -\frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - 2b = -\frac{1}{2} - 2(\frac{1}{4}) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

(C) माना $I = \int \frac{d x}{(x+1) \sqrt{4 x+3}}$.
$4x + 3 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$4dx = 2tdt$ या $dx = \frac{1}{2}tdt$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x = \frac{t^2 - 3}{4}$,इसलिए $x + 1 = \frac{t^2 - 3}{4} + 1 = \frac{t^2 + 1}{4}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\frac{1}{2} t dt}{(\frac{t^2 + 1}{4}) t} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{\frac{t^2 + 1}{4}} = 2 \int \frac{dt}{t^2 + 1}$।
समाकलन करने पर,$I = 2 \tan^{-1}(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{4x + 3}$ वापस रखने पर,$I = 2 \tan^{-1}(\sqrt{4x + 3}) + c$ प्राप्त होता है।

(C) हमें $I_n = \int \sin^n x \, dx$ दिया गया है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \sin^{n-1} x$ और $dv = \sin x \, dx$ लें।
तब $du = (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$ और $v = -\cos x$ प्राप्त होता है।
सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर:
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x - \int (-\cos x) (n-1) \sin^{n-2} x \cos x \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) \, dx$
$I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$I_n + (n-1) I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n = -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) I_{n-2}$
$n I_n - (n-1) I_{n-2} = -\sin^{n-1} x \cos x$.

(B) माना $I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\sin x} dx$.
सर्वसमिका $\sin x = \frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^\pi \frac{1}{1+\frac{2 \tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} dx = \int_0^\pi \frac{1+\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)+2 \tan(x/2)} dx$.
चूंकि $1+\tan^2(x/2) = \sec^2(x/2)$,इसलिए:
$I = \int_0^\pi \frac{\sec^2(x/2)}{(1+\tan(x/2))^2} dx$.
माना $t = \tan(x/2)$,तो $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.
जब $x \to 0$,तब $t \to 0$. जब $x \to \pi$,तब $t \to \infty$.
अतः,$I = \int_0^\infty \frac{2 dt}{(1+t)^2} = 2 \left[ -\frac{1}{1+t} \right]_0^\infty = 2(0 - (-1)) = 2$.

(A) दिए गए सदिश $\overrightarrow{a}_1=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\overrightarrow{a}_2=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\overrightarrow{a}_3=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{a}_4=-\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$ हैं।
परिमाण $m_1, m_2, m_3, m_4$ की गणना करने पर:
$m_1 = |\overrightarrow{a}_1| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$
$m_2 = |\overrightarrow{a}_2| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41}$
$m_3 = |\overrightarrow{a}_3| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$
$m_4 = |\overrightarrow{a}_4| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$
मानों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} < \sqrt{6} < \sqrt{11} < \sqrt{41}$.
अतः,$m_3 < m_1 < m_4 < m_2$.

(A) दो सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कोण $\theta > 90^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \theta < 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} < 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (\lambda)(\lambda) + (-7)(1) + (3)(2\lambda) = \lambda^2 - 7 + 6\lambda$.
अदिश गुणनफल को शून्य से कम रखने पर: $\lambda^2 + 6\lambda - 7 < 0$.
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $(\lambda + 7)(\lambda - 1) < 0$.
इस असमिका को हल करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\lambda$ को $-7$ और $1$ के बीच होना चाहिए।
अतः,$-7 < \lambda < 1$.

(A) माना किनारे $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) की गणना करने पर:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(\lambda + 1) - 2(\lambda - 1) - 1(-1 - 1) = \lambda + 1 - 2\lambda + 2 + 2 = 5 - \lambda$.
अतः,$\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |5 - \lambda|$.
$4 = |5 - \lambda|$.
इसका अर्थ है कि $5 - \lambda = 4$ या $5 - \lambda = -4$.
यदि $5 - \lambda = 4$,तो $\lambda = 1$.
यदि $5 - \lambda = -4$,तो $\lambda = 9$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में केवल $1$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $\lambda = 1$ है।

(A) गोले का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+z^2-12x-4y-3z=0$ है।
इसे गोले के व्यापक समीकरण $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2u=-12$,$2v=-4$,और $2w=-3$ प्राप्त होता है।
अतः,$u=-6$,$v=-2$,और $w=-\frac{3}{2}$ है।
गोले का केंद्र $(-u, -v, -w) = (6, 2, \frac{3}{2})$ है।
गोले की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d}$ है।
मान रखने पर,हमें $r = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-\frac{3}{2})^2-0}$ प्राप्त होता है।
$r = \sqrt{36+4+\frac{9}{4}} = \sqrt{40+\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{160+9}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}}$.
इसलिए,$r = \frac{13}{2}$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{DC}$.
सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{DC}$ हो जाती है।
चूंकि $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{AC}+2(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})-2\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}+4\overrightarrow{CD} = 3\overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{DC}$.
चूंकि $Q$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{QC}$.
$P$,$DC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\overrightarrow{DP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$ और $\overrightarrow{PC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$,अर्थात $\overrightarrow{DC} = \frac{3}{2}\overrightarrow{PC}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $3(2\overrightarrow{QC}) - 4(\frac{3}{2}\overrightarrow{PC}) = 6\overrightarrow{QC} - 6\overrightarrow{PC} = 6(\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{CP}) = 6\overrightarrow{QP}$.
चूंकि $\overrightarrow{QP} = -\overrightarrow{PQ}$,हमें $6\overrightarrow{QP} = -6\overrightarrow{PQ}$ प्राप्त होता है।
$k\overrightarrow{PQ}$ के साथ तुलना करने पर,$k = -6$ प्राप्त होता है।

(B) दिक्-अनुपातों $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2=m^2+n^2$ हैं।
$l+m+n=0$ से,हमें $l=-(m+n)$ प्राप्त होता है।
इसे $l^2=m^2+n^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ प्राप्त होता है।
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,जिसका अर्थ है $2mn=0$,अतः $mn=0$ है।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $m=0$. तब $l=-n$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, 0, -k)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
स्थिति $II$: $n=0$. तब $l=-m$. मान लीजिए दिक्-अनुपात $(k, -k, 0)$ हैं। इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
मान लीजिए $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ और $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ है।
उनके बीच के कोण $\theta$ का कोज्या (cosine) $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) दिक्-कोज्याओं $(l, m, n)$ के लिए दिए गए समीकरण हैं:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $l=0$ या $m=0$ है।
स्थिति $1$: यदि $l=0$ है,तो $(i)$ से,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$। माना $m=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(0, 1, -1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m=0$ है,तो $(i)$ से,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$। माना $l=1$,तो $n=-1$। दिक्-अनुपात $(1, 0, -1)$ हैं।
माना दो सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(D) दिक्-कोसाइन $l, m, n$ के लिए दिए गए समीकरण:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ का मान $l^2-5m^2+n^2=0$ में रखने पर:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
स्थिति $1$: $l=m$. तब $n = -(l+m) = -2l$. दिक्-अनुपात $(l, l, -2l)$ अर्थात $(1, 1, -2)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
स्थिति $2$: $l=-2m$. तब $n = -(-2m+m) = m$. दिक्-अनुपात $(-2m, m, m)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मानकीकृत दिक्-कोसाइन $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) सबसे पहले,हम सदिशों $2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ की गणना करते हैं।
$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} = 2(-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) - (-2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}) = (-2\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}) + (2\hat{i}-\hat{j}-3\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} = (-\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) + (2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}+\hat{k}$.
मान लीजिए कि $\theta$ इन दो सदिशों के बीच का कोण है। कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k})}{|\hat{j}+\hat{k}| |\hat{i}+\hat{k}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $(\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i}+\hat{k}) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(1) = 1$.
परिमाण (magnitudes) की गणना करने पर: $|\hat{j}+\hat{k}| = \sqrt{0^2+1^2+1^2} = \sqrt{2}$ और $|\hat{i}+\hat{k}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ हैं।
पहले समीकरण से,$l = -(m+n)$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$।
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $m=0$। तब $l = -n$। दिक् अनुपात $(-1, 0, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $m = -n$। तब $l = 0$। दिक् अनुपात $(0, -1, 1)$ हैं।
मान लीजिए कि दो रेखाएँ सदिशों $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ और $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब $(x, y, z)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \frac{-2(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)}{a^2 + b^2 + c^2}$
यहाँ,बिंदु $(3, 2, 1)$ है और समतल का समीकरण $2x - y + 3z - 7 = 0$ है।
मान रखने पर:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(2(3) - 1(2) + 3(1) - 7)}{2^2 + (-1)^2 + 3^2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(6 - 2 + 3 - 7)}{4 + 1 + 9}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 1}{3} = \frac{-2(0)}{14} = 0$
प्रत्येक भाग को $0$ के बराबर रखने पर:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1$
अतः,बिंदु का प्रतिबिंब $(3, 2, 1)$ है,जिसका अर्थ है कि बिंदु समतल पर स्थित है।