TS EAMCET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं।
प्रारंभ में, साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
समतापीय स्थितियों के तहत, त्रिज्या $2r$ हो जाती है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 2 \times (4 \pi (2r)^2) = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = A_2 - A_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ है।
खर्च की गई ऊर्जा (किया गया कार्य) $W = T \times \Delta A$ द्वारा दी जाती है।
अतः, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(C) मान लीजिए कि छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,बड़ी बूंद का आयतन आठ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
हवा की उत्प्लावकता को नगण्य मानने पर,$\sigma \approx 0$,इसलिए $v_t \propto r^2$.
मान लीजिए $v_1 = 6 \ cm \ s^{-1}$ छोटी बूंद की टर्मिनल चाल है और $v_2$ बड़ी बूंद की टर्मिनल चाल है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \ cm \ s^{-1} = 24 \ cm \ s^{-1}$.

(D) दिया गया $p-V$ आरेख एक दक्षिणावर्त चक्रीय प्रक्रिया $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ को दर्शाता है।
$1$. $A \rightarrow B$: समदाबी प्रसार (दाब $p$ स्थिर है,आयतन $V$ बढ़ता है,इसलिए तापमान $T$ बढ़ता है)।
$2$. $B \rightarrow C$: समतापीय संपीड़न ($p \propto 1/V$,इसलिए $T$ स्थिर है,आयतन $V$ घटता है)।
$3$. $C \rightarrow D$: समआयतनिक संपीड़न (आयतन $V$ स्थिर है,दाब $p$ घटता है,इसलिए तापमान $T$ घटता है)।
$4$. $D \rightarrow A$: समतापीय प्रसार ($p \propto 1/V$,इसलिए $T$ स्थिर है,आयतन $V$ बढ़ता है)।
इन प्रक्रियाओं की तुलना करने पर,विकल्प $D$ में दिया गया $p-T$ आरेख इस चक्र को सही ढंग से दर्शाता है: $A \rightarrow B$ (समदाबी,$T$ बढ़ता है),$B \rightarrow C$ (समतापीय,$p$ घटता है),$C \rightarrow D$ (समआयतनिक,$T$ घटता है),$D \rightarrow A$ (समतापीय,$p$ बढ़ता है)। अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 5 \ kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $M$ है,जो प्रारंभ में विराम अवस्था में है $(u_2 = 0)$।
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है।
टक्कर के बाद,पहले पिंड का वेग $v_1 = \frac{u}{10}$ हो जाता है। माना दूसरे पिंड का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$5u + M(0) = 5 \left(\frac{u}{10}\right) + M v_2$
$5u = \frac{u}{2} + M v_2 \quad \dots (i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के गुण का उपयोग करते हुए $(v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2))$:
$\frac{u}{10} - v_2 = -1(u - 0)$
$v_2 = \frac{u}{10} + u = \frac{11u}{10} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ से $v_2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5u = \frac{u}{2} + M \left(\frac{11u}{10}\right)$
$5 - 0.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$4.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$M = \frac{4.5 \times 10}{11} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \ kg$.

(C) मान लीजिए गोली का द्रव्यमान $m_1 = 0.02 \ kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 250 \ ms^{-1}$ है।
ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 0.23 \ kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ है।
प्रभाव के बाद,गोली और ब्लॉक एक सामान्य वेग $v$ के साथ एक साथ चलते हैं। रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
$0.02 \times 250 + 0.23 \times 0 = (0.02 + 0.23) v$
$5 = 0.25 v$
$v = \frac{5}{0.25} = 20 \ ms^{-1}$
अब,संयुक्त द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 0.25 \ kg$ एक खुरदरी सतह पर चलता है और $d = 40 \ m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाता है। घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot d = 0 - \frac{1}{2} M v^2$
$\mu M g d = \frac{1}{2} M v^2$
$\mu = \frac{v^2}{2 g d}$
मान रखने पर:
$\mu = \frac{(20)^2}{2 \times 9.8 \times 40} = \frac{400}{784} \approx 0.51$

(C) मान लीजिए कि तीसरा द्रव्यमान कण $(2m)$ $X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $u$ वेग से चलता है।
$2m$ द्रव्यमान वाले कण के वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta$ है।
चूंकि प्रारंभिक कण स्थिर था,इसलिए निकाय का कुल रैखिक संवेग शून्य होना चाहिए।
$X$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0 = m(4) + 2m(u \cos \theta)$
$4m = -2m(u \cos \theta)$
$u \cos \theta = -2 \quad \dots (i)$
$Y$-दिशा में रैखिक संवेग संरक्षण का नियम लागू करने पर:
$0 = m(6) + 2m(u \sin \theta)$
$6m = -2m(u \sin \theta)$
$u \sin \theta = -3 \quad \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके उन्हें जोड़ने पर:
$(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2 = (-2)^2 + (-3)^2$
$u^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4 + 9$
$u^2 = 13$
$u = \sqrt{13} \text{ ms}^{-1}$

(B) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{2R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(D) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं।
प्रारंभ में, साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1 = 4 \pi r^2$ है।
चूंकि इसकी दो सतहें होती हैं, इसलिए प्रभावी प्रारंभिक क्षेत्रफल $S_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
समतापीय स्थितियों के तहत, त्रिज्या $2r$ हो जाती है।
नया पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_2 = 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2$ है।
प्रभावी अंतिम क्षेत्रफल $S_2 = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta S = S_2 - S_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ है।
खर्च की गई ऊर्जा $(W)$ को $W = T \times \Delta S$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(C) माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,बड़ी बूंद का आयतन आठ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
हवा की उत्प्लावकता को नगण्य मानने पर,$\sigma \approx 0$,इसलिए $v_t \propto r^2$ है।
माना $v_1 = 6 \,cm \,s^{-1}$ छोटी बूंद का टर्मिनल वेग है और $v_2$ बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \,cm \,s^{-1} = 24 \,cm \,s^{-1}$.

(D) माना $l_s, r_s, Y_s$ स्टील के तार की लंबाई,त्रिज्या और यंग मापांक हैं,और $l_b, r_b, Y_b$ पीतल के तार के लिए हैं।
दिए गए अनुपात: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,स्टील के तार में तनाव $F_s = 2g$ है और पीतल के तार में तनाव $F_b = 2g + 2g = 4g$ है।
लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ को $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,पीतल और स्टील के विस्तार का अनुपात:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
दिए गए मान रखने पर:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
प्रश्न में पूछे गए अनुपात और विकल्पों को देखते हुए,स्टील और पीतल के विस्तार का अनुपात $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ होगा,जो विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए $t$ समय पर,$A$ की स्थिति $\overrightarrow{r}_A = (0 + 0t)\hat{i} + (0 + 2t)\hat{j} = 2t\hat{j}$ है।
मान लीजिए $t$ समय पर,$B$ की स्थिति $\overrightarrow{r}_B = (0 + 2t)\hat{i} + (10 + 0t)\hat{j} = 2t\hat{i} + 10\hat{j}$ है।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\overrightarrow{r}_{AB} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A = 2t\hat{i} + (10 - 2t)\hat{j}$ है।
दूरी का वर्ग $D^2 = |\overrightarrow{r}_{AB}|^2 = (2t)^2 + (10 - 2t)^2$ है।
$D^2 = 4t^2 + 100 + 4t^2 - 40t = 8t^2 - 40t + 100$।
न्यूनतम दूरी के लिए,$\frac{d(D^2)}{dt} = 0$ लेने पर।
$16t - 40 = 0$।
$t = \frac{40}{16} = 2.5 \text{ s}$।
चूंकि $\frac{d^2(D^2)}{dt^2} = 16 > 0$ है,इसलिए $t = 2.5 \text{ s}$ पर दूरी न्यूनतम होगी।

(A) गतिज ऊर्जा $KE$ को $KE = \frac{p^2}{2m}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $m$ स्थिर है, $KE \propto p^2$ है। अतः, $KE$ और $p^2$ के बीच का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है। यह ग्राफ $(D)$ से मेल खाता है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y$ के लिए, $v_y^2 = (u \sin \theta)^2 - 2gy$ का उपयोग करते हुए, गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - 2gy) = \frac{1}{2}mu^2 - mgy$ है। यह $KE = -mgy + C$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है, जो ऋणात्मक ढलान वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है। ग्राफ $(A)$ $V$-आकार दिखाता है, जो इस रैखिक संबंध के लिए गलत है।
समय $t$ के लिए, $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)^2)$ है। यह $t$ में एक द्विघात समीकरण $(KE \propto t^2)$ है, जो एक परवलय को दर्शाता है। ग्राफ $(B)$ परवलयिक परिवर्तन दिखाता है।
क्षैतिज विस्थापन $x$ के लिए, $x = (u \cos \theta)t \Rightarrow t = \frac{x}{u \cos \theta}$ है। इसे $KE$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर द्विघात संबंध $KE \propto x^2$ प्राप्त होता है, जो परवलयिक भी है। ग्राफ $(C)$ परवलयिक परिवर्तन दिखाता है।
इसलिए, ग्राफ $(A)$ $y$ के साथ $KE$ के परिवर्तन का सही प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

(C) मान लीजिए कि पिंड को अधिकतम ऊँचाई बिंदु $C$ से बिंदु $B$ तक गिरने में लगा समय $t^{\prime}$ है।
गति की समरूपता के कारण,$B$ से $C$ तक जाने में लगा समय $C$ से $B$ तक गिरने में लगे समय के बराबर होता है,जो $t^{\prime}$ है।
यह दिया गया है कि पिंड $t_1$ और $t_2$ समय पर $H$ ऊँचाई पर है,इसलिए $t_2 = t_1 + 2t^{\prime}$।
अतः,$t^{\prime} = \frac{t_2-t_1}{2}$।
अधिकतम ऊँचाई $C$ तक पहुँचने में लगा कुल समय $T = t_1 + t^{\prime} = t_1 + \frac{t_2-t_1}{2} = \frac{t_1+t_2}{2}$ है।
प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max}$ सूत्र $H_{\max} = \frac{1}{2}gT^2$ द्वारा दी जाती है।
$T$ का मान रखने पर,हमें $H_{\max} = \frac{1}{2}g\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$ प्राप्त होता है।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर, हमें $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ प्राप्त होता है।
चूंकि रैखिक प्रसार $\frac{dl}{l} = \alpha \Delta \theta$ है, हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
यहाँ $\alpha = 9 \times 10^{-7} /{ }^{\circ} C$ और $\Delta \theta = (30 - 20) = 10^{\circ} C$ दिया गया है,
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-7} \times 10 = 4.5 \times 10^{-6}$.
प्रति दोलन समय की हानि $dT = T \times (4.5 \times 10^{-6})$ है।
$T = 0.5 \, s$ रखने पर, हमें $dT = 0.5 \times 4.5 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \, s$ प्राप्त होता है।

(D) $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन $y = 5 \sin \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)$ है।
कण का वेग $v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left[5 \sin \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = 5 \times 4 \cos \left(4t + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक $SHM$ समीकरण $y = a \sin(\omega t + \phi)$ से करने पर, हमें $\omega = 4 \text{ rad/s}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$, इसलिए $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ होगा।
$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \text{ s}$ पर, वेग:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -20 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3} \text{ m/s}$ है।
गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है।
यहाँ $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ दिया गया है।
$KE = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2 = 10^{-3} \times (100 \times 3) = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \text{ J}$।

(A) दिया गया है:
पहिये की त्रिज्या,$r = 0.4 \,m$
कोणीय त्वरण,$\alpha = 8 \,rad \,s^{-2}$
लटकाया गया द्रव्यमान,$m = 4 \,kg$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m \,s^{-2}$
रिम से लटके द्रव्यमान के भार द्वारा उत्पन्न टॉर्क $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = m \cdot g \cdot r$
साथ ही,टॉर्क जड़त्व आघूर्ण $I$ और कोणीय त्वरण $\alpha$ से निम्नलिखित समीकरण द्वारा संबंधित है:
$\tau = I \cdot \alpha$
टॉर्क के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$I \cdot \alpha = m \cdot g \cdot r$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I \cdot 8 = 4 \times 10 \times 0.4$
$I \cdot 8 = 16$
$I = \frac{16}{8} = 2 \,kg \,m^2$
अतः,पहिये का जड़त्व आघूर्ण $2 \,kg \,m^2$ है।

(B) जब छड़ को छोड़ा जाता है,तो उसकी स्थितिज ऊर्जा बिंदु $P$ के परितः घूर्णन गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
छड़ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U = mg(\frac{l}{2})$ है,क्योंकि गुरुत्व केंद्र $P$ से $\frac{l}{2}$ दूरी पर है।
छड़ की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ है,जहाँ $I$ बिंदु $P$ के परितः जड़त्व आघूर्ण है,जो $I = \frac{ml^2}{3}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = अंतिम घूर्णन गतिज ऊर्जा:
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}I\omega^2$
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{ml^2}{3})\omega^2$
$g = \frac{l}{3}\omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$
छड़ के ऊपरी सिरे का रेखीय वेग $v = \omega l$ द्वारा दिया जाता है।
$\omega$ का मान रखने पर:
$v = \sqrt{\frac{3g}{l}} \times l = \sqrt{3gl}$

(A) स्थिर अवस्था में,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा धारा,जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा धारा के योग के बराबर होनी चाहिए। मान लीजिए जंक्शन का तापमान $T$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सभी छड़ों के लिए विमाएं (लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए जंक्शन पर ऊष्मा धारा का समीकरण होगा:
$H_{in} = H_{out1} + H_{out2}$
$\frac{3KA(100 - T)}{l} = \frac{2KA(T - 50)}{l} + \frac{KA(T - 0)}{l}$
दोनों पक्षों से $\frac{KA}{l}$ को हटाने पर:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + (T - 0)$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$6T = 400$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ} C$

(C) आभासी भार में कमी विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
$30^{\circ} C$ पर: भार में कमी = $45 - 25 = 20 \ g$.
धातु का आयतन $V_{30} = \frac{\text{कमी}}{\rho_{30}} = \frac{20 \ g}{1.5 \ g/cm^3} = 13.33 \ cm^3$.
$40^{\circ} C$ पर: भार में कमी = $45 - 27 = 18 \ g$.
धातु का आयतन $V_{40} = \frac{\text{कमी}}{\rho_{40}} = \frac{18 \ g}{1.25 \ g/cm^3} = 14.40 \ cm^3$.
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ का सूत्र $V_{40} = V_{30}(1 + \gamma \Delta T)$ है।
$\gamma = \frac{V_{40} - V_{30}}{V_{30} \Delta T} = \frac{14.40 - 13.33}{13.33 \times (40 - 30)} = \frac{1.07}{133.3} \approx 8.03 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{8.03 \times 10^{-3}}{3} \approx 2.67 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.

(B) एक चक्रीय प्रक्रिया के लिए, पूरे चक्र में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन शून्य होता है, अर्थात $\sum \Delta U = 0$.
ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए, $\Delta U = Q - W$.
अतः, $\sum (Q_i - W_i) = 0$.
$(Q_1 - W_1) + (Q_2 - W_2) + (Q_3 - W_3) + (Q_4 - W_4) = 0$
$(6000 - 2500) + (-5500 + 1000) + (-3000 + 1200) + (3500 - x) = 0$
$3500 - 4500 - 1800 + 3500 - x = 0$
$700 - x = 0 \implies x = 700 \ J$.
कुल कार्य $W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \ J$.
कुल अवशोषित ऊष्मा $Q_{in} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \ J$.
दक्षता $\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} \times 100 = \frac{1000}{9500} \times 100 = 10.5 \%$.

(C) प्रक्रिया $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ एक दक्षिणावर्त (clockwise) चक्र है।
$1$. $A \rightarrow B$ के दौरान: दबाव $p$ स्थिर है (समदाबी प्रक्रिया)।
$2$. $B \rightarrow C$ के दौरान: प्रक्रिया $p \propto \frac{1}{V}$ का पालन करती है, जिसका अर्थ है $pV = \text{स्थिर}$, इसलिए तापमान $T$ स्थिर है (समतापीय प्रक्रिया)।
$3$. $C \rightarrow D$ के दौरान: आयतन $V$ स्थिर है (समआयतनिक प्रक्रिया)।
$4$. $D \rightarrow A$ के दौरान: प्रक्रिया $p \propto \frac{1}{V}$ का पालन करती है, जिसका अर्थ है कि $T$ स्थिर है (समतापीय प्रक्रिया)।
इन विशेषताओं की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर, हम एक ऐसा $V-T$ आरेख ढूंढते हैं जहाँ:
- $A \rightarrow B$ एक ऐसी प्रक्रिया है जहाँ $V \propto T$ (समदाबी, क्योंकि $pV = nRT \Rightarrow V = (\frac{nR}{p})T$)।
- $B \rightarrow C$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है (समतापीय, $T$ स्थिर है)।
- $C \rightarrow D$ एक क्षैतिज रेखा है (समआयतनिक, $V$ स्थिर है)।
- $D \rightarrow A$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा है (समतापीय, $T$ स्थिर है)।
विकल्प $C$ $V-T$ तल में इस चक्र को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) दिया गया तरंग समीकरण: $y = a \sin (bt - cx)$ है।
त्रिकोणमितीय फलन $\sin(\theta)$ में,कोण $\theta$ विमाहीन होना चाहिए।
इसलिए,$bt$ और $cx$ दोनों विमाहीन हैं।
$(a)$ $\frac{y}{a}$ दो लंबाइयों का अनुपात है,इसलिए यह विमाहीन है।
$(b)$ $bt$ साइन फलन का कोण है,इसलिए यह विमाहीन है।
$(c)$ $cx$ साइन फलन का कोण है,इसलिए यह विमाहीन है।
$(d)$ $b$ की विमा $[T^{-1}]$ है और $c$ की विमा $[L^{-1}]$ है।
अतः,$\frac{b}{c}$ की विमा $\frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [LT^{-1}]$ होती है,जो वेग की विमा को दर्शाती है।
इसलिए,$\frac{b}{c}$ एक विमायुक्त राशि है।

(B) मान लीजिए कि स्रोतों की आवृत्ति $n = 680 \ Hz$ है और ध्वनि की गति $v = 340 \ ms^{-1}$ है।
श्रोता $A$ से $B$ की ओर $u$ वेग से गति करता है।
स्रोत $A$ से दूर जाते समय श्रोता द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ है:
$n' = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 - u}{340} \right) = 2(340 - u)$
स्रोत $B$ की ओर गति करते समय श्रोता द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n''$ है:
$n'' = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 + u}{340} \right) = 2(340 + u)$
विस्पंद आवृत्ति दोनों आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$|n'' - n'| = 10$
$2(340 + u) - 2(340 - u) = 10$
$680 + 2u - 680 + 2u = 10$
$4u = 10$
$u = 2.5 \ ms^{-1}$

(B) मान लीजिए कि दोनों तारों की प्रारंभिक आवृत्ति $n = 600 \text{ Hz}$ है।
तने हुए तार की आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
जब एक तार का तनाव बढ़ाकर $T'$ कर दिया जाता है,तो उसकी नई आवृत्ति $n' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ हो जाती है।
दिया गया है कि बीट आवृत्ति $6 \text{ Hz}$ है,इसलिए $n' - n = 6$।
अतः,$n' = 600 + 6 = 606 \text{ Hz}$।
दोनों आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{n'}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$\frac{606}{600} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$1.01 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{T'}{T} = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$।
तनाव में आंशिक वृद्धि $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{T'}{T} - 1$ है।
$\frac{\Delta T}{T} = 1.02 - 1 = 0.02$।

(C) पाइप के माध्यम से द्रव को प्रवाहित करने के लिए आवश्यक शक्ति प्रति इकाई समय में किए गए कार्य द्वारा दी जाती है। एक क्षैतिज पाइप के लिए,कार्य मुख्य रूप से द्रव की गतिज ऊर्जा को दूर करने के लिए होता है। प्रति इकाई समय गतिज ऊर्जा (शक्ति) $P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\dot{m}$ द्रव्यमान प्रवाह दर है और $v$ द्रव का वेग है।
चूंकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot{m} = \rho A v$ है (जहाँ $\rho$ घनत्व है और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है),हमारे पास $\dot{m} \propto v$ है। इस प्रकार,$P \propto \dot{m} v^2 \propto \dot{m} (\frac{\dot{m}}{\rho A})^2 \propto \dot{m}^3$ होता है।
यदि प्रवाह दर $\dot{m}$ को $n$ के गुणक से बढ़ाया जाता है,तो नई शक्ति $P_1$ का मान $P_1 \propto (n \dot{m})^3 = n^3 \dot{m}^3$ होगा।
इसलिए,अनुपात $\frac{P_1}{P_0} = \frac{n^3 \dot{m}^3}{\dot{m}^3} = n^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_1: P_0 = n^3: 1$ होगा।

(C) मान लीजिए कि द्वितीयक परिपथ में सेल का $EMF$ $V$ है। पोटेंशियोमीटर तार का विभव प्रवणता $k = \frac{V_p}{L}$ है, जहाँ $V_p$ तार पर विभव पतन है और $L$ तार की कुल लंबाई है।
प्रारंभ में, $L_1 = 10 \,m$ और शून्य बिंदु $l_1 = 2.5 \,m$ पर है। $l_1$ पर विभव पतन $V = k_1 l_1 = \left(\frac{V_p}{L_1}\right) l_1$ है।
जब तार की लंबाई बढ़ाकर $L_2 = 10 + 1 = 11 \,m$ कर दी जाती है, तो तार पर विभव पतन $(V_p)$ समान रहता है क्योंकि प्राथमिक परिपथ में कोई बदलाव नहीं किया गया है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{V_p}{L_2} = \frac{V_p}{11}$ है।
द्वितीयक परिपथ में उसी सेल के लिए, नया शून्य बिंदु $l_2$ समीकरण $V = k_2 l_2$ को संतुष्ट करता है।
$V$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{V_p}{10} \times 2.5 = \frac{V_p}{11} \times l_2$.
$l_2$ के लिए हल करने पर: $l_2 = \frac{2.5 \times 11}{10} = 2.75 \,m$.

(D) चुंबक की लंबाई $2l = 10 \,cm$, इसलिए $l = 5 \,cm = 0.05 \,m$ है।
प्रत्येक ध्रुव से उदासीन बिंदु $P$ की दूरी $d = 15 \,cm = 0.15 \,m$ है।
चुंबक के केंद्र $O$ से उदासीन बिंदु की दूरी $r = \sqrt{d^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \,cm = 10\sqrt{2} \,cm = 0.1414 \,m$ है।
उदासीन बिंदु पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H = 0.4 \,Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \,T$ के बराबर होता है।
छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
यहाँ, $r^2 + l^2 = d^2 = (0.15)^2 = 0.0225 \,m^2$ है।
अतः, $0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.0225)^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (0.0225)^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (0.15)^3 = 400 \times 0.003375 = 1.35 \,A-m^2$.
ध्रुव प्रबलता $m$, $M = m \times (2l)$ द्वारा दी जाती है।
$m = \frac{M}{2l} = \frac{1.35 \,A-m^2}{0.10 \,m} = 13.5 \,A-m$.

(A) यंग के डबल स्लिट प्रयोग में स्क्रीन पर किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\phi$ कलांतर है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज $(P_1)$ पर,पथ अंतर $0$ है,इसलिए कलांतर $\phi_1 = 0$ है। अतः,$I_1 = I_{max}$।
केंद्र से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $P_2$,$P_1$ से $y = \frac{\beta}{4}$ की दूरी पर है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
इसलिए,$\Delta x = \frac{(\beta/4)d}{D} = \frac{(\lambda D/4d)d}{D} = \frac{\lambda}{4}$।
कलांतर $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।
अब,$P_2$ पर तीव्रता $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_{max} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$ है।
अतः,अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2$ है।

(C) $L-C-R$ परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{(X_L - X_C)^2 + R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई कोणीय आवृत्ति $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad/s}$,प्रेरकत्व $L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,और धारिता $C = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 7 \text{ } \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{70 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{70} \approx 14.28 \text{ } \Omega$.
चूंकि $X_C > X_L$,शुद्ध प्रतिघात धारितीय है $(X_C - X_L > 0)$।
इसलिए,परिपथ एक श्रेणी $R-C$ परिपथ के रूप में व्यवहार करता है।

(C) माना प्राथमिक सेल का $EMF$ $V$ है और $L_1 = 10 \ m$ लंबाई के पोटेंशियोमीटर तार का प्रतिरोध $R_0$ है। प्राथमिक परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_0}$ है।
विभव प्रवणता $k_1 = \frac{V}{L_1} = \frac{V}{10}$ है।
शून्य विक्षेप बिंदु $l_1 = 2.5 \ m$ पर प्राप्त होता है,इसलिए द्वितीयक सेल का $EMF$ $E = k_1 \times l_1 = \frac{V}{10} \times 2.5 = 0.25V$ है।
जब तार की लंबाई बढ़ाकर $L_2 = 10 + 1 = 11 \ m$ कर दी जाती है,तो नया प्रतिरोध $R_0' = \frac{11}{10}R_0$ हो जाता है। प्राथमिक परिपथ में नई धारा $I' = \frac{V}{R_0'} = \frac{V}{1.1 R_0} = \frac{I}{1.1}$ है।
नई विभव प्रवणता $k_2 = \frac{I' \times R_0'}{L_2} = \frac{V}{L_2} = \frac{V}{11}$ है।
उसी द्वितीयक सेल के लिए,नया शून्य विक्षेप बिंदु $l_2$ समीकरण $E = k_2 \times l_2$ को संतुष्ट करता है।
$0.25V = \frac{V}{11} \times l_2$.
$l_2 = 0.25 \times 11 = 2.75 \ m$.

(C) माना वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध $R$ है। $B$ और $C$ के बीच का प्रतिरोध $50 \text{ k}\Omega$ है। जब वोल्टमीटर को इस प्रतिरोध के समानांतर जोड़ा जाता है,तो $B$ और $C$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार होगा:
$\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{50 \text{ k}\Omega} = \frac{50 \text{ k}\Omega + R}{50 R \text{ k}\Omega}$
$R' = \frac{50 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 50 \text{ k}\Omega + R' = 50 + \frac{50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 50 R + 50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{100}{\left( \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \right)} = \frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \text{ mA}$ है।
$B$ और $C$ के बीच का वोल्टेज $V_{BC} = I R' = \frac{100}{3} \text{ V}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \times \frac{50 R}{50 + R} = \frac{100}{3}$
$\frac{5000 R}{2500 + 100 R} = \frac{100}{3}$
$15000 R = 250000 + 10000 R$
$5000 R = 250000$
$R = 50 \text{ k}\Omega$.

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K = E - W_0$ होती है।
चूंकि $K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}}$ होगा।
जब $m$ द्रव्यमान और $e$ आवेश वाला कण $B$ चुंबकीय क्षेत्र में अपने वेग के लंबवत गति करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय बल उसे आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$evB = \frac{mv^2}{r}$
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,$r = \frac{mv}{eB}$ प्राप्त होता है।
$v$ का मान समीकरण में रखने पर:
$r = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{2m(E-W_0)}}{eB}$.

(B) धातु का कार्य फलन $W_0 = 3.31 \times 10^{-19} \,J$ दिया गया है।
आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \,m = 5 \times 10^{-7} \,m$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = W_0 + KE_{max}$ है,जहाँ $KE_{max}$ अधिकतम गतिज ऊर्जा है।
आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} \,J$ होगी।
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} = 3.972 \times 10^{-19} \,J$.
अब,$KE_{max} = E - W_0 = 3.972 \times 10^{-19} \,J - 3.31 \times 10^{-19} \,J = 0.662 \times 10^{-19} \,J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए,इसे इलेक्ट्रॉन के आवेश $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ से विभाजित करने पर:
$KE_{max} = \frac{0.662 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,C} = 0.41375 \,eV \approx 0.41 \,eV$.

(A) अनंत लंबाई के सीधे तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = 2k \frac{\lambda}{r}$
जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$ है।
दिया गया है:
$\lambda = \frac{1}{3} \, C \cdot m^{-1}$
$r = 18 \, cm = 0.18 \, m = 18 \times 10^{-2} \, m$
मान रखने पर:
$E = 2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{1/3}{18 \times 10^{-2}}$
$E = 18 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 18 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{18 \times 10^9}{54 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{1}{3} \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$
$E \approx 0.33 \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$

(C) $(0,0,a)$ पर स्थित $+q$ आवेश के कारण बिंदु $P(0,0,z)$ पर विभव:
$V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{(z-a)}$
$(0,0,-a)$ पर स्थित $-q$ आवेश के कारण बिंदु $P(0,0,z)$ पर विभव:
$V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z-(-a))} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z+a)}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V = V_1 + V_2$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{z-a} - \frac{q}{z+a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(z+a) - (z-a)}{(z-a)(z+a)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{z+a-z+a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{2qa}{4 \pi \varepsilon_0(z^2-a^2)}$

(C) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार और वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. केंद्र $O$ से $R$ दूरी पर स्थित लंबे सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ (बाहर की दिशा में,तल के लंबवत)।
$2$. $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ (बाहर की दिशा में,तल के लंबवत)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा (बाहर की ओर) में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} + \frac{\mu_0 I}{2 R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} (1 + \pi)$
अतः,चुंबकीय प्रेरण का परिमाण $\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}(\pi+1)$ है।

(C) $I$ धारा ले जाने वाले $R$ त्रिज्या के एक वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि लूप की परिधि $l = 2 \pi R$ है,इसलिए $R = \frac{l}{2 \pi}$ है।
इसे $B$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,$B = \frac{\mu_0 I}{2(l / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$ प्राप्त होता है।
जब $l$ लंबाई के उसी तार को दो लूप (दो फेरों) में मोड़ा जाता है,तो मान लें कि नई त्रिज्या $r'$ है।
तार की कुल लंबाई $l = 2(2 \pi r')$ है,जिसका अर्थ है $r' = \frac{l}{4 \pi} = \frac{R}{2}$।
$N$ फेरों वाली कुंडली के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B' = N \frac{\mu_0 I}{2r'}$ होता है।
यहाँ,$N = 2$ और $r' = \frac{R}{2}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$B' = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{2(R / 2)} = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{R} = 4 \cdot \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ प्राप्त होता है।
अतः,नया चुंबकीय क्षेत्र $4B$ होगा।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
जब चुंबकों को एक साथ रखा जाता है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{eff} = M_A + M_B$ (समान ध्रुवों के लिए) और $M_{eff} = M_A - M_B$ (विपरीत ध्रुवों के लिए) होता है।
मान लीजिए $f_s = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_d = 15 \text{ दोलन/मिनट}$ है।
चूंकि $f \propto \sqrt{M_{eff}}$,इसलिए $\frac{f_s}{f_d} = \sqrt{\frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{20}{15}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \frac{16}{9} = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{16+9}{16-9} = \frac{25}{7}$.

(D) दिया गया है: चुंबक की लंबाई $2l = 10 \, cm$, इसलिए $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$. प्रत्येक ध्रुव से उदासीन बिंदु की दूरी $r' = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
माना $m$ ध्रुव प्रबलता है। उदासीन बिंदु $P$ पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H = 0.4 \, Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \, T$ के बराबर होता है।
बिंदु $P$ पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र $N$ और $S$ ध्रुवों के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r'^2} \times 2 \cos\theta$, जहाँ $\cos\theta = \frac{OP}{r'}$.
ज्यामिति से, $OP = \sqrt{r'^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \, cm = 10\sqrt{2} \, cm = 0.1 \sqrt{2} \, m$.
$\cos\theta = \frac{10\sqrt{2}}{15} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
गणना करने पर, $m = 1.35 \, A-m$ प्राप्त होता है।

(D) समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या रेडियोधर्मी क्षय के नियम द्वारा दी जाती है: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
क्षय नियतांक $10 \lambda$ वाले पदार्थ $X_1$ के लिए: $N_1 = N_0 e^{-10 \lambda t}$.
क्षय नियतांक $\lambda$ वाले पदार्थ $X_2$ के लिए: $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$.
दिया गया है कि समय $t$ पर अनुपात $N_1 / N_2 = 1 / e$ है:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-10 \lambda t + \lambda t} = e^{-9 \lambda t}$.
हमें $\frac{N_1}{N_2} = e^{-1}$ दिया गया है।
घातांकों की तुलना करने पर: $-9 \lambda t = -1$.
अतः,$t = \frac{1}{9 \lambda}$.

(D) एक्रोमैटिक डबलट दो अलग-अलग सामग्रियों से बने लेंसों का एक संयोजन है जिसे क्रोमैटिक एबरेशन (वर्ण विपथन) को कम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
एक्रोमैटिक डबलट के लिए,संयोजन के एक्रोमैटिक होने की शर्त समीकरण द्वारा दी जाती है:
$\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$
जहाँ $P_1$ और $P_2$ दो लेंसों की शक्तियाँ हैं और $\omega_1$ और $\omega_2$ उनकी संबंधित विक्षेपण शक्तियाँ (dispersive powers) हैं।
यह समीकरण दर्शाता है कि उनकी शक्तियों और विक्षेपण शक्तियों के गुणनफल का योग शून्य के बराबर होना चाहिए।

(C) परिपथ $A$ में,दोनों $p-n$ जंक्शन डायोड फॉरवर्ड बायस में हैं। अतः,दोनों शाखाओं से धारा प्रवाहित होती है। कुल प्रतिरोध $R_A$ इस प्रकार है: $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$,इसलिए $R_A = 2 \Omega$। ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I_A = \frac{V}{R_A} = \frac{8 \text{ V}}{2 \Omega} = 4 \text{ A}$।
परिपथ $B$ में,ऊपरी डायोड फॉरवर्ड बायस में है,लेकिन निचला डायोड रिवर्स बायस में है। इसलिए,निचली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। धारा केवल ऊपरी शाखा से $4 \Omega$ प्रतिरोध के साथ प्रवाहित होती है। ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$I_B = \frac{V}{R_B} = \frac{8 \text{ V}}{4 \Omega} = 2 \text{ A}$।
अतः,धाराएँ क्रमशः $4 \text{ A}$ और $2 \text{ A}$ हैं।

(C) व्यतिकरण की घटना उन दो तरंगों के बीच होती है जिनकी आवृत्ति समान होती है और जिनके बीच कलांतर स्थिर रहता है।
दी गई तरंगों की आवृत्तियों की तुलना करने पर:
$(i)$ आवृत्ति $\omega$ है।
(ii) आवृत्ति $2\omega$ है।
(iii) आवृत्ति $\omega$ है।
(iv) आवृत्ति $3\omega$ है।
चूंकि तरंगों $y_1$ और $y_3$ दोनों की कोणीय आवृत्ति समान $\omega$ है,इसलिए उनका अध्यारोपण व्यतिकरण प्रतिरूप उत्पन्न करेगा।