यदि x, y, z सभी धनात्मक हैं और क्रमशः एक गुणो | vedclass

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Question

(D) माना कि $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।अतः,$n$-वाँ पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।दिया है कि $x = T_p

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(D) माना कि $a$ प्रथम पद है और $R$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ का सार्व अनुपात है।अतः,$n$-वाँ पद $T_n = a R^{n-1}$ द्वारा दिया जाता है।दिया है कि $x = T_p = a R^{p-1}$,$y = T_q = a R^{q-1}$,और $z = T_r = a R^{r-1}$ है।दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर:$\log x = \log a + (p-1) \log R$$\log y = \log a + (q-1) \log R$$\log z = \log a + (r-1) \log R$अब,इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a + (p-1) \log R & p & 1 \ \log a + (q-1) \log R & q & 1 \ \log a + (r-1) \log R & r & 1 \end{array}ight|$सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:$\Delta = \left|\begin{array}{lll} \log a & p & 1 \ \log a & q & 1 \ \log a & r & 1 \end{array}ight| + \left|\begin{array}{lll} (p-1) \log R & p & 1 \ (q-1) \log R & q & 1 \ (r-1) \log R & r & 1 \end{array}ight|$पहले सारणिक में,पहला स्तंभ तीसरे स्तंभ का $\log a$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।दूसरे सारणिक में,$C_2 ightarrow C_2 - C_3$ संक्रिया करने पर:$\Delta = 0 + \log R \left|\begin{array}{lll} p-1 & p-1 & 1 \ q-1 & q-1 & 1 \ r-1 & r-1 & 1 \end{array}ight|$यहाँ पहला और दूसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।अतः,$\Delta = 0 + 0 = 0$.

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$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ के लिए गुणधर्म $1$ का सत्यापन कीजिए।

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके और बिना विस्तार किए सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0$.

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$

$\left|\begin{array}{ccc}x+y & y+z & z+x \\ z & x & y \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|=$ . . . . . . .

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