एक चतुष्फलक (tetrahedron) जिसका किनारे hat{i} | vedclass

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Question

(A) माना किनारे $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(A) माना किनारे $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है $V = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} 	imes \vec{c})|$.अदिश त्रिक गुणन (scalar triple product) की गणना करने पर:$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(\lambda + 1) - 2(\lambda - 1) - 1(-1 - 1) = \lambda + 1 - 2\lambda + 2 + 2 = 5 - \lambda$.अतः,$\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |5 - \lambda|$.$4 = |5 - \lambda|$.इसका अर्थ है कि $5 - \lambda = 4$ या $5 - \lambda = -4$.यदि $5 - \lambda = 4$,तो $\lambda = 1$.यदि $5 - \lambda = -4$,तो $\lambda = 9$.चूंकि दिए गए विकल्पों में केवल $1$ उपलब्ध है,इसलिए सही उत्तर $\lambda = 1$ है।

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