यदि n एक पूर्णांक है जिसे 3 से विभाजित करने प | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है। हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।

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$-(-2)^n$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $n = 3r + 1$,जहाँ $r$ एक पूर्णांक है। हम जानते हैं कि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$। अतः,$1 + i\sqrt{3} = -2\omega^2$ और $1 - i\sqrt{3} = -2\omega$। इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $(1 + i\sqrt{3})^n + (1 - i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$ $= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$ चूँकि $n = 3r + 1$,इसलिए $\omega^n = \omega$ और $\omega^{2n} = \omega^2$। अतः,व्यंजक $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ हो जाता है। चूँकि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $\omega^2 + \omega = -1$। अतः,परिणाम $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ प्राप्त होता है।

यदि $n$ एक पूर्णांक है जिसे $3$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है,तो $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ का मान क्या होगा?

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मान लीजिए $\omega=\operatorname{cis}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)=\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right)+i \sin \left(\frac{2 \pi}{3}\right)$ और $f(x)=x^7-2 x^4-4 x^3+8$ है। निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

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यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-2x+4=0$ के मूल हैं,तो किसी भी $n \in N$ के लिए $\alpha^n+\beta^n = \ldots \cos \left(\frac{n\pi}{3}\right)$.

यदि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-4x+8=0$ के मूल हैं,तो किसी भी $n \in N$ के लिए,$\alpha^{2n}+\beta^{2n}$ का मान क्या होगा?

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