TS EAMCET 2009 Chemistry Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) मान लीजिए कि $I_{max}$ दीप्त फ्रिंज के केंद्र $(P_1)$ पर तीव्रता है। अतः,$I_1 = I_{max}$।
केंद्र से $y$ दूरी पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{yd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $y = \frac{\beta}{4}$ दिया गया है,जहाँ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ फ्रिंज चौड़ाई है।
$y$ का मान रखने पर,$\Delta x = \frac{(\lambda D / 4d) \cdot d}{D} = \frac{\lambda}{4}$ प्राप्त होता है।
कलांतर $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ होता है।
किसी भी बिंदु पर तीव्रता $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
बिंदु $P_2$ के लिए,$I_2 = I_{max} \cos^2(\pi/4) = I_{max} \cdot (1/\sqrt{2})^2 = \frac{I_{max}}{2}$।
अतः,अनुपात $I_1/I_2 = I_{max} / (I_{max}/2) = 2$ है।

(C) एथेनॉल $(C_2H_5OH)$ की क्लोरीन $(Cl_2)$ के साथ अभिक्रिया दो चरणों में होती है:
$1$. एथेनॉल का ऑक्सीकरण होकर एसेटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ बनता है,जो $X$ है।
$CH_3CH_2OH + Cl_2 \rightarrow CH_3CHO + 2HCl$
$2$. इसके बाद एसेटाल्डिहाइड का क्लोरीनीकरण होकर क्लोरल $(CCl_3CHO)$ बनता है,जो $Y$ है।
$CH_3CHO + 3Cl_2 \rightarrow CCl_3CHO + 3HCl$
अतः,$X = CH_3CHO$ और $Y = CCl_3CHO$।

(A) अभिक्रिया श्रृंखला इस प्रकार है: $\text{Alkyne}$ $\xrightarrow{H_2, \text{Lindlar's catalyst}} A$ $\xrightarrow{\text{Ozonolysis}} B \text{ (only)}$.
वाकर प्रक्रम में,एथीन $(CH_2=CH_2)$ का ऑक्सीकरण होकर एसीटैल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ प्राप्त होता है,जो $B$ है।
चूंकि एल्कीन $A$ के ओजोनोलिसिस से केवल $B$ $(CH_3CHO)$ प्राप्त होता है,इसलिए $A$ को $CH_3CH=CHCH_3$ (ब्यूट$-2-$ईन) होना चाहिए।
लिंडलर उत्प्रेरक एल्काइन का अपचयन करके $cis$-एल्कीन बनाता है।
अतः,प्रारंभिक एल्काइन $CH_3-C \equiv C-CH_3$ (ब्यूट$-2-$आइन) होना चाहिए।

(D) एसिटाल्डिहाइड से क्रोटोनल्डिहाइड का संश्लेषण एल्डोल संघनन अभिक्रिया के माध्यम से होता है।
सबसे पहले,एसिटाल्डिहाइड के दो अणु नाभिकरागी योग अभिक्रिया के माध्यम से $3$-हाइड्रॉक्सीब्यूटेनैल (एल्डोल) बनाते हैं।
इसके बाद,एल्डोल गर्म करने पर विलोपन अभिक्रिया (निर्जलीकरण) के माध्यम से क्रोटोनल्डिहाइड $(CH_3CH=CHCHO)$ बनाता है।
चूंकि पूरी प्रक्रिया में नाभिकरागी योग और विलोपन दोनों चरण शामिल हैं,इसलिए इसे नाभिकरागी योग-विलोपन अभिक्रिया के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(C) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{(X_L - X_C)^2 + R^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ और $X_C = \frac{1}{\omega C}$ है।
दिया गया है: $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad/s}$,$L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,और $C = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$।
प्रेरक प्रतिघात की गणना: $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 7 \text{ } \Omega$।
धारिता प्रतिघात की गणना: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{70 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{70} \approx 14.29 \text{ } \Omega$।
चूंकि $X_C > X_L$,शुद्ध प्रतिघात धारिता है $(X_C - X_L > 0)$।
इसलिए,परिपथ एक श्रेणी $R-C$ परिपथ की तरह व्यवहार करता है।

(A) गाटरमैन अभिक्रिया में,डायज़ोनियम समूह $(-N_2^+Cl^-)$ को संबंधित हैलोजन अम्ल ($HCl$ या $HBr$) की उपस्थिति में कॉपर पाउडर $(Cu)$ का उपयोग करके एक हैलोजन परमाणु ($Cl$ या $Br$) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
विशेष रूप से,डायज़ोनियम धनायन पर अभिक्रिया मिश्रण में उत्पन्न न्यूक्लियोफिलिक हैलाइड आयन $(Cl^{\ominus})$ द्वारा आक्रमण किया जाता है,जो कॉपर उत्प्रेरक द्वारा सुगम होता है।
इसलिए,$\underline{X}$ का मान $Cl^{\ominus}$ है और $\underline{Y}$ का मान $Cu / HCl$ है।

(D) कोडोन $DNA$ या $RNA$ के स्ट्रैंड पर $3$ क्रमिक क्षारों का एक विशिष्ट अनुक्रम है जो एक विशिष्ट अमीनो एसिड के लिए आनुवंशिक कोड जानकारी प्रदान करता है।
ये अमीनो एसिड फिर एक साथ जुड़कर एक पॉलीपेप्टाइड श्रृंखला बनाते हैं,जो प्रोटीन का निर्माण करती है।
इसलिए,$\underline{A} = 3 \text{ क्षार}$,$\underline{B} = \text{अमीनो एसिड}$,और $\underline{C} = \text{प्रोटीन}$।

(C) ट्राइपेप्टाइड अमीनो एसिड के बहुलक (polymers) होते हैं जिनमें तीन व्यक्तिगत अमीनो एसिड इकाइयाँ,जिन्हें अवशेष (residues) कहा जाता है,पेप्टाइड बॉन्ड द्वारा जुड़ी होती हैं।
तीन अलग-अलग अमीनो एसिड के लिए,संभावित ट्राइपेप्टाइड की संख्या $3$ वस्तुओं के $3$ के समूह में क्रमचय (permutations) की संख्या द्वारा दी जाती है,जो $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
मान लीजिए अमीनो एसिड $G$ (ग्लाइसिन),$A$ (एलेनिन),और $P$ (फेनिल एलेनिन) हैं। संभावित अनुक्रम हैं:
$GAP, GPA, AGP, APG, PGA, PAG$.
इस प्रकार,कुल $6$ अलग-अलग ट्राइपेप्टाइड तैयार किए जा सकते हैं।

(C) अभिक्रिया $(I)$: कैल्शियम एसीटेट का शुष्क आसवन करने पर एसीटोन $(CH_3 COCH_3)$ और कैल्शियम कार्बोनेट $(CaCO_3)$ प्राप्त होता है। अतः,$\underline{A} = CH_3 COCH_3$ है।
अभिक्रिया $(II)$: एसिटिक एसिड का $HI$ और लाल फास्फोरस के साथ अपचयन करने पर इथेन $(C_2 H_6)$ प्राप्त होता है। अतः,$\underline{B} = C_2 H_6$ है।
अभिक्रिया $(III)$: एसिटिक एसिड का $P_4 O_{10}$ के साथ निर्जलीकरण करने पर एसिटिक एनहाइड्राइड $((CH_3 CO)_2 O)$ प्राप्त होता है। अतः,$\underline{C} = (CH_3 CO)_2 O$ है।
अतः,सही क्रम $\underline{A} = CH_3 COCH_3$,$\underline{B} = C_2 H_6$,और $\underline{C} = (CH_3 CO)_2 O$ है।

(A) माना पहले पिंड का द्रव्यमान $m_1 = 5 \ kg$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u$ है। माना दूसरे पिंड का द्रव्यमान $M$ है और उसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0$ है।
प्रत्यास्थ टक्कर के बाद,पहला पिंड $v_1 = \frac{u}{10}$ वेग से उसी दिशा में गति करता है। माना दूसरे पिंड का वेग $v_2$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$5u + M(0) = 5 \left(\frac{u}{10}\right) + M v_2$
$5u = \frac{u}{2} + M v_2 \implies M v_2 = 4.5u$ --- $(i)$
प्रत्यास्थ टक्कर के लिए,प्रत्यावस्थान गुणांक $e = 1$ होता है,इसलिए:
$v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2)$
$v_2 - \frac{u}{10} = 1(u - 0)$
$v_2 = u + \frac{u}{10} = \frac{11u}{10}$ --- (ii)
समीकरण (ii) से $v_2$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$M \left(\frac{11u}{10}\right) = 4.5u$
$M = \frac{4.5 \times 10}{11} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \ kg$.

(C) कण का प्रारंभिक द्रव्यमान $= 4 M$। प्रारंभिक वेग $= 0$। अतः,प्रारंभिक संवेग $= 0$।
विस्फोट के बाद,निकाय $M$,$M$ और $2 M$ द्रव्यमान के तीन टुकड़ों से बना है। मान लीजिए कि $M$ द्रव्यमान वाले टुकड़ों के वेग $\vec{v}_x = 4 \hat{i} ~ms^{-1}$ और $\vec{v}_y = 6 \hat{j} ~ms^{-1}$ हैं। मान लीजिए कि $2 M$ द्रव्यमान वाले टुकड़े का वेग $\vec{v}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final}$
$0 = M(4 \hat{i}) + M(6 \hat{j}) + 2 M \vec{v}$
$0 = 4 M \hat{i} + 6 M \hat{j} + 2 M \vec{v}$
$2 M$ से विभाजित करने पर:
$0 = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \vec{v}$
$\vec{v} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} ~ms^{-1}$
वेग का परिमाण है:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ~ms^{-1}$।

(C) माना गोली का द्रव्यमान $m_1 = 0.02 \ kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_1 = 250 \ ms^{-1}$ है।
माना ब्लॉक का द्रव्यमान $m_2 = 0.23 \ kg$ है और इसका प्रारंभिक वेग $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रभाव से पहले का संवेग प्रभाव के बाद के संवेग के बराबर होता है:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2)v$
$0.02 \times 250 + 0.23 \times 0 = (0.02 + 0.23)v$
$5 = 0.25v$
$v = \frac{5}{0.25} = 20 \ ms^{-1}$
अब,संयुक्त द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 = 0.25 \ kg$ प्रारंभिक वेग $v = 20 \ ms^{-1}$ के साथ चलता है और घर्षण के कारण $d = 40 \ m$ की दूरी तय करने के बाद रुक जाता है।
घर्षण द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K$
$f_k \cdot d = \frac{1}{2} M v^2$
$(\mu M g) \cdot d = \frac{1}{2} M v^2$
$\mu = \frac{v^2}{2gd} = \frac{20^2}{2 \times 9.8 \times 40}$
$\mu = \frac{400}{784} \approx 0.51$

(C) प्रारंभ में,$4 m$ द्रव्यमान का कण स्थिर है,इसलिए इसका प्रारंभिक संवेग शून्य है।
मान लीजिए भारी द्रव्यमान $(2 m)$ के कण का वेग $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अंतिम कुल संवेग शून्य होना चाहिए:
$\vec{P}_{initial} = \vec{P}_{final} = 0$
$m(4 \hat{i}) + m(6 \hat{j}) + 2m(v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) = 0$
$m$ से विभाजित करने पर:
$4 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2v_x \hat{i} + 2v_y \hat{j} = 0$
घटकों की तुलना करने पर:
$4 + 2v_x = 0 \Rightarrow v_x = -2 ms^{-1}$
$6 + 2v_y = 0 \Rightarrow v_y = -3 ms^{-1}$
भारी द्रव्यमान के वेग का परिमाण है:
$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} ms^{-1}$

(B) सल्फ्यूरिक एनहाइड्राइड $SO_3$ है। इसकी संरचना में,केंद्रीय सल्फर परमाणु $sp^2$ संकरित होता है।
यह तीन ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ तीन $\sigma$ बंध बनाता है।
तीन $\pi$ बंधों में से,एक $p \pi-p \pi$ अतिव्यापन ($S$ और $O$ के बीच) द्वारा बनता है और अन्य दो $p \pi-d \pi$ अतिव्यापन ($S$ और $O$ के बीच) द्वारा बनते हैं।
इस प्रकार,अणु में $3 \sigma$,$1 p \pi-p \pi$ और $2 p \pi-d \pi$ बंध उपस्थित होते हैं।

(A) $XeO_3$ में,ज़ेनॉन परमाणु एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pair) के साथ $sp^3$ संकरित होता है। यह ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ $3$ द्वि-बंध बनाता है। प्रत्येक द्वि-बंध में एक $\sigma$ बंध और एक $p\pi-d\pi$ $\pi$ बंध होता है। अतः,इसमें $3$ $p\pi-d\pi$ $\pi$ बंध हैं।
$XeO_4$ में,ज़ेनॉन परमाणु बिना किसी एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म के $sp^3$ संकरित होता है। यह ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ $4$ द्वि-बंध बनाता है। प्रत्येक द्वि-बंध में एक $\sigma$ बंध और एक $p\pi-d\pi$ $\pi$ बंध होता है। अतः,इसमें $4$ $p\pi-d\pi$ $\pi$ बंध हैं।
इसलिए,$XeO_3$ और $XeO_4$ में $p\pi-d\pi$ बंधों की संख्या क्रमशः $3$ और $4$ है।

(C) द्विध्रुव आघूर्ण का सूत्र $\mu = \delta \times d$ है,जहाँ $\delta$ विद्युत आवेश का परिमाण है और $d$ बंध लंबाई है।
अतः,आवेश का अंश $\delta = \frac{\mu}{d}$ है।
$HCl$ और $HI$ के लिए आवेश का अनुपात:
$\frac{\delta_{HCl}}{\delta_{HI}} = \frac{\mu_{HCl}}{d_{HCl}} \times \frac{d_{HI}}{\mu_{HI}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{\delta_{HCl}}{\delta_{HI}} = \frac{1.03 \times 1.6}{1.3 \times 0.38} = \frac{1.648}{0.494} \approx 3.33 : 1$.
अतः,अनुपात $3.3 : 1$ है।

(C) अभिक्रिया $N_{2(g)} + 2 O_{2(g)} \rightleftharpoons 2 NO_{2(g)}$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K_1 = 100$ है।
इसका व्यंजक $K_1 = \frac{[NO_2]^2}{[N_2][O_2]^2} = 100$ है।
अभिक्रिया $NO_{2(g)} \rightleftharpoons \frac{1}{2} N_{2(g)} + O_{2(g)}$ के लिए,साम्य स्थिरांक $K_2 = \frac{[N_2]^{1/2} [O_2]}{[NO_2]}$ है।
$K_2$ की तुलना $K_1$ से करने पर,हम पाते हैं कि $K_2 = \sqrt{\frac{1}{K_1}}$ है।
अतः,$K_2 = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{1}{10} = 0.1$।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t = \frac{2.303}{k} \log_{10} \frac{a}{a-x}$ होता है।
माना प्रारंभिक सांद्रता $a = 100$ है।
$75 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 75$,अतः $a-x = 25$. इस प्रकार,$t_{75\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{k} \log 4$.
$25 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 25$,अतः $a-x = 75$. इस प्रकार,$t_{25\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{75} = \frac{2.303}{k} \log \frac{4}{3}$.
अनुपात $\frac{t_{75\%}}{t_{25\%}} = \frac{\log 4}{\log 4 - \log 3} = \frac{0.6020}{0.6020 - 0.4771} = \frac{0.6020}{0.1249} \approx 4.8$ है।

(C) डोपामाइन मस्तिष्क के कई क्षेत्रों में उत्पादित एक न्यूरोट्रांसमीटर है। मस्तिष्क में डोपामाइन की कमी पार्किंसंस रोग से जुड़ी है। डोपामाइन का $IUPAC$ नाम $4-(2-aminoethyl)benzene-1,2-diol$ है। इसकी संरचना में एक बेंजीन वलय होता है जिसमें $3$ और $4$ स्थिति पर दो हाइड्रॉक्सिल समूह और $1$ स्थिति पर एक एथिलएमाइन श्रृंखला होती है। सही संरचना विकल्प $C$ द्वारा दर्शाई गई है।

(C) प्रथम आयनन ऊर्जा $(IE_1)$ सामान्यतः आवर्त में बाएं से दाएं जाने पर बढ़ती है। दूसरे आवर्त के तत्वों के लिए,अपेक्षित क्रम $Li < Be < B < C < N < O < F < Ne$ है।
हालांकि,स्थिर इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के कारण अपवाद होते हैं।
दिए गए तत्वों के लिए वास्तविक क्रम $B < Be < O < N$ है।
$1$. $B$ $(1s^2, 2s^2 2p^1)$ की $IE_1$,$Be$ $(1s^2, 2s^2)$ से कम है क्योंकि $B$ में इलेक्ट्रॉन $2p$ कक्षक से निकाला जाता है,जो $Be$ के $2s$ कक्षक की तुलना में नाभिक से अधिक दूर और अधिक परिरक्षित होता है।
$2$. $O$ $(1s^2, 2s^2 2p^4)$ की $IE_1$,$N$ $(1s^2, 2s^2 2p^3)$ से कम है क्योंकि $N$ में अर्ध-पूर्ण $2p$ उपकोश होता है,जिससे इलेक्ट्रॉन निकालने के लिए अधिक ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(C) माना वोल्टमीटर का आंतरिक प्रतिरोध $R$ है। वोल्टमीटर को $B$ और $C$ बिंदुओं के बीच $50 \text{ k}\Omega$ के प्रतिरोध के साथ समानांतर में जोड़ा गया है।
$B$ और $C$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R'$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{50 \text{ k}\Omega} = \frac{50 \text{ k}\Omega + R}{50 R \text{ k}\Omega}$
$R' = \frac{50 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = 50 \text{ k}\Omega + R' = 50 + \frac{50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{100 \text{ V}}{\frac{2500 + 100 R}{50 + R} \text{ k}\Omega} = \frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \text{ mA}$.
$B$ और $C$ के बीच वोल्टेज $V_{BC} = \frac{100}{3} \text{ V}$ दिया गया है।
ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_{BC} = I \cdot R'$:
$\frac{100}{3} = \left( \frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \right) \cdot \left( \frac{50 R}{50 + R} \right)$
$\frac{1}{3} = \frac{50 R}{2500 + 100 R}$
$2500 + 100 R = 150 R$
$50 R = 2500$
$R = 50 \text{ k}\Omega$.

(C) किसी आयन का अनुचुंबकीय गुण उसके $d$-कक्षकों में उपस्थित अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या के सीधे समानुपाती होता है।
$Cu^{2+} = [Ar] 3d^9$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $1$।
$V^{2+} = [Ar] 3d^3$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $3$।
$Cr^{2+} = [Ar] 3d^4$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $4$।
$Mn^{2+} = [Ar] 3d^5$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या = $5$।
अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या की तुलना करने पर $(1 < 3 < 4 < 5)$,अनुचुंबकीय गुण के बढ़ने का सही क्रम $Cu^{2+} < V^{2+} < Cr^{2+} < Mn^{2+}$ है।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K$ है:
$K = E - W_0 = \frac{1}{2}mv^2$
इससे,इलेक्ट्रॉन का वेग $v$ होगा:
$v = \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}}$
जब $m$ द्रव्यमान और $e$ आवेश वाला कण $B$ चुंबकीय क्षेत्र में वेग के लंबवत गति करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है:
$evB = \frac{mv^2}{r}$
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र:
$r = \frac{mv}{eB}$
$v$ का मान रखने पर:
$r = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2(E - W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{2m(E - W_0)}}{eB}$

(B) धातु का कार्य फलन $W_0 = 3.31 \times 10^{-19} \, J$ है।
आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 5000 \, \text{Å} = 5000 \times 10^{-10} \, m$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार, आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = W_0 + KE_{max}$ होती है।
सबसे पहले, आपतित फोटॉन की ऊर्जा की गणना करें:
$E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5000 \times 10^{-10}} = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} = 3.972 \times 10^{-19} \, J$.
अब, अधिकतम गतिज ऊर्जा $KE_{max}$ की गणना करें:
$KE_{max} = E - W_0 = 3.972 \times 10^{-19} \, J - 3.31 \times 10^{-19} \, J = 0.662 \times 10^{-19} \, J$.
इस ऊर्जा को इलेक्ट्रॉन-वोल्ट $(eV)$ में बदलने के लिए:
$KE_{max} (eV) = \frac{0.662 \times 10^{-19} \, J}{1.6 \times 10^{-19} \, J/eV} = 0.41375 \, eV \approx 0.41 \, eV$.

(A) सेल का निरूपण $Ag|Ag^{+}|AgCl|Cl^{-}|Cl_2, Pt$ है।
अर्ध-सेल अभिक्रियाएँ इस प्रकार हैं:
एनोड: $Ag \rightarrow Ag^{+} + e^{-}$
कैथोड: $AgCl + e^{-} \rightarrow Ag(s) + Cl^{-}$
कुल सेल अभिक्रिया: $AgCl \rightarrow Ag^{+} + Cl^{-}$
अभिक्रिया के लिए मानक गिब्स मुक्त ऊर्जा परिवर्तन:
$\Delta G_{\text{reaction}}^{\circ} = \Sigma \Delta G_f^{\circ}(\text{products}) - \Sigma \Delta G_f^{\circ}(\text{reactants})$
$\Delta G_{\text{reaction}}^{\circ} = [\Delta G_f^{\circ}(Ag^{+}) + \Delta G_f^{\circ}(Cl^{-})] - [\Delta G_f^{\circ}(AgCl)]$
$\Delta G_{\text{reaction}}^{\circ} = [78 + (-129)] - (-109) \ kJ / mol$
$\Delta G_{\text{reaction}}^{\circ} = -51 + 109 = +58 \ kJ / mol$
संबंध $\Delta G^{\circ} = -n F E_{\text{cell}}^{\circ}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = 1$ और $F = 96500 \ C / mol$:
$58 \times 10^3 \ J / mol = -1 \times 96500 \ C / mol \times E_{\text{cell}}^{\circ}$
$E_{\text{cell}}^{\circ} = \frac{-58000}{96500} \ V \approx -0.60 \ V$

(B) कोह्लराश के आयनों के स्वतंत्र अभिगमन के नियम के अनुसार:
$\lambda_{m, Ba(OH)_2}^{\infty} = \lambda_{m, Ba^{2+}}^{\infty} + 2\lambda_{m, OH^-}^{\infty}$
इसे दिए गए विद्युत अपघट्यों के पदों में व्यक्त करने पर:
$\lambda_{m, Ba(OH)_2}^{\infty} = \lambda_{m, BaCl_2}^{\infty} + 2\lambda_{m, NaOH}^{\infty} - 2\lambda_{m, NaCl}^{\infty}$
मान रखने पर:
$\lambda_{m, Ba(OH)_2}^{\infty} = 280 \times 10^{-4} + 2(248 \times 10^{-4}) - 2(126 \times 10^{-4})$
$= (280 + 496 - 252) \times 10^{-4}$
$= 524 \times 10^{-4} \ S \ m^2 \ mol^{-1}$

(A) दिया गया है:
रेखीय आवेश घनत्व,$\lambda = \frac{1}{3} ~Cm^{-1}$
दूरी,$r = 18 ~cm = 18 \times 10^{-2} ~m$
निर्वात की विद्युतशीलता,$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} ~C^2 N^{-1} m^{-2}$
एक अनंत लंबाई के पतले सीधे तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = 2k \frac{\lambda}{r}$
जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 ~Nm^2 C^{-2}$ है।
मान रखने पर:
$E = 2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{(1/3)}{18 \times 10^{-2}}$
$E = 18 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 18 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{18 \times 10^9}{54 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{1}{3} \times 10^{11} ~NC^{-1}$
$E \approx 0.33 \times 10^{11} ~NC^{-1}$

(C) आवेशों के निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग होता है।
$(0, 0, a)$ पर स्थित $+q$ आवेश के कारण बिंदु $P(0, 0, z)$ पर विभव:
$V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{(z - a)}$
$(0, 0, -a)$ पर स्थित $-q$ आवेश के कारण बिंदु $P(0, 0, z)$ पर विभव:
$V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z - (-a))} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z + a)}$
बिंदु $P$ पर कुल विभव $V$:
$V = V_1 + V_2$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{z - a} - \frac{1}{z + a} \right)$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{(z + a) - (z - a)}{(z - a)(z + a)} \right)$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{2a}{z^2 - a^2} \right)$
$V = \frac{2qa}{4 \pi \varepsilon_0(z^2 - a^2)}$

(A) थर्मोस्फीयर पृथ्वी के वायुमंडल की चौथी परत है,जो मेसोस्फीयर के ऊपर स्थित है।
इस क्षेत्र में हवा बहुत विरल होती है।
थर्मोस्फीयर में आयनोस्फीयर शामिल है,जो आवेशित कणों की उपस्थिति के लिए जाना जाता है।
उच्च ऊर्जा वाले सौर विकिरण के कारण,इस परत में अणु आयनित हो जाते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $O_2^{+}$,$O^{+}$,और $NO^{+}$ जैसी प्रजातियाँ बनती हैं।

(C) विशिष्ट घूर्णन का सूत्र $[\alpha] = \frac{\alpha}{l \times c}$ है,जहाँ $\alpha$ डिग्री में प्रेक्षित घूर्णन है,$l$ डेसीमीटर $(dm)$ में पथ की लंबाई है,और $c$ $g/mL$ में सांद्रता है।
दिया गया है: $\alpha = -1.2^{\circ}$,$l = 5 \ cm = 0.5 \ dm$,और $c = 6.15 \ g / 100 \ mL = 0.0615 \ g/mL$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $[\alpha] = \frac{-1.2}{0.5 \times 0.0615} = \frac{-1.2}{0.03075} = -39^{\circ}$।

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = K + U = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v^2 = \frac{GM}{2R}$।
ऊर्जा समीकरण में $v^2$ का मान रखने पर: $\frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \Rightarrow 3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$

(B) इथाइल क्लोराइड $(C_2H_5Cl)$ की सिल्वर साइनाइड $(AgCN)$ के साथ अभिक्रिया एक नाभिकरागी प्रतिस्थापन अभिक्रिया है।
$AgCN$ एक सहसंयोजक यौगिक है और नाइट्रोजन परमाणु नाभिकरागी के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,मुख्य उत्पाद $\underline{X}$ इथाइल आइसोसाइनाइड $(C_2H_5NC)$ है।
इथाइल आइसोसाइनाइड $(C_2H_5-N \equiv C)$ में,नाइट्रोजन परमाणु सीधे इथाइल कार्बन से जुड़ा होता है।
अतः,कथन $(III)$ सही है।

(A) ओजोनोलिसिस से गुजरने वाले एल्कीन की संरचना निर्धारित करने के लिए,उत्पादों के कार्बोनिल ऑक्सीजन परमाणुओं को आमने-सामने रखें और उन्हें एक द्वि-आबंध $(C=C)$ से बदलें।
एसीटैल्डिहाइड $CH_3CHO$ है और एसीटोन $(CH_3)_2CO$ है।
ऑक्सीजन परमाणुओं को हटाकर और कार्बन परमाणुओं को द्वि-आबंध द्वारा जोड़ने पर,हमें $CH_3-CH=C(CH_3)_2$ प्राप्त होता है।
इस एल्कीन का $IUPAC$ नाम $2-$मिथाइल$-2-$ब्यूटीन है।

(B) एसिटिक एसिड $(CH_3COOH)$ और पोटेशियम एसीटेट $(CH_3COOK)$ का मिश्रण एक अम्लीय बफर बनाता है।
हेंडरसन-हैसेलबैक समीकरण का उपयोग करते हुए: $pH = pK_a + \log\left(\frac{[\text{Salt}]}{[\text{Acid}]}\right)$.
सबसे पहले,$pK_a$ की गणना करें: $pK_a = -\log(1.8 \times 10^{-5}) \approx 4.74$.
मान लीजिए पोटेशियम एसीटेट की सांद्रता $M$ है। एसिड के मोल $= 0.1 \times 20 = 2 \text{ mmol}$. लवण के मोल $= M \times 50 = 50M \text{ mmol}$.
समीकरण में मान रखने पर: $4.8 = 4.74 + \log\left(\frac{50M}{2}\right)$.
$0.06 = \log(25M)$.
दोनों तरफ एंटीलॉग लेने पर: $10^{0.06} = 25M$.
चूंकि $10^{0.06} \approx 1.15$,इसलिए $25M = 1.15$.
$M = \frac{1.15}{25} = 0.046 \text{ M}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$M \approx 0.04 \text{ M}$.

(D) बफर क्षमता,$\beta = \frac{d C_{HA}}{d_{pH}}$,जहाँ $d C_{HA}$ प्रति लीटर मिलाए गए एसिड के मोलों की संख्या है और $d_{pH}$ $pH$ में परिवर्तन है।
सबसे पहले,मिलाए गए एसिटिक एसिड के मोलों की गणना करें: $n = \frac{0.12 \ g}{60 \ g/mol} = 0.002 \ mol$.
इसके बाद,प्रति लीटर मिलाए गए एसिड की सांद्रता $(d C_{HA})$ ज्ञात करें: $d C_{HA} = \frac{0.002 \ mol}{0.250 \ L} = 0.008 \ mol/L$.
$pH$ में परिवर्तन $(d_{pH})$ $0.02$ दिया गया है।
अतः,$\beta = \frac{0.008}{0.02} = 0.4$.

(C) केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र और वृत्ताकार लूप के कारण चुंबकीय क्षेत्र का सदिश योग है।
$1$. केंद्र $O$ से $R$ दूरी पर स्थित सीधे तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ (बाहर की दिशा में,तल के लंबवत)।
$2$. $R$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ (बाहर की दिशा में,तल के लंबवत)।
चूंकि दोनों चुंबकीय क्षेत्र एक ही दिशा (बाहर की ओर) में हैं,इसलिए परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} + \frac{\mu_0 I}{2 R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} (1 + \pi)$
अतः,केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण का परिमाण $\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}(\pi+1)$ है।

(C) $I$ धारा प्रवाहित करने वाले $R$ त्रिज्या और $N$ फेरों वाले वृत्ताकार लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 N I}{2 R}$ द्वारा दिया जाता है।
एकल लूप $(N=1)$ के लिए,$B = \frac{\mu_0 I}{2 R}$। चूंकि तार की लंबाई $l = 2 \pi R$ है,इसलिए $R = \frac{l}{2 \pi}$ होगा।
अतः,$B = \frac{\mu_0 I}{2 (l / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$।
जब उसी $l$ लंबाई के तार को दोहरे लूप $(N=2)$ में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $R'$ के लिए $l = 2 (2 \pi R')$ होगा,जिससे $R' = \frac{l}{4 \pi} = \frac{R}{2}$ प्राप्त होता है।
केंद्र पर नया चुंबकीय क्षेत्र $B' = \frac{\mu_0 N' I}{2 R'} = \frac{\mu_0 (2) I}{2 (R / 2)} = \frac{2 \mu_0 I}{R} = 4 \left( \frac{\mu_0 I}{2 R} \right) = 4 B$ होगा।

(B) कम्पन चुम्बकत्वमापी में दोलन की आवृत्ति $v$ का सूत्र $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ है।
जब चुम्बकों को एक साथ रखा जाता है,तो प्रभावी चुम्बकीय आघूर्ण $M_{eff}$ समान ध्रुवों के लिए $(M_A + M_B)$ और विपरीत ध्रुवों के लिए $(M_A - M_B)$ होता है।
माना $v_s = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ (समान ध्रुव) और $v_d = 15 \text{ दोलन/मिनट}$ (विपरीत ध्रुव)।
चूंकि $v \propto \sqrt{M}$,इसलिए $\frac{v_s}{v_d} = \sqrt{\frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{20}{15}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}$।
$\frac{16}{9} = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}$।
योगान्तर अनुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{16+9}{16-9} = \frac{25}{7}$।
अतः,अनुपात $M_A : M_B = 25:7$ है।

(C) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+4x+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से: $\alpha+\beta+\gamma=0$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=4$,और $\alpha\beta\gamma=-1$।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma=0$,इसलिए $\beta+\gamma=-\alpha$,$\gamma+\alpha=-\beta$,और $\alpha+\beta=-\gamma$ है।
नए समीकरण के मूल $y_1 = \frac{\alpha^2}{-\alpha} = -\alpha$,$y_2 = \frac{\beta^2}{-\beta} = -\beta$,और $y_3 = \frac{\gamma^2}{-\gamma} = -\gamma$ हैं।
माना $y = -x$,तो $x = -y$।
मूल समीकरण $x^3+4x+1=0$ में $x = -y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(-y)^3+4(-y)+1=0
\implies -y^3-4y+1=0
\implies y^3+4y-1=0$।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^3+4x-1=0$ है।

(C) दिया है,$f(x)=2 x^4-13 x^2+a x+b$,$x^2-3 x+2 = (x-2)(x-1)$ से विभाज्य है।
अतः,$f(2)=0$ और $f(1)=0$ होगा।
$f(2)=0$ के लिए:
$2(2)^4-13(2)^2+a(2)+b=0$
$32-52+2a+b=0$
$2a+b=20$ ... $(i)$
$f(1)=0$ के लिए:
$2(1)^4-13(1)^2+a(1)+b=0$
$2-13+a+b=0$
$a+b=11$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$a=9$
$a=9$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$b=2$
अतः,$(a, b) = (9, 2)$।

(C) माना $z = x + iy$.
दिया है,$\left|\frac{z+2i}{2z+i}\right| < 1$.
इसका अर्थ है $|z+2i| < |2z+i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|z+2i|^2 < |2z+i|^2$ प्राप्त होता है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|x + i(y+2)|^2 < |2x + i(2y+1)|^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 + (y+2)^2 < (2x)^2 + (2y+1)^2$.
$x^2 + y^2 + 4y + 4 < 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1$.
$4 - 1 < 4x^2 - x^2 + 4y^2 - y^2$.
$3 < 3x^2 + 3y^2$.
$3$ से भाग देने पर,हमें $x^2 + y^2 > 1$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि सबस्क्रिप्ट $1$ स्टील के लिए और $2$ पीतल के लिए है।
दिए गए अनुपात: $\frac{l_1}{l_2} = a$,$\frac{r_1}{r_2} = b$,$\frac{Y_1}{Y_2} = c$.
फ्री बॉडी डायग्राम से,स्टील के तार में तनाव $F_1 = 2g$ है और पीतल के तार में तनाव $F_2 = 2g + 2g = 4g$ है।
लंबाई में वृद्धि का सूत्र $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ है।
स्टील के लिए: $\Delta l_1 = \frac{F_1 l_1}{\pi r_1^2 Y_1} = \frac{2g l_1}{\pi r_1^2 Y_1}$.
पीतल के लिए: $\Delta l_2 = \frac{F_2 l_2}{\pi r_2^2 Y_2} = \frac{4g l_2}{\pi r_2^2 Y_2}$.
पीतल और स्टील की लंबाई में वृद्धि का अनुपात $\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} = \frac{4g l_2}{\pi r_2^2 Y_2} \cdot \frac{\pi r_1^2 Y_1}{2g l_1}$ है।
दिए गए अनुपात रखने पर: $\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1} = \left(\frac{4}{2}\right) \cdot \left(\frac{l_2}{l_1}\right) \cdot \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \cdot \left(\frac{Y_1}{Y_2}\right) = 2 \cdot \left(\frac{1}{a}\right) \cdot b^2 \cdot c = \frac{2 b^2 c}{a}$.
यदि प्रश्न $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2}$ पूछता है,तो $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{a}{2 b^2 c}$ होगा,जो विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(A) मान लीजिए $t$ समय पर,$A$ की स्थिति $\overrightarrow{r}_A = (0,0) + (0,2)t = (0, 2t)$ है।
मान लीजिए $t$ समय पर,$B$ की स्थिति $\overrightarrow{r}_B = (0,10) + (2,0)t = (2t, 10)$ है।
उनके बीच का विस्थापन सदिश $\overrightarrow{r}_{BA} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A = (2t - 0, 10 - 2t) = (2t, 10 - 2t)$ है।
उनके बीच की दूरी का वर्ग $D^2$,$f(t) = (2t)^2 + (10 - 2t)^2$ द्वारा दिया जाता है।
$f(t) = 4t^2 + 100 + 4t^2 - 40t = 8t^2 - 40t + 100$.
न्यूनतम दूरी के लिए समय ज्ञात करने हेतु,हम $f(t)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{df}{dt} = 16t - 40 = 0$.
$16t = 40 \implies t = \frac{40}{16} = 2.5 \text{ s}$.
चूँकि द्वितीय अवकलज $\frac{d^2f}{dt^2} = 16 > 0$ है,इसलिए $t = 2.5 \text{ s}$ पर दूरी न्यूनतम होगी।

(A) $1$. गतिज ऊर्जा $(KE)$ और संवेग $(p)$:
$KE = \frac{p^2}{2m}$। चूंकि $m$ स्थिर है,$KE \propto p^2$। $KE$ बनाम $p^2$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$2$. गतिज ऊर्जा $(KE)$ और समय $(t)$:
$v_x = u \cos \theta$ और $v_y = u \sin \theta - gt$।
$KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)^2)$।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है,जो एक परवलय को दर्शाता है।
$3$. गतिज ऊर्जा $(KE)$ और ऊर्ध्वाधर विस्थापन $(y)$:
$v_y^2 = u_y^2 - 2gy$ का उपयोग करते हुए,$KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - 2gy) = \frac{1}{2}mu^2 - mgy$।
यह $KE = -mgy + C$ के रूप का एक रैखिक समीकरण है,जो ऋणात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$4$. ग्राफ $(A)$ का विश्लेषण:
ग्राफ $(A)$ $KE$ बनाम $y$ के लिए $V$-आकार का वक्र दिखाता है। हालाँकि,प्राप्त संबंध $KE = \frac{1}{2}mu^2 - mgy$ है,जो एक रैखिक संबंध है,न कि $V$-आकार का वक्र। इसलिए,ग्राफ $(A)$ $KE$ के परिवर्तन को सही ढंग से प्रदर्शित नहीं करता है।

(C) मान लीजिए कि पिंड $T$ समय पर अधिकतम ऊँचाई $C$ तक पहुँचता है। समरूपता के कारण,$C$ से $B$ तक जाने में लगा समय,$B$ से $C$ तक जाने में लगे समय के बराबर है। मान लीजिए यह समय $t^{\prime}$ है।
अतः,$t_2 = T + t^{\prime}$ और $t_1 = T - t^{\prime}$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $t_1 + t_2 = 2T$,इसलिए $T = \frac{t_1 + t_2}{2}$।
इन समीकरणों को घटाने पर: $t_2 - t_1 = 2t^{\prime}$,इसलिए $t^{\prime} = \frac{t_2 - t_1}{2}$।
अधिकतम ऊँचाई $H_{\max}$,बिंदु $C$ पर विरामावस्था से शुरू होकर (नीचे की ओर गति) $T$ समय में तय की गई दूरी है।
$H_{\max} = \frac{1}{2} g T^2 = \frac{1}{2} g \left( \frac{t_1 + t_2}{2} \right)^2 = \frac{g(t_1 + t_2)^2}{8}$.

(D) समय $t$ पर शेष नाभिकों की संख्या $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ द्वारा दी जाती है।
पदार्थ $X_1$ के लिए,$N_1 = N_0 e^{-10 \lambda t}$।
पदार्थ $X_2$ के लिए,$N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$।
हमें अनुपात $\frac{N_1}{N_2} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$
$e^{-10 \lambda t + \lambda t} = e^{-1}$
$e^{-9 \lambda t} = e^{-1}$
घातांकों की तुलना करने पर:
$-9 \lambda t = -1$
$t = \frac{1}{9 \lambda}$।

(A) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
लघुगणकीय अवकलन लेने पर, हमें $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ प्राप्त होता है।
चूंकि लंबाई में परिवर्तन $\frac{dl}{l} = \alpha \Delta \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\Delta \theta$ तापमान में परिवर्तन है, इसलिए $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ होता है।
यहाँ $\alpha = 9 \times 10^{-7} /{ }^{\circ} C$, $\Delta \theta = 30^{\circ} C - 20^{\circ} C = 10^{\circ} C$, और $T = 0.5 \, s$ दिया गया है।
आवर्तकाल में परिवर्तन (प्रति दोलन समय की हानि) $dT = T \times \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ है।
मान रखने पर: $dT = 0.5 \times \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-7} \times 10$.
$dT = 0.5 \times 4.5 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \, s$.

(D) $SHM$ कर रहे कण का विस्थापन $y=5 \sin \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right)$ है।
कण का वेग $v = \frac{dy}{dt} = 5 \cdot \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right) \cdot 4 = 20 \cos \left(4 t+\frac{\pi}{3}\right)$ है।
दिए गए समीकरण की तुलना मानक $SHM$ समीकरण $y=a \sin (\omega t+\phi)$ से करने पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 4 \text{ rad/s}$ प्राप्त होती है।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ है।
$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \text{ s}$ पर,वेग:
$v = 20 \cos \left(4 \cdot \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -20 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3} \text{ m/s}$ है।
कण का द्रव्यमान $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ है।
गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \cdot (2 \times 10^{-3}) \cdot (-10\sqrt{3})^2 = 10^{-3} \cdot (100 \cdot 3) = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \text{ J}$ है।

(C) एल्युमिनियम जलीय $NaOH$ के साथ अभिक्रिया करके सोडियम टेट्राहाइड्रॉक्सोएल्युमिनेट$(III)$ बनाता है।
अभिक्रिया: $2Al(s) + 2NaOH(aq) + 6H_2O(l) \longrightarrow 2Na[Al(OH)_4](aq) + 3H_2(g)$ है।
जलीय विलयन में,यह संकुल आयन $[Al(H_2O)_2(OH)_4]^{-}$ के रूप में मौजूद होता है।
इस संकुल में,एल्युमिनियम परमाणु $2$ जल के अणुओं और $4$ हाइड्रॉक्साइड आयनों से जुड़ा होता है,जिसके परिणामस्वरूप समन्वय संख्या $2 + 4 = 6$ होती है।

(D) $SiCl_4$ का जल-अपघटन ऑर्थोसिलिसिक एसिड $(H_4SiO_4)$ उत्पन्न करता है,जिसे '$X$' के रूप में दर्शाया गया है।
$SiCl_4 + 4H_2O \rightarrow H_4SiO_4 (X) + 4HCl$
$1000^\circ C$ पर गर्म करने पर,ऑर्थोसिलिसिक एसिड निर्जलीकरण के माध्यम से सिलिका $(SiO_2)$ बनाता है,जिसे '$Y$' के रूप में दर्शाया गया है।
$H_4SiO_4 \xrightarrow{1000^\circ C} SiO_2 (Y) + 2H_2O$
अतः,'$X$' $H_4SiO_4$ है और '$Y$' $SiO_2$ है।

(B) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ फेल्डस्पार $KAlSi_3O_8$ $(IV)$ है।
$(B)$ एस्बेस्टोस $CaMg_3(SiO_3)_4$ $(V)$ है।
$(C)$ पायर्जिराइट $[Ag_3SbS_3]$ $(I)$ है।
$(D)$ डायस्पोर $Al_2O_3 \cdot H_2O$ $(II)$ है।
अतः,सही क्रम $A-IV, B-V, C-I, D-II$ है।

(C) एथेनॉल $(C_2H_5OH)$ की क्लोरीन $(Cl_2)$ के साथ अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$1$. एथेनॉल का क्लोरीन द्वारा ऑक्सीकरण होकर एसेटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ बनता है,जो $X$ है।
$CH_3CH_2OH + Cl_2 \rightarrow CH_3CHO + 2HCl$
$2$. इसके बाद एसेटाल्डिहाइड और अधिक क्लोरीन के साथ अभिक्रिया करके क्लोरल $(CCl_3CHO)$ बनाता है,जो $Y$ है।
$CH_3CHO + 3Cl_2 \rightarrow CCl_3CHO + 3HCl$
अतः,$X$ का मान $CH_3CHO$ है और $Y$ का मान $CCl_3CHO$ है।

(D) एसिटाल्डिहाइड से क्रोटोनल्डिहाइड का संश्लेषण दो चरणों में होता है:
$1$. तनु $NaOH$ की उपस्थिति में एसिटाल्डिहाइड $(CH_3CHO)$ के दो अणुओं का एल्डोल संघनन होकर $3-$हाइड्रॉक्सीब्यूटेनैल (एल्डोल) बनता है। यह चरण एक नाभिकरागी योगज अभिक्रिया है।
$2$. $3-$हाइड्रॉक्सीब्यूटेनैल को गर्म करने पर जल का अणु बाहर निकल जाता है (विलोपन) और क्रोटोनल्डिहाइड $(CH_3CH=CHCHO)$ प्राप्त होता है।
चूंकि पूरी प्रक्रिया में नाभिकरागी योगज और विलोपन दोनों शामिल हैं,इसलिए इसे नाभिकरागी योगज-विलोपन अभिक्रिया के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

(A) गैटरमैन अभिक्रिया में,डायज़ोनियम समूह $(-N_2^+Cl^-)$ को हाइड्रोक्लोरिक एसिड $(HCl)$ की उपस्थिति में कॉपर पाउडर $(Cu)$ का उपयोग करके क्लोरीन परमाणु $(-Cl)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
विशेष रूप से,इस प्रतिस्थापन में शामिल न्यूक्लियोफिलिक प्रजाति क्लोराइड आयन $(Cl^{\ominus})$ है,और उपयोग किए गए अभिकर्मक $Cu$ पाउडर और $HCl$ हैं।
अतः,$\underline{X} = Cl^{\ominus}$ और $\underline{Y} = Cu / HCl$।

(D) कोडोन $DNA$ या $RNA$ के स्ट्रैंड पर $3$ आसन्न बेस का एक विशिष्ट अनुक्रम है।
यह एक विशेष अमीनो एसिड को निर्दिष्ट करता है जिसे ट्रांसलेशन की प्रक्रिया के दौरान प्रोटीन श्रृंखला में शामिल किया जाना है।
इसलिए,$\underline{A} = 3$ बेस,$\underline{B} = \text{अमीनो एसिड}$,और $\underline{C} = \text{प्रोटीन}$।

(C) ट्राइपेप्टाइड्स अमीनो एसिड के बहुलक (polymers) होते हैं जिनमें तीन व्यक्तिगत अमीनो एसिड इकाइयां,जिन्हें अवशेष (residues) कहा जाता है,एमाइड बॉन्ड (पेप्टाइड बॉन्ड) द्वारा एक साथ जुड़ी होती हैं।
चूंकि हमारे पास $3$ अलग-अलग अमीनो एसिड (ग्लाइसिन,एलेनिन और फेनिल एलेनिन) हैं,इसलिए संभावित ट्राइपेप्टाइड्स की संख्या इन $3$ अलग-अलग वस्तुओं के क्रमपरिवर्तन (permutations) द्वारा दी जाती है।
व्यवस्थाओं की संख्या $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ है।
इसलिए,इन अमीनो एसिड को जोड़ने के $6$ अलग-अलग तरीके हैं।

(C) अभिक्रिया $(I)$: कैल्शियम एसीटेट का शुष्क आसवन एसीटोन देता है।
$(CH_3 COO)_2 Ca \xrightarrow{\Delta} CH_3 COCH_3 + CaCO_3$
अतः,$\underline{A} = CH_3 COCH_3$.
अभिक्रिया $(II)$: $HI$ और लाल फास्फोरस के साथ एसिटिक एसिड का अपचयन एथेन देता है।
$CH_3 COOH + 6HI \xrightarrow{\text{Red P}} CH_3 CH_3 + 3I_2 + 2H_2 O$
अतः,$\underline{B} = C_2 H_6$.
अभिक्रिया $(III)$: $P_4 O_{10}$ के साथ एसिटिक एसिड का निर्जलीकरण एसिटिक एनहाइड्राइड देता है।
$2 CH_3 COOH \xrightarrow{P_4 O_{10}} (CH_3 CO)_2 O + H_2 O$
अतः,$\underline{C} = (CH_3 CO)_2 O$.
इसलिए,सही क्रम $\underline{A} = CH_3 COCH_3$,$\underline{B} = C_2 H_6$,$\underline{C} = (CH_3 CO)_2 O$ है।

(A) $XeO_3$ में,केंद्रीय परमाणु $Xe$ एक एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म के साथ $sp^3$ संकरित है। यह ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ $3$ द्वि-बंध बनाता है। प्रत्येक द्वि-बंध में एक $\sigma$ बंध और एक $p \pi-d \pi$ $\pi$ बंध होता है। अतः,इसमें $3$ $p \pi-d \pi$ $\pi$ बंध हैं।
$XeO_4$ में,केंद्रीय परमाणु $Xe$ बिना किसी एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म के $sp^3$ संकरित है। यह ऑक्सीजन परमाणुओं के साथ $4$ द्वि-बंध बनाता है। प्रत्येक द्वि-बंध में एक $\sigma$ बंध और एक $p \pi-d \pi$ $\pi$ बंध होता है। अतः,इसमें $4$ $p \pi-d \pi$ $\pi$ बंध हैं।
इसलिए,$XeO_3$ और $XeO_4$ में $p \pi-d \pi$ $\pi$ बंधों की संख्या क्रमशः $3$ और $4$ है।

(C) प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए,समय $t = \frac{2.303}{k} \log_{10} \frac{a}{a-x}$ है।
माना प्रारंभिक सांद्रता $a = 100$ है।
$75 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 75$,इसलिए शेष सांद्रता $100 - 75 = 25$ है। अतः,$t_{75\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{25} = \frac{2.303}{k} \log 4$.
$25 \%$ पूर्णता के लिए,$x = 25$,इसलिए शेष सांद्रता $100 - 25 = 75$ है। अतः,$t_{25\%} = \frac{2.303}{k} \log \frac{100}{75} = \frac{2.303}{k} \log \frac{4}{3}$.
अनुपात $\frac{t_{75\%}}{t_{25\%}} = \frac{\log 4}{\log (4/3)} = \frac{\log 4}{\log 4 - \log 3}$ है।
$\log 4 \approx 0.6020$ और $\log 3 \approx 0.4771$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{0.6020}{0.6020 - 0.4771} = \frac{0.6020}{0.1249} \approx 4.82$ प्राप्त होता है।

(C) डोपामाइन मस्तिष्क के कई क्षेत्रों में उत्पादित एक न्यूरोट्रांसमीटर है। डोपामाइन की कमी पार्किंसंस रोग से जुड़ी है। डोपामाइन का $IUPAC$ नाम $2-(3,4-\text{dihydroxyphenyl})\text{ethylamine}$ है। इसकी संरचना में $3$ और $4$ स्थान पर दो हाइड्रॉक्सिल समूहों के साथ एक बेंजीन रिंग और $1$ स्थान पर एक एथिलएमाइन साइड चेन $(-CH_2CH_2NH_2)$ होती है। यह संरचना विकल्प $C$ में दिखाई गई है।

(C) अनुचुंबकीय गुण अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या पर निर्भर करता है। अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या जितनी अधिक होगी,अनुचुंबकीय गुण उतना ही अधिक होगा।
$Cu^{2+} = [Ar] 3d^9$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 1$
$V^{2+} = [Ar] 3d^3$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 3$
$Cr^{2+} = [Ar] 3d^4$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 4$
$Mn^{2+} = [Ar] 3d^5$,अयुग्मित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $= 5$
अतः,अनुचुंबकीय गुण के बढ़ने का सही क्रम $Cu^{2+} < V^{2+} < Cr^{2+} < Mn^{2+}$ है।

(A) सेल अभिक्रिया है: $Ag(s) + AgCl(s) \rightarrow Ag^{+}(aq) + Cl^{-}(aq) + Ag(s)$
सरल नेट सेल अभिक्रिया: $AgCl(s) \rightarrow Ag^{+}(aq) + Cl^{-}(aq)$
$\Delta G^{\circ}_{reaction}$ की गणना:
$\Delta G^{\circ}_{reaction} = [\Delta G_f^{\circ}(Ag^{+}) + \Delta G_f^{\circ}(Cl^{-})] - [\Delta G_f^{\circ}(AgCl)]$
$\Delta G^{\circ}_{reaction} = [78 + (-129)] - (-109) \ kJ/mol$
$\Delta G^{\circ}_{reaction} = -51 + 109 = 58 \ kJ/mol = 58000 \ J/mol$
संबंध $\Delta G^{\circ} = -nFE^{\circ}_{cell}$ का उपयोग करते हुए:
यहाँ,$n = 1$
$58000 = -1 \times 96500 \times E^{\circ}_{cell}$
$E^{\circ}_{cell} = -\frac{58000}{96500} \approx -0.60 \ V$

(B) कोहलराश के आयनों के स्वतंत्र अभिगमन के नियम के अनुसार:
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = \lambda_m^{\circ} BaCl_2 + 2 \lambda_m^{\circ} NaOH - 2 \lambda_m^{\circ} NaCl$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = (280 \times 10^{-4}) + 2(248 \times 10^{-4}) - 2(126 \times 10^{-4})$
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = (280 + 496 - 252) \times 10^{-4} \ S \ m^2 \ mol^{-1}$
$\lambda_m^{\circ} Ba(OH)_2 = 524 \times 10^{-4} \ S \ m^2 \ mol^{-1}$

(A) सही मिलान इस प्रकार हैं:
$(A)$ फेल्डस्पार: $KAlSi_3O_8$ $(IV)$
$(B)$ एस्बेस्टस: $CaMg_3(SiO_3)_4$ $(V)$
$(C)$ पाइरार्जीराइट: $Ag_3SbS_3$ $(I)$
$(D)$ डायस्पोर: $Al_2O_3 \cdot H_2O$ $(II)$
अतः,सही क्रम $A-IV, B-V, C-I, D-II$ है।

(B) एल्किल हैलाइड $(C_2H_5Cl)$ की $AgCN$ के साथ अभिक्रिया एक नाभिकरागी प्रतिस्थापन (nucleophilic substitution) अभिक्रिया है।
$AgCN$ एक सहसंयोजक यौगिक है,और नाइट्रोजन परमाणु नाभिकरागी केंद्र के रूप में कार्य करता है।
इसलिए,अभिक्रिया इस प्रकार होती है:
$C_2H_5Cl + AgCN \xrightarrow{EtOH / H_2O} C_2H_5-NC + AgCl$
यहाँ,$\underline{X}$ एथिल आइसोसाइनाइड $(C_2H_5NC)$ है।
एथिल आइसोसाइनाइड में,नाइट्रोजन परमाणु सीधे एथिल कार्बन $(C_2H_5-N \equiv C)$ से जुड़ा होता है।
अतः,कथन $(III)$ सही है।

(C) फास्फोरस के ऑक्सीएसिड्स में $P-H$ बंध की उपस्थिति उनकी संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है:
$1$. $H_3PO_4$ (ऑर्थोफास्फोरिक एसिड): इसमें तीन $P-OH$ बंध और एक $P=O$ बंध होता है। इसमें कोई $P-H$ बंध नहीं होता है।
$2$. $H_3PO_3$ (फास्फोरस एसिड): इसमें दो $P-OH$ बंध,एक $P=O$ बंध और एक $P-H$ बंध होता है।
$3$. $H_3PO_2$ (हाइपोफास्फोरस एसिड): इसमें एक $P-OH$ बंध,एक $P=O$ बंध और दो $P-H$ बंध होते हैं।
अतः,$H_3PO_3$ और $H_3PO_2$ के युग्म में $P-H$ बंध उपस्थित होते हैं।

(B) तनु $NaOH$ के साथ फ्लोरीन की अभिक्रिया इस प्रकार है:
$2F_2 + 2NaOH \rightarrow 2NaF + OF_2 + H_2O$
अतः,गैसीय उत्पाद $A$ ऑक्सीजन डाइफ्लोराइड $(OF_2)$ है।
$OF_2$ में,केंद्रीय ऑक्सीजन परमाणु $sp^3$ संकरित होता है।
इसमें दो बंध युग्म और दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्म (lone pairs) होते हैं।
ऑक्सीजन परमाणु पर मौजूद दो एकाकी इलेक्ट्रॉन युग्मों के बीच तीव्र प्रतिकर्षण के कारण,बंध कोण आदर्श चतुष्फलकीय कोण $109^{\circ} 28^{\prime}$ से घटकर $103^{\circ}$ हो जाता है।

(B) घनत्व का सूत्र $d = \frac{M \times Z}{N_A \times a^3}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Z$ प्रति इकाई सेल परमाणुओं की संख्या है।
$Z$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Z = \frac{d \times N_A \times a^3}{M}$.
दिया गया है: $d = 8.92 \ g \ cm^{-3}$, $M = 63.55 \ g \ mol^{-1}$, $a = 362 \ pm = 362 \times 10^{-10} \ cm$, और $N_A = 6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$.
मान रखने पर:
$Z = \frac{8.92 \times 6.022 \times 10^{23} \times (362 \times 10^{-10})^3}{63.55} \approx 4$.
चूंकि $Z = 4$ है, इसलिए इकाई सेल फलक केंद्रित घनीय $(FCC)$ है।

(A) किसी पदार्थ का हिमांक वह तापमान है जिस पर पदार्थ की ठोस और द्रव अवस्थाएं साम्यावस्था में होती हैं।
हिमांक में अवनमन के प्रयोग के संदर्भ में,साम्यावस्था द्रव विलायक (विलयन में उपस्थित) और ठोस विलायक (जो जमने पर अलग हो जाता है) के अणुओं के बीच स्थापित होती है।

(B) $As_2S_3$ एक ऋणात्मक आवेशित सॉल है।
हार्डी-शुल्ज़ नियम के अनुसार,किसी वैद्युत-अपघट्य की स्कंदन शक्ति कोलाइडल कणों के विपरीत आवेश वाले आयन की संयोजकता पर निर्भर करती है।
चूंकि $As_2S_3$ एक ऋणात्मक सॉल है,इसलिए धनात्मक आयन (धनायन) स्कंदन के लिए जिम्मेदार होते हैं।
धनायन की संयोजकता बढ़ने के साथ स्कंदन शक्ति बढ़ती है।
दिए गए विकल्पों में धनायनों की संयोजकता इस प्रकार है: $K^+$ $(KCl)$,$Mg^{2+}$ $(MgSO_4)$,$Al^{3+}$ $(AlCl_3)$।
चूंकि $Al^{3+}$ की संयोजकता सबसे अधिक $(+3)$ है,इसलिए यह $As_2S_3$ सॉल के स्कंदन के लिए सबसे अधिक प्रभावी है।