TS EAMCET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે।
શરૂઆતમાં, સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે।
સમતાપી સ્થિતિમાં, ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે।
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 2 \times (4 \pi (2r)^2) = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ છે।
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ છે।
ખર્ચાતી ઉર્જા (કાર્ય) $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(C) ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,મોટા ટીપાંનું કદ આઠ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
હવાની ઉત્પ્લાવકતાને અવગણતા,$\sigma \approx 0$,તેથી $v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1 = 6 \ cm \ s^{-1}$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \ cm \ s^{-1} = 24 \ cm \ s^{-1}$.

(D) આપેલ $p-V$ આલેખ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ચક્રીય પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ દર્શાવે છે.
$1$. $A \rightarrow B$: સમદાબી વિસ્તરણ (દબાણ $p$ અચળ છે,કદ $V$ વધે છે,તેથી તાપમાન $T$ વધે છે).
$2$. $B \rightarrow C$: સમતાપી સંકોચન ($p \propto 1/V$,તેથી $T$ અચળ છે,કદ $V$ ઘટે છે).
$3$. $C \rightarrow D$: સમકદ સંકોચન (કદ $V$ અચળ છે,દબાણ $p$ ઘટે છે,તેથી તાપમાન $T$ ઘટે છે).
$4$. $D \rightarrow A$: સમતાપી વિસ્તરણ ($p \propto 1/V$,તેથી $T$ અચળ છે,કદ $V$ વધે છે).
આ પ્રક્રિયાઓની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $D$ માં આપેલો $p-T$ આલેખ આ ચક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે: $A \rightarrow B$ (સમદાબી,$T$ વધે છે),$B \rightarrow C$ (સમતાપી,$p$ ઘટે છે),$C \rightarrow D$ (સમકદ,$T$ ઘટે છે),$D \rightarrow A$ (સમતાપી,$p$ વધે છે). આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 5 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $M$ છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે $(u_2 = 0)$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થનો વેગ $v_1 = \frac{u}{10}$ થાય છે. ધારો કે બીજા પદાર્થનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
$5u + M(0) = 5 \left(\frac{u}{10}\right) + M v_2$
$5u = \frac{u}{2} + M v_2 \quad \dots (i)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા $(v_1 - v_2 = -e(u_1 - u_2))$:
$\frac{u}{10} - v_2 = -1(u - 0)$
$v_2 = \frac{u}{10} + u = \frac{11u}{10} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $v_2$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5u = \frac{u}{2} + M \left(\frac{11u}{10}\right)$
$5 - 0.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$4.5 = M \left(\frac{11}{10}\right)$
$M = \frac{4.5 \times 10}{11} = \frac{45}{11} \approx 4.09 \ kg$.

(C) ધારો કે ગોળીનું દળ $m_1 = 0.02 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 250 \ ms^{-1}$ છે.
બ્લોકનું દળ $m_2 = 0.23 \ kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \ ms^{-1}$ છે.
અથડામણ પછી,ગોળી અને બ્લોક સામાન્ય વેગ $v$ સાથે એકસાથે ગતિ કરે છે. રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 u_1 + m_2 u_2 = (m_1 + m_2) v$
$0.02 \times 250 + 0.23 \times 0 = (0.02 + 0.23) v$
$5 = 0.25 v$
$v = \frac{5}{0.25} = 20 \ ms^{-1}$
હવે,સંયુક્ત દળ $M = m_1 + m_2 = 0.25 \ kg$ ખરબચડી સપાટી પર ગતિ કરે છે અને $d = 40 \ m$ અંતર કાપ્યા પછી સ્થિર થાય છે. ઘર્ષણ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$-f_k \cdot d = 0 - \frac{1}{2} M v^2$
$\mu M g d = \frac{1}{2} M v^2$
$\mu = \frac{v^2}{2 g d}$
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = \frac{(20)^2}{2 \times 9.8 \times 40} = \frac{400}{784} \approx 0.51$

(C) ધારો કે ત્રીજો દળનો કણ $(2m)$ $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $u$ વેગથી ગતિ કરે છે.
$2m$ દળના કણના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta$ છે.
શરૂઆતમાં કણ સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું કુલ રેખીય વેગમાન શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$X$-દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = m(4) + 2m(u \cos \theta)$
$4m = -2m(u \cos \theta)$
$u \cos \theta = -2 \quad \dots (i)$
$Y$-દિશામાં રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$0 = m(6) + 2m(u \sin \theta)$
$6m = -2m(u \sin \theta)$
$u \sin \theta = -3 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને તેમનો સરવાળો કરતા:
$(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2 = (-2)^2 + (-3)^2$
$u^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 4 + 9$
$u^2 = 13$
$u = \sqrt{13} \text{ ms}^{-1}$

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,સપાટી પરની કુલ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
સપાટી પર: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર: $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
આપેલ છે કે $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$.
$E_i = E_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{2R}\right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે।
શરૂઆતમાં, સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi r^2$ છે।
તેને બે સપાટીઓ હોવાથી, અસરકારક પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $S_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય।
સમતાપી સ્થિતિમાં, ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે।
નવું પૃષ્ઠફળ $A_2 = 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2$ છે।
અસરકારક અંતિમ ક્ષેત્રફળ $S_2 = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ થાય।
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta S = S_2 - S_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ છે।
ખર્ચાતી ઉર્જા $(W)$ એ $W = T \times \Delta S$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(C) ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,મોટા ટીપાંનું કદ આઠ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
ગોળાકાર ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_t$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
હવાની ઉત્પ્લાવકતાને અવગણતા,$\sigma \approx 0$,તેથી $v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1 = 6 \,cm \,s^{-1}$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \,cm \,s^{-1} = 24 \,cm \,s^{-1}$.

(D) ધારો કે $l_s, r_s, Y_s$ એ સ્ટીલના તારની લંબાઈ,ત્રિજ્યા અને યંગ મોડ્યુલસ છે,અને $l_b, r_b, Y_b$ એ પિત્તળના તાર માટે છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,સ્ટીલના તારમાં તણાવ $F_s = 2g$ છે અને પિત્તળના તારમાં તણાવ $F_b = 2g + 2g = 4g$ છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પિત્તળ અને સ્ટીલના વિસ્તરણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
પ્રશ્નમાં પૂછેલ ગુણોત્તર અને વિકલ્પો જોતા,સ્ટીલ અને પિત્તળના વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ થાય,જે વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $t$ સમયે,$A$ નું સ્થાન $\overrightarrow{r}_A = (0 + 0t)\hat{i} + (0 + 2t)\hat{j} = 2t\hat{j}$ છે.
ધારો કે $t$ સમયે,$B$ નું સ્થાન $\overrightarrow{r}_B = (0 + 2t)\hat{i} + (10 + 0t)\hat{j} = 2t\hat{i} + 10\hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_{AB} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A = 2t\hat{i} + (10 - 2t)\hat{j}$ છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = |\overrightarrow{r}_{AB}|^2 = (2t)^2 + (10 - 2t)^2$ થાય.
$D^2 = 4t^2 + 100 + 4t^2 - 40t = 8t^2 - 40t + 100$.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,$\frac{d(D^2)}{dt} = 0$ લેતા.
$16t - 40 = 0$.
$t = \frac{40}{16} = 2.5 \text{ s}$.
અહીં $\frac{d^2(D^2)}{dt^2} = 16 > 0$ હોવાથી,$t = 2.5 \text{ s}$ સમયે અંતર ન્યૂનતમ હશે.

(A) ગતિઊર્જા $KE$ એ $KE = \frac{p^2}{2m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $m$ અચળ હોવાથી, $KE \propto p^2$. આમ, $KE$ અને $p^2$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ $(D)$ સાથે સુસંગત છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y$ માટે, $v_y^2 = (u \sin \theta)^2 - 2gy$ નો ઉપયોગ કરતા, ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - 2gy) = \frac{1}{2}mu^2 - mgy$ થાય છે. આ $KE = -mgy + C$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે, જે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. આલેખ $(A)$ $V$-આકાર દર્શાવે છે, જે આ સુરેખ સંબંધ માટે ખોટું છે.
સમય $t$ માટે, $KE = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) = \frac{1}{2}m(u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)^2)$ થાય છે. આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ $(KE \propto t^2)$ છે, જે પરવલય દર્શાવે છે. આલેખ $(B)$ પરવલયાકાર ફેરફાર દર્શાવે છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x$ માટે, $x = (u \cos \theta)t \Rightarrow t = \frac{x}{u \cos \theta}$. આ કિંમત $KE$ ના સમીકરણમાં મૂકતા દ્વિઘાત સંબંધ $KE \propto x^2$ મળે છે, જે પણ પરવલયાકાર છે. આલેખ $(C)$ પરવલયાકાર ફેરફાર દર્શાવે છે.
તેથી, આલેખ $(A)$ એ $y$ સાથે $KE$ ના ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવતો નથી.

(C) ધારો કે પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $C$ થી બિંદુ $B$ સુધી નીચે આવતા લાગતો સમય $t^{\prime}$ છે.
ગતિની સંમિતિને કારણે,$B$ થી $C$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય એ $C$ થી $B$ સુધી નીચે આવવા માટે લાગતા સમય જેટલો જ હોય છે,જે $t^{\prime}$ છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ $t_1$ અને $t_2$ સમયે $H$ ઊંચાઈ પર છે,તેથી $t_2 = t_1 + 2t^{\prime}$.
આમ,$t^{\prime} = \frac{t_2-t_1}{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $C$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T = t_1 + t^{\prime} = t_1 + \frac{t_2-t_1}{2} = \frac{t_1+t_2}{2}$ છે.
પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ એ $H_{\max} = \frac{1}{2}gT^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $H_{\max} = \frac{1}{2}g\left(\frac{t_1+t_2}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}g \cdot \frac{(t_1+t_2)^2}{4} = \frac{g(t_1+t_2)^2}{8}$ મળે છે.

(A) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા, આપણને $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ મળે છે.
રેખીય પ્રસરણ $\frac{dl}{l} = \alpha \Delta \theta$ હોવાથી, આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
અહીં $\alpha = 9 \times 10^{-7} /{ }^{\circ} C$ અને $\Delta \theta = (30 - 20) = 10^{\circ} C$ આપેલ છે,
$\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-7} \times 10 = 4.5 \times 10^{-6}$.
દરેક દોલન દીઠ સમયનો વ્યય $dT = T \times (4.5 \times 10^{-6})$ છે.
$T = 0.5 \, s$ મૂકતા, આપણને $dT = 0.5 \times 4.5 \times 10^{-6} = 2.25 \times 10^{-6} \, s$ મળે છે.

(D) $SHM$ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = 5 \sin \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)$ છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left[5 \sin \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)\right] = 5 \times 4 \cos \left(4t + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(4t + \frac{\pi}{3}\right)$ છે.
આપેલ સમીકરણને $SHM$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = a \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\omega = 4 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી, $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ s}$ થાય.
$t = \frac{T}{4} = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8} \text{ s}$ સમયે, વેગ:
$v = 20 \cos \left(4 \times \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{3}\right) = 20 \cos \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right) = -20 \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -20 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -10\sqrt{3} \text{ m/s}$.
ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ આપેલ છે.
$KE = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3}) \times (-10\sqrt{3})^2 = 10^{-3} \times (100 \times 3) = 300 \times 10^{-3} = 0.3 \text{ J}$.

(A) આપેલ છે:
પૈડાની ત્રિજ્યા,$r = 0.4 \,m$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 8 \,rad \,s^{-2}$
લટકાવેલ દળ,$m = 4 \,kg$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m \,s^{-2}$
ધાર પર લટકાવેલા દળના વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau$ નીચે મુજબ છે:
$\tau = m \cdot g \cdot r$
વળી,ટોર્ક એ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ અને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ સાથે નીચેના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$\tau = I \cdot \alpha$
ટોર્ક માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$I \cdot \alpha = m \cdot g \cdot r$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I \cdot 8 = 4 \times 10 \times 0.4$
$I \cdot 8 = 16$
$I = \frac{16}{8} = 2 \,kg \,m^2$
તેથી,પૈડાની જડત્વની ચાકમાત્રા $2 \,kg \,m^2$ છે.

(B) જ્યારે સળિયાને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિ ઊર્જા $P$ બિંદુની આસપાસ ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
સળિયાની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U = mg(\frac{l}{2})$ છે,કારણ કે ગુરુત્વકેન્દ્ર $P$ બિંદુથી $\frac{l}{2}$ અંતરે છે.
સળિયાની ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે,જ્યાં $I$ એ $P$ બિંદુને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા = અંતિમ ભ્રમણીય ગતિ ઊર્જા:
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}I\omega^2$
$mg(\frac{l}{2}) = \frac{1}{2}(\frac{ml^2}{3})\omega^2$
$g = \frac{l}{3}\omega^2$
$\omega^2 = \frac{3g}{l} \implies \omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$
સળિયાના ઉપરના છેડાનો રેખીય વેગ $v = \omega l$ દ્વારા મળે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{3g}{l}} \times l = \sqrt{3gl}$

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,જંકશનમાં દાખલ થતો ઉષ્માનો પ્રવાહ એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા ઉષ્માના પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે. ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે. ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા સળિયા માટે પરિમાણો (લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$) સમાન હોવાથી,જંકશન પર ઉષ્મા પ્રવાહનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
$H_{in} = H_{out1} + H_{out2}$
$\frac{3KA(100 - T)}{l} = \frac{2KA(T - 50)}{l} + \frac{KA(T - 0)}{l}$
બંને બાજુથી $\frac{KA}{l}$ ને દૂર કરતા:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + (T - 0)$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$6T = 400$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ} C$

(C) આભાસી વજનમાં ઘટાડો એ વિસ્થાપિત પ્રવાહીના વજન જેટલો હોય છે (આર્કિમિડીઝનો સિદ્ધાંત).
$30^{\circ} C$ તાપમાને: વજનમાં ઘટાડો = $45 - 25 = 20 \ g$.
ધાતુનું કદ $V_{30} = \frac{\text{ઘટાડો}}{\rho_{30}} = \frac{20 \ g}{1.5 \ g/cm^3} = 13.33 \ cm^3$.
$40^{\circ} C$ તાપમાને: વજનમાં ઘટાડો = $45 - 27 = 18 \ g$.
ધાતુનું કદ $V_{40} = \frac{\text{ઘટાડો}}{\rho_{40}} = \frac{18 \ g}{1.25 \ g/cm^3} = 14.40 \ cm^3$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ માટેનું સૂત્ર $V_{40} = V_{30}(1 + \gamma \Delta T)$ છે.
$\gamma = \frac{V_{40} - V_{30}}{V_{30} \Delta T} = \frac{14.40 - 13.33}{13.33 \times (40 - 30)} = \frac{1.07}{133.3} \approx 8.03 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = \frac{\gamma}{3} = \frac{8.03 \times 10^{-3}}{3} \approx 2.67 \times 10^{-3} /^{\circ} C$.

(B) ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે, સંપૂર્ણ ચક્ર દરમિયાન આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે, એટલે કે $\sum \Delta U = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $\Delta U = Q - W$.
તેથી, $\sum (Q_i - W_i) = 0$.
$(Q_1 - W_1) + (Q_2 - W_2) + (Q_3 - W_3) + (Q_4 - W_4) = 0$
$(6000 - 2500) + (-5500 + 1000) + (-3000 + 1200) + (3500 - x) = 0$
$3500 - 4500 - 1800 + 3500 - x = 0$
$700 - x = 0 \implies x = 700 \ J$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_1 + W_2 + W_3 + W_4 = 2500 - 1000 - 1200 + 700 = 1000 \ J$.
કુલ શોષાયેલ ઉષ્મા $Q_{in} = Q_1 + Q_4 = 6000 + 3500 = 9500 \ J$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = \frac{W_{net}}{Q_{in}} \times 100 = \frac{1000}{9500} \times 100 = 10.5 \%$.

(C) પ્રક્રિયા $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow A$ એ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) થતું ચક્ર છે.
$1$. $A \rightarrow B$ દરમિયાન: દબાણ $p$ અચળ છે (સમદાબી પ્રક્રિયા).
$2$. $B \rightarrow C$ દરમિયાન: પ્રક્રિયા $p \propto \frac{1}{V}$ ને અનુસરે છે, જેનો અર્થ છે કે $pV = \text{અચળ}$, તેથી તાપમાન $T$ અચળ છે (સમતાપી પ્રક્રિયા).
$3$. $C \rightarrow D$ દરમિયાન: કદ $V$ અચળ છે (સમકદ પ્રક્રિયા).
$4$. $D \rightarrow A$ દરમિયાન: પ્રક્રિયા $p \propto \frac{1}{V}$ ને અનુસરે છે, જેનો અર્થ છે કે $T$ અચળ છે (સમતાપી પ્રક્રિયા).
આ લાક્ષણિકતાઓને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, આપણે એવો $V-T$ આલેખ શોધીએ છીએ જ્યાં:
- $A \rightarrow B$ એ એવી પ્રક્રિયા છે જ્યાં $V \propto T$ (સમદાબી, કારણ કે $pV = nRT \Rightarrow V = (\frac{nR}{p})T$).
- $B \rightarrow C$ એ શિરોલંબ રેખા છે (સમતાપી, $T$ અચળ છે).
- $C \rightarrow D$ એ આડી રેખા છે (સમકદ, $V$ અચળ છે).
- $D \rightarrow A$ એ શિરોલંબ રેખા છે (સમતાપી, $T$ અચળ છે).
વિકલ્પ $C$ એ $V-T$ સમતલમાં આ ચક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) આપેલ તરંગ સમીકરણ: $y = a \sin (bt - cx)$.
ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\sin(\theta)$ માં,ખૂણો $\theta$ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
તેથી,$bt$ અને $cx$ બંને પરિમાણરહિત છે.
$(a)$ $\frac{y}{a}$ એ બે લંબાઈનો ગુણોત્તર છે,તેથી તે પરિમાણરહિત છે.
$(b)$ $bt$ એ સાઈન વિધેયનો ખૂણો છે,તેથી તે પરિમાણરહિત છે.
$(c)$ $cx$ એ સાઈન વિધેયનો ખૂણો છે,તેથી તે પરિમાણરહિત છે.
$(d)$ $b$ ના પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે અને $c$ ના પરિમાણ $[L^{-1}]$ છે.
આમ,$\frac{b}{c}$ ના પરિમાણ $\frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [LT^{-1}]$ થાય,જે વેગનું પરિમાણ દર્શાવે છે.
તેથી,$\frac{b}{c}$ એ પરિમાણ ધરાવતી રાશિ છે.

(B) ધારો કે સ્ત્રોતોની આવૃત્તિ $n = 680 \ Hz$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v = 340 \ ms^{-1}$ છે.
શ્રોતા $A$ થી $B$ તરફ $u$ વેગથી ગતિ કરે છે.
સ્ત્રોત $A$ થી દૂર જતી વખતે શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n'$ છે:
$n' = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 - u}{340} \right) = 2(340 - u)$
સ્ત્રોત $B$ તરફ ગતિ કરતી વખતે શ્રોતા દ્વારા સંભળાતી આભાસી આવૃત્તિ $n''$ છે:
$n'' = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = 680 \left( \frac{340 + u}{340} \right) = 2(340 + u)$
બીટ આવૃત્તિ એ બે આભાસી આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$|n'' - n'| = 10$
$2(340 + u) - 2(340 - u) = 10$
$680 + 2u - 680 + 2u = 10$
$4u = 10$
$u = 2.5 \ ms^{-1}$

(B) ધારો કે બંને વાયરની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n = 600 \text{ Hz}$ છે.
ખેંચાયેલા વાયરની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક વાયરનો તણાવ વધારીને $T'$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે બીટ આવૃત્તિ $6 \text{ Hz}$ છે,તેથી $n' - n = 6$.
તેથી,$n' = 600 + 6 = 606 \text{ Hz}$.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{n'}{n} = \frac{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T'}{m}}}{\frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{m}}} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$\frac{606}{600} = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
$1.01 = \sqrt{\frac{T'}{T}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{T'}{T} = (1.01)^2 = 1.0201 \approx 1.02$.
તણાવમાં આંશિક વધારો $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{T'}{T} - 1$ છે.
$\frac{\Delta T}{T} = 1.02 - 1 = 0.02$.

(C) પાઇપ દ્વારા પ્રવાહીને વહન કરવા માટે જરૂરી પાવર એ એકમ સમયમાં થતા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે. આડી પાઇપ માટે,કાર્ય મુખ્યત્વે પ્રવાહીની ગતિ ઊર્જાને દૂર કરવા માટે થાય છે. એકમ સમય દીઠ ગતિ ઊર્જા (પાવર) $P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\dot{m}$ એ દળ પ્રવાહ દર છે અને $v$ એ પ્રવાહીનો વેગ છે.
દળ પ્રવાહ દર $\dot{m} = \rho A v$ હોવાથી (જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે),આપણી પાસે $\dot{m} \propto v$ છે. આમ,$P \propto \dot{m} v^2 \propto \dot{m} (\frac{\dot{m}}{\rho A})^2 \propto \dot{m}^3$ થાય.
જો પ્રવાહનો દર $\dot{m}$ ને $n$ ના અવયવ દ્વારા વધારવામાં આવે,તો નવો પાવર $P_1$ એ $P_1 \propto (n \dot{m})^3 = n^3 \dot{m}^3$ થશે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_0} = \frac{n^3 \dot{m}^3}{\dot{m}^3} = n^3$ મળે.
આમ,$P_1: P_0 = n^3: 1$ થાય.

(C) ધારો કે ગૌણ પરિપથમાં રહેલા કોષનું $EMF$ $V$ છે। પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_p}{L}$ છે, જ્યાં $V_p$ એ તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ છે અને $L$ એ તારની કુલ લંબાઈ છે।
શરૂઆતમાં, $L_1 = 10 \,m$ અને શૂન્ય બિંદુ $l_1 = 2.5 \,m$ પર છે। $l_1$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V = k_1 l_1 = \left(\frac{V_p}{L_1}\right) l_1$ છે।
જ્યારે તારની લંબાઈ વધારીને $L_2 = 10 + 1 = 11 \,m$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $(V_p)$ સમાન રહે છે કારણ કે પ્રાથમિક પરિપથમાં કોઈ ફેરફાર થયો નથી।
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V_p}{L_2} = \frac{V_p}{11}$ છે।
ગૌણ પરિપથમાં સમાન કોષ માટે, નવું શૂન્ય બિંદુ $l_2$ એ $V = k_2 l_2$ નું પાલન કરે છે।
$V$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{V_p}{10} \times 2.5 = \frac{V_p}{11} \times l_2$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{2.5 \times 11}{10} = 2.75 \,m$.

(D) ચુંબકની લંબાઈ $2l = 10 \,cm$, તેથી $l = 5 \,cm = 0.05 \,m$ છે.
દરેક ધ્રુવથી તટસ્થ બિંદુ $P$ નું અંતર $d = 15 \,cm = 0.15 \,m$ છે.
ચુંબકના કેન્દ્ર $O$ થી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $r = \sqrt{d^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \,cm = 10\sqrt{2} \,cm = 0.1414 \,m$ છે.
તટસ્થ બિંદુ પર ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.4 \,Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \,T$ જેટલું હોય છે.
ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
અહીં, $r^2 + l^2 = d^2 = (0.15)^2 = 0.0225 \,m^2$ છે.
તેથી, $0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.0225)^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (0.0225)^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (0.15)^3 = 400 \times 0.003375 = 1.35 \,A-m^2$.
ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ એ $M = m \times (2l)$ દ્વારા મળે છે.
$m = \frac{M}{2l} = \frac{1.35 \,A-m^2}{0.10 \,m} = 13.5 \,A-m$.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકા $(P_1)$ પર,પથ તફાવત $0$ છે,તેથી કળા તફાવત $\phi_1 = 0$ થાય. આમ,$I_1 = I_{max}$.
કેન્દ્રથી $y$ અંતરે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{yd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P_2$ એ $P_1$ થી $y = \frac{\beta}{4}$ અંતરે છે,જ્યાં $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ એ શલાકાની પહોળાઈ છે.
તેથી,$\Delta x = \frac{(\beta/4)d}{D} = \frac{(\lambda D/4d)d}{D} = \frac{\lambda}{4}$.
કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
હવે,$P_2$ પરની તીવ્રતા $I_2 = I_{max} \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = I_{max} \cos^2(\frac{\pi}{4}) = I_{max} (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{I_{max}}{2}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{I_{max}}{I_{max}/2} = 2$ મળે.

(C) $L-C-R$ પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{(X_L - X_C)^2 + R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 70 \times 10^3 \text{ rad/s}$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 100 \times 10^{-6} \text{ H}$,અને કેપેસીટન્સ $C = 1 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = (70 \times 10^3) \times (100 \times 10^{-6}) = 7 \text{ } \Omega$.
કેપેસીટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{(70 \times 10^3) \times (1 \times 10^{-6})} = \frac{1}{70 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{70} \approx 14.28 \text{ } \Omega$.
અહીં $X_C > X_L$ હોવાથી,પરિપથનો કુલ રિએક્ટન્સ કેપેસીટિવ છે $(X_C - X_L > 0)$.
તેથી,આ પરિપથ શ્રેણી $R-C$ પરિપથ તરીકે વર્તે છે.

(C) ધારો કે પ્રાથમિક કોષનું $EMF$ $V$ છે અને $L_1 = 10 \ m$ લંબાઈના પોટેન્શિયોમીટર તારનો અવરોધ $R_0$ છે. પ્રાથમિક પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_0}$ છે.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_1 = \frac{V}{L_1} = \frac{V}{10}$ છે.
શૂન્ય બિંદુ $l_1 = 2.5 \ m$ પર મળે છે,તેથી ગૌણ કોષનું $EMF$ $E = k_1 \times l_1 = \frac{V}{10} \times 2.5 = 0.25V$ છે.
જ્યારે તારની લંબાઈ વધારીને $L_2 = 10 + 1 = 11 \ m$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R_0' = \frac{11}{10}R_0$ થાય છે. પ્રાથમિક પરિપથમાં નવો પ્રવાહ $I' = \frac{V}{R_0'} = \frac{V}{1.1 R_0} = \frac{I}{1.1}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{I' \times R_0'}{L_2} = \frac{V}{L_2} = \frac{V}{11}$ છે.
તે જ ગૌણ કોષ માટે,નવું શૂન્ય બિંદુ $l_2$ માટે $E = k_2 \times l_2$ થાય.
$0.25V = \frac{V}{11} \times l_2$.
$l_2 = 0.25 \times 11 = 2.75 \ m$.

(C) ધારો કે વોલ્ટમીટરનો આંતરિક અવરોધ $R$ છે. $B$ અને $C$ વચ્ચેનો અવરોધ $50 \text{ k}\Omega$ છે. જ્યારે વોલ્ટમીટરને આ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $B$ અને $C$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R'} = \frac{1}{R} + \frac{1}{50 \text{ k}\Omega} = \frac{50 \text{ k}\Omega + R}{50 R \text{ k}\Omega}$
$R' = \frac{50 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 50 \text{ k}\Omega + R' = 50 + \frac{50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 50 R + 50 R}{50 + R} = \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \text{ k}\Omega$ છે.
પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{100}{\left( \frac{2500 + 100 R}{50 + R} \right)} = \frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \text{ mA}$ છે.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V_{BC} = I R' = \frac{100}{3} \text{ V}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100(50 + R)}{2500 + 100 R} \times \frac{50 R}{50 + R} = \frac{100}{3}$
$\frac{5000 R}{2500 + 100 R} = \frac{100}{3}$
$15000 R = 250000 + 10000 R$
$5000 R = 250000$
$R = 50 \text{ k}\Omega$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = E - W_0$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$v = \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}}$ મળે.
જ્યારે $m$ દળ અને $e$ વીજભાર ધરાવતો કણ $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વેગને લંબ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$evB = \frac{mv^2}{r}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$r = \frac{mv}{eB}$ મળે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = \frac{m}{eB} \sqrt{\frac{2(E-W_0)}{m}} = \frac{\sqrt{2m(E-W_0)}}{eB}$.

(B) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $W_0 = 3.31 \times 10^{-19} \,J$ આપેલ છે।
આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5000 \times 10^{-10} \,m = 5 \times 10^{-7} \,m$ છે।
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = W_0 + KE_{max}$ છે,જ્યાં $KE_{max}$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે।
આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6.62 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} \,J$ થશે।
$E = \frac{19.86 \times 10^{-26}}{5 \times 10^{-7}} = 3.972 \times 10^{-19} \,J$.
હવે,$KE_{max} = E - W_0 = 3.972 \times 10^{-19} \,J - 3.31 \times 10^{-19} \,J = 0.662 \times 10^{-19} \,J$.
આ ઊર્જાને ઇલેક્ટ્રોન-વોલ્ટ $(eV)$ માં ફેરવવા માટે,તેને ઇલેક્ટ્રોનના વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ વડે ભાગતા:
$KE_{max} = \frac{0.662 \times 10^{-19} \,J}{1.6 \times 10^{-19} \,C} = 0.41375 \,eV \approx 0.41 \,eV$.

(A) અનંત લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ અંતરે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
આ સૂત્રને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = 2k \frac{\lambda}{r}$
જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$ છે.
આપેલ છે:
$\lambda = \frac{1}{3} \, C \cdot m^{-1}$
$r = 18 \, cm = 0.18 \, m = 18 \times 10^{-2} \, m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = 2 \times (9 \times 10^9) \times \frac{1/3}{18 \times 10^{-2}}$
$E = 18 \times 10^9 \times \frac{1}{3 \times 18 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{18 \times 10^9}{54 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{1}{3} \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$
$E \approx 0.33 \times 10^{11} \, N \cdot C^{-1}$

(C) $(0,0,a)$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P(0,0,z)$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{(z-a)}$
$(0,0,-a)$ પર રહેલા $-q$ વિદ્યુતભારને કારણે બિંદુ $P(0,0,z)$ પરનું સ્થિતિમાન:
$V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z-(-a))} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{(z+a)}$
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = V_1 + V_2$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{q}{z-a} - \frac{q}{z+a} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(z+a) - (z-a)}{(z-a)(z+a)} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{z+a-z+a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{2a}{z^2-a^2} \right]$
$V = \frac{2qa}{4 \pi \varepsilon_0(z^2-a^2)}$

(C) કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ સીધા તાર અને વર્તુળાકાર લૂપને કારણે ઉદ્ભવતા ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. કેન્દ્ર $O$ થી $R$ અંતરે રહેલા લાંબા સીધા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$ (બહારની દિશામાં,સમતલને લંબ).
$2$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_2 = \frac{\mu_0 I}{2 R}$ (બહારની દિશામાં,સમતલને લંબ).
બંને ક્ષેત્રો એક જ દિશામાં (બહારની તરફ) હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ થશે:
$B = B_1 + B_2$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} + \frac{\mu_0 I}{2 R}$
$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R} (1 + \pi)$
આમ,ચુંબકીય પ્રેરણનું મૂલ્ય $\frac{\mu_0 I}{2 \pi R}(\pi+1)$ છે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લૂપનો પરિઘ $l = 2 \pi R$ હોવાથી,$R = \frac{l}{2 \pi}$ મળે.
આ કિંમત $B$ ના સૂત્રમાં મૂકતા,$B = \frac{\mu_0 I}{2(l / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 I \pi}{l}$ મળે.
જ્યારે $l$ લંબાઈના તે જ તારને બે આંટાવાળા લૂપમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ ધારો.
તારની કુલ લંબાઈ $l = 2(2 \pi r')$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $r' = \frac{l}{4 \pi} = \frac{R}{2}$.
$N$ આંટા ધરાવતા કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B' = N \frac{\mu_0 I}{2r'}$ છે.
અહીં,$N = 2$ અને $r' = \frac{R}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$B' = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{2(R / 2)} = 2 \cdot \frac{\mu_0 I}{R} = 4 \cdot \left( \frac{\mu_0 I}{2R} \right) = 4B$ મળે.
તેથી,નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $4B$ થશે.

(B) વાઇબ્રેશન મેગ્નેટોમીટરમાં દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ચુંબકોને સાથે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{eff} = M_A + M_B$ (સમાન ધ્રુવો માટે) અને $M_{eff} = M_A - M_B$ (વિરુદ્ધ ધ્રુવો માટે) થાય છે.
ધારો કે $f_s = 20 \text{ દોલનો/મિનિટ}$ અને $f_d = 15 \text{ દોલનો/મિનિટ}$.
કારણ કે $f \propto \sqrt{M_{eff}}$,તેથી $\frac{f_s}{f_d} = \sqrt{\frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{20}{15}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \frac{16}{9} = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}$.
યોગ-વિયોગની રીતનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{16+9}{16-9} = \frac{25}{7}$.

(D) આપેલ છે: ચુંબકની લંબાઈ $2l = 10 \, cm$, તેથી $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$. દરેક ધ્રુવથી તટસ્થ બિંદુનું અંતર $r' = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
ધારો કે $m$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા છે. તટસ્થ બિંદુ $P$ પર ચુંબકને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રના સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H = 0.4 \, Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \, T$ જેટલું હોય છે.
ચુંબકને કારણે બિંદુ $P$ પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ $N$ અને $S$ ધ્રુવોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r'^2} \times 2 \cos\theta$, જ્યાં $\cos\theta = \frac{OP}{r'}$.
ભૂમિતિ પરથી, $OP = \sqrt{r'^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \, cm = 10\sqrt{2} \, cm = 0.1 \sqrt{2} \, m$.
$\cos\theta = \frac{10\sqrt{2}}{15} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
ગણતરી કરતા, $m = 1.35 \, A-m$ મળે છે.

(D) સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
ક્ષય અચળાંક $10 \lambda$ ધરાવતા પદાર્થ $X_1$ માટે: $N_1 = N_0 e^{-10 \lambda t}$.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ધરાવતા પદાર્થ $X_2$ માટે: $N_2 = N_0 e^{-\lambda t}$.
આપેલ છે કે સમય $t$ પર ગુણોત્તર $N_1 / N_2 = 1 / e$ છે:
$\frac{N_1}{N_2} = \frac{N_0 e^{-10 \lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-10 \lambda t + \lambda t} = e^{-9 \lambda t}$.
આપણને $\frac{N_1}{N_2} = e^{-1}$ આપેલ છે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-9 \lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{9 \lambda}$.

(D) એક્રોમેટિક ડબલેટ એ બે અલગ-અલગ દ્રવ્યોમાંથી બનેલા લેન્સનું સંયોજન છે,જે ક્રોમેટિક એબરેશન (રંગભૂલ) ઘટાડવા માટે બનાવવામાં આવે છે.
એક્રોમેટિક ડબલેટ માટે,સંયોજન એક્રોમેટિક બને તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$\omega_1 P_1 + \omega_2 P_2 = 0$
જ્યાં $P_1$ અને $P_2$ એ બે લેન્સના પાવર છે અને $\omega_1$ અને $\omega_2$ એ તેમના સંબંધિત ડિસ્પર્સિવ પાવર છે.
આ સમીકરણ સૂચવે છે કે તેમના પાવર અને ડિસ્પર્સિવ પાવરના ગુણાકારનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.

(C) સર્કિટ $A$ માં,બંને $p-n$ જંકશન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે. તેથી,બંને શાખાઓમાંથી પ્રવાહ વહે છે. કુલ અવરોધ $R_A$ આ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{R_A} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4}$,તેથી $R_A = 2 \Omega$. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I_A = \frac{V}{R_A} = \frac{8 \text{ V}}{2 \Omega} = 4 \text{ A}$.
સર્કિટ $B$ માં,ઉપરનો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે,પરંતુ નીચેનો ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે. તેથી,નીચેની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પ્રવાહ ફક્ત ઉપરની શાખામાંથી $4 \Omega$ ના અવરોધ સાથે વહે છે. ઓહ્મના નિયમ મુજબ,$I_B = \frac{V}{R_B} = \frac{8 \text{ V}}{4 \Omega} = 2 \text{ A}$.
આમ,પ્રવાહ અનુક્રમે $4 \text{ A}$ અને $2 \text{ A}$ છે.

(C) વ્યતિકરણની ઘટના એવા બે તરંગો વચ્ચે થાય છે જેની આવૃત્તિ સમાન હોય અને કળા તફાવત અચળ હોય.
આપેલા તરંગોની આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા:
$(i)$ આવૃત્તિ $\omega$ છે.
(ii) આવૃત્તિ $2\omega$ છે.
(iii) આવૃત્તિ $\omega$ છે.
(iv) આવૃત્તિ $3\omega$ છે.
તરંગો $y_1$ અને $y_3$ બંનેની કોણીય આવૃત્તિ સમાન $\omega$ હોવાથી,તેમનું સંપાતીકરણ વ્યતિકરણ ભાત ઉત્પન્ન કરશે.