गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,संख्याएँ $a_n$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$।
तो,$a_n$ का मान क्या है?

गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $3^{2n} - 1$,$8$ से विभाज्य है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$\frac{1}{2 \times 5} + \frac{1}{5 \times 8} + \frac{1}{8 \times 11} + \ldots + \frac{1}{(3n-1)(3n+2)} = \frac{n}{6n+4}$

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि एक अनुक्रम $b_{0}, b_{1}, b_{2}, \ldots$ के लिए,जो $b_{0}=5$ और $b_{k}=4+b_{k-1}$ द्वारा सभी प्राकृतिक संख्याओं $k$ के लिए परिभाषित है,सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $b_{n}=5+4n$ है।

गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सभी $n \in N$ के लिए निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए:
$1+\frac{1}{(1+2)}+\frac{1}{(1+2+3)}+\ldots+\frac{1}{(1+2+3+\ldots+n)}=\frac{2n}{n+1}$

सभी $n \ge 1$ के लिए,सिद्ध कीजिए कि: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$