मान लीजिए vec{c},सदिश vec{a}=hat{i}+2 hat{j}+ | vedclass

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Question

(A) सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ

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(A) सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} ight) \vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.$\vec{b} \cdot \vec{a} = (\lambda \hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \lambda + 8$.अतः,$\vec{c} = \frac{\lambda + 8}{9} (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.दिया गया है $|\vec{a} + \vec{c}| = 7$। चूंकि $\vec{c}, \vec{a}$ के समांतर है,मान लीजिए $\vec{c} = k\vec{a}$,जहाँ $k = \frac{\lambda + 8}{9}$ है।तब $|\vec{a} + k\vec{a}| = |(1+k)\vec{a}| = |1+k| |\vec{a}| = |1+k| \cdot 3 = 7$.$|1+k| = \frac{7}{3} \Rightarrow 1+k = \frac{7}{3}$ (चूंकि $\lambda > 0, k > 0$)।$k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\lambda + 8}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 8 = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.अब,$\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{k}$ और $\vec{c} = \frac{4}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}$.$\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{b} 	imes \vec{c}|$ है।चूंकि $\vec{c}, \vec{a}$ पर $\vec{b}$ का प्रक्षेप है,$\vec{c} = k\vec{a}$।$|\vec{b} 	imes \vec{c}| = |\vec{b} 	imes k\vec{a}| = |k| |\vec{b} 	imes \vec{a}|$.$\vec{b} 	imes \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 4 & 0 & 4 \ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(8-0) = -8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$.$|\vec{b} 	imes \vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12$.क्षेत्रफल $= |k| \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.

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