$|z|=1$ और $\left|\frac{z}{\bar{z}}+\frac{\bar{z}}{z}\right|=1$ को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्याओं $z$ की संख्या क्या है?

मान लीजिए $x_1, x_2, x_3, x_4$ समीकरण $4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 0$ के मूल हैं। यदि $(4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2) = \frac{125}{16}m$ है,तो $m$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। मान लीजिए $z_1 = 1 + 2i$ और $z_2 = 3i$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। मान लीजिए $S = \{(x, y) \in R \times R : |x + iy - z_1| = 2|x + iy - z_2|\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) S$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ है।
$(B) S$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(\frac{1}{3}, \frac{8}{3}\right)$ है।
$(C) S$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\frac{\sqrt{2}}{3}$ है।
$(D) S$ एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।

यदि $S = \{z \in \mathbb{C} : \frac{z-i}{z+2i} \in \mathbb{R}\}$ है,तो:

मान लीजिए $z_{1}$ और $z_{2}$ समीकरण $z^{2} + az + 12 = 0$ के मूल हैं। यदि $z_{1}$,$z_{2}$ और मूल बिंदु सम्मिश्र तल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,तो $|a|$ का मान क्या है?

यदि बिंदु $P$ आर्गंड तल में सम्मिश्र संख्या $z=x+iy$ को दर्शाता है और $\frac{z-(2-i)}{z+(1+2i)}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?