मान लीजिए कि एक वक्र y=f(x) बिंदुओं (0,5) और | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2(3+y) e^{2x} dx = (7+e^{2x}) dy$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3+y) e^{2x}}{7+e^{2x}}$. चरों को अलग

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$8$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $2(3+y) e^{2x} dx = (7+e^{2x}) dy$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2(3+y) e^{2x}}{7+e^{2x}}$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{3+y} = \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{3+y} = \int \frac{2e^{2x}}{7+e^{2x}} dx$. मान लीजिए $u = 7+e^{2x}$,तो $du = 2e^{2x} dx$. अतः,$\ln|3+y| = \ln|7+e^{2x}| + C$. इसे $3+y = C(7+e^{2x})$ के रूप में लिखा जा सकता है। चूंकि वक्र बिंदु $(0,5)$ से गुजरता है,इसलिए $x=0$ और $y=5$ रखने पर: $3+5 = C(7+e^0) \Rightarrow 8 = 8C \Rightarrow C=1$. इस प्रकार,वक्र का समीकरण $3+y = 7+e^{2x}$ है,जिसे सरल करने पर $y = e^{2x} + 4$ प्राप्त होता है। अब,बिंदु $(\log_e 2, k)$ के लिए,$x = \log_e 2$ रखने पर: $k = e^{2 \log_e 2} + 4 = e^{\log_e 4} + 4 = 4 + 4 = 8$.

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