प्रति-त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों का उपयोग करते हुए, $16((\sec^{-1} x)^2 + (\operatorname{cosec}^{-1} x)^2)$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग ज्ञात कीजिए: ($\pi^2$ में)

यदि $f(x) = \cos \left( {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right) + \sin \left( {{{\cot }^{ - 1}}\left( {\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right)} \right)} \right)$ का परिसर $[m, M)$ है,तो समीकरण $\operatorname{sgn} (|x - 1| - 2) = \ln |x - 2|$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए (जहाँ $\operatorname{sgn}$ सिग्नम फलन को दर्शाता है)।

यदि $f(x) = 2 \sin^{-1} \sqrt{1-x} + \sin^{-1} (2 \sqrt{x(1-x)})$ जहाँ $x \in (0, 1/2)$ है,तो $f'(x)$ का मान किसके बराबर है?

यदि $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} \right)$ और $g(x) = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)$ है,तो $0 < a < \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं और $\theta = \tan^{-1}\sqrt{\frac{a(a+b+c)}{bc}} + \tan^{-1}\sqrt{\frac{b(a+b+c)}{ca}} + \tan^{-1}\sqrt{\frac{c(a+b+c)}{ab}}$ है,तो $\tan \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

असमिका $(\tan^{-1} x)(\cot^{-1} x) - (\tan^{-1} x)(1 + \frac{\pi}{2}) - 2\cot^{-1} x + 2(1 + \frac{\pi}{2}) > \lim_{x \to \infty} [\sec^{-1} x - \frac{\pi}{2}]$ का हल समुच्चय ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है):