माना x = x(y) अवकल समीकरण y^2 dx + (x - frac{ | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है। $y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त

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$3 - e$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ है। $y^2 dy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y^3}$ प्राप्त होता है। यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{y^2}$ और $Q(y) = \frac{1}{y^3}$ है। समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P(y) dy} = e^{\int y^{-2} dy} = e^{-1/y}$ है। हल $x \cdot e^{-1/y} = \int Q(y) \cdot e^{-1/y} dy + C$ है। माना $t = -1/y$,तो $dt = \frac{1}{y^2} dy$। $x \cdot e^{-1/y} = \int (-t) e^t dt + C = -(t e^t - e^t) + C = e^t(1 - t) + C$। $t = -1/y$ रखने पर,$x \cdot e^{-1/y} = e^{-1/y}(1 + \frac{1}{y}) + C$ प्राप्त होता है। चूंकि $x(1) = 1$ दिया गया है,$1 \cdot e^{-1} = e^{-1}(1 + 1) + C$,इसलिए $e^{-1} = 2e^{-1} + C$,जिसका अर्थ है $C = -e^{-1}$। अतः,$x = 1 + \frac{1}{y} - e^{1/y} \cdot e^{-1} = 1 + \frac{1}{y} - e^{(1/y) - 1}$। $y = 1/2$ के लिए,$x = 1 + \frac{1}{1/2} - e^{(1/(1/2)) - 1} = 1 + 2 - e^{2-1} = 3 - e$।

माना $x = x(y)$ अवकल समीकरण $y^2 dx + (x - \frac{1}{y}) dy = 0$ का हल है। यदि $x(1) = 1$ है,तो $x(\frac{1}{2})$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि एक वक्र $y = f(x)$ बिंदु $(1, 2)$ से गुजरता है और $x \frac{dy}{dx} + y = bx^4$ को संतुष्ट करता है,तो $b$ के किस मान के लिए $\int_{1}^{2} f(x) dx = \frac{62}{5}$ होगा?

अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) . . . . . . है।

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समीकरण $(x-4y^3) \frac{dy}{dx}-y=0, (y>0)$ का हल ज्ञात कीजिए।

माना $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(2x \ln x) \frac{dy}{dx} + 2y = \frac{3}{x} \ln x$,$x > 0$ और $y(e^{-1}) = 0$ का हल है। तो,$y(e)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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