मान लीजिए f(x) एक वास्तविक अवकलनीय फलन है,इस | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1=2f'(0)$,इसलिए

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$2525$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है कि $f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y)$.$x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)f'(0)+f'(0)f(0)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $1=2f'(0)$,इसलिए $f'(0)=\frac{1}{2}$.मूल समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $f(x)=f(x)f'(0)+f'(x)f(0)$ प्राप्त होता है.$f(0)=1$ और $f'(0)=\frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $f(x)=\frac{1}{2}f(x)+f'(x)$ मिलता है,जो सरल होकर $f'(x)=\frac{f(x)}{2}$ हो जाता है.यह एक पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{2}$.दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)|=\frac{x}{2}+C$ प्राप्त होता है.चूंकि $f(0)=1$,इसलिए $\ln(1)=0+C$,जिससे $C=0$.अतः,$\ln f(x)=\frac{x}{2}$,जिसका अर्थ है $f(x)=e^{x/2}$.अब,$\sum_{n=1}^{100} \log_{e} f(n) = \sum_{n=1}^{100} \frac{n}{2} = \frac{1}{2} 	imes \frac{100(101)}{2} = \frac{5050}{2} = 2525$.

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