मान लीजिए E : frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त $E$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{3} \Rightarrow ae = \sqrt{3}$ है।अतिपरवलय $H$ के लिए,ना

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$8$

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(C) दीर्घवृत्त $E$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 2\sqrt{3} \Rightarrow ae = \sqrt{3}$ है।अतिपरवलय $H$ के लिए,नाभियाँ $(\pm Ae', 0)$ हैं,इसलिए नाभियों के बीच की दूरी $2Ae' = 2\sqrt{3} \Rightarrow Ae' = \sqrt{3}$ है।अतः,$ae = Ae' \Rightarrow \frac{e}{e'} = \frac{A}{a}$ है।दिया है $\frac{e}{e'} = \frac{1}{3}$,तो $\frac{A}{a} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3A$ है।दिया है $a - A = 2$,$a = 3A$ प्रतिस्थापित करने पर $3A - A = 2$ $\Rightarrow 2A = 2$ $\Rightarrow A = 1$ और $a = 3$ प्राप्त होता है।चूंकि $ae = \sqrt{3}$,$3e = \sqrt{3} \Rightarrow e = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है। तब $b^2 = a^2(1 - e^2) = 9(1 - \frac{1}{3}) = 9(\frac{2}{3}) = 6$ है।चूंकि $Ae' = \sqrt{3}$,$1 \cdot e' = \sqrt{3} \Rightarrow e' = \sqrt{3}$ है। तब $B^2 = A^2((e')^2 - 1) = 1(3 - 1) = 2$ है।$E$ के नाभिलंब की लंबाई $L_E = \frac{2b^2}{a} = \frac{2(6)}{3} = 4$ है।$H$ के नाभिलंब की लंबाई $L_H = \frac{2B^2}{A} = \frac{2(2)}{1} = 4$ है।उनके नाभिलंबों की लंबाइयों का योग $4 + 4 = 8$ है।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$A$. वृत्त	$P$. बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ जिसके लिए रेखा $hx + ky = 1$ वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को स्पर्श करती है
$B$. परवलय	$Q$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$\|z + 2\| - \|z - 2\| = \pm 3$ को संतुष्ट करता है
$C$. अतिपरवलय	$R$. शांकव की उत्केंद्रता अंतराल $[1, \infty)$ में स्थित है
	$S$. सम्मिश्र तल में बिंदु $z$,$Re(z + 1)^2 = \|z\|^2 + 1$ को संतुष्ट करता है

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यदि $m$ वक्रों $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $x^{2}+y^{2}=12$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की ढाल है,तो $12\; m^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नाभियाँ,अतिपरवलय $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{81} = \frac{1}{25}$ की नाभियों के समान हैं,तो $b^2 = \dots$

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