JEE Main 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણ માટે,કુલ ઊર્જા $E$ એ ગતિઊર્જા $(KE)$ અને સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નો સરવાળો છે.
$E = KE + PE$
આપેલ છે કે $KE = PE$,તેથી $E = 2 \cdot PE$ અથવા $E = 2 \cdot KE$.
સ્થાનાંતર $y$ પર સ્થિતિઊર્જા $PE = \frac{1}{2} k y^2$ છે,અને કુલ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} k A^2$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
$KE = PE$ લેતા,$PE = \frac{1}{2} E$ મળે,તેથી $\frac{1}{2} k y^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} k A^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $y^2 = \frac{A^2}{2}$,અથવા $y = \frac{A}{\sqrt{2}}$ મળે.
ગતિનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ વાપરતા,$\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\omega t)$,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\omega t = \frac{\pi}{4}$.
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,તેથી $(\frac{2\pi}{T}) t = \frac{\pi}{4}$.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{T}{8}$ મળે.
આને $\frac{T}{x}$ સાથે સરખાવતા,$x = 8$ મળે છે.

(C) તારમાં તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T = 900 \; \text{N}$ અને $\mu = 9.0 \times 10^{-4} \; \text{kg/m}$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{\frac{900}{9.0 \times 10^{-4}}} = \sqrt{10^6} = 1000 \; \text{m/s}$.
બંને છેડે જડિત તારની અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2L}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta f = f_{n+1} - f_n = \frac{(n+1)v}{2L} - \frac{nv}{2L} = \frac{v}{2L}$ થાય.
અહીં $\Delta f = 550 \; \text{Hz} - 500 \; \text{Hz} = 50 \; \text{Hz}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{v}{2L} = 50 \; \text{Hz}$.
$v = 1000 \; \text{m/s}$ કિંમત મૂકતા,$\frac{1000}{2L} = 50$.
$2L = \frac{1000}{50} = 20$.
$L = 10 \; \text{m}$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન એ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોય છે: $P_i = P_f$।
ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે. તેથી,$m \times 40 = (m/2) \times v + (m/2) \times 60$।
$m/2$ વડે ભાગતા,આપણને $80 = v + 60$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = 20 \, m/s$।
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા: $(K.E.)_i = \frac{1}{2} m (40)^2 = 800m$।
અંતિમ ગતિ ઉર્જા: $(K.E.)_f = \frac{1}{2} (m/2) (20)^2 + \frac{1}{2} (m/2) (60)^2 = \frac{1}{4} m (400 + 3600) = 1000m$।
ગતિ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E. = (K.E.)_f - (K.E.)_i = 1000m - 800m = 200m$ છે।
આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta K.E.}{(K.E.)_i} = \frac{200m}{800m} = \frac{1}{4}$ છે।
આપેલ છે કે આંશિક ફેરફાર $x:4$ છે,તેથી $x/4 = 1/4$,એટલે કે $x = 1$।

(C) કારના ફ્રેમમાં,બોબ ઢાળની નીચેની તરફ આભાસી બળ $ma$ અનુભવે છે. અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટકો $mg \sin 30^{\circ}$ (ઢાળની નીચે) અને $mg \cos 30^{\circ}$ (ઢાળને લંબ) છે.
ધારો કે $\alpha$ એ દોરીએ ઢળેલા સમતલના લંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. કારની ફ્રેમમાં બોબ પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. આભાસી બળ $ma$ (ઢાળની નીચે).
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 30^{\circ}$ (ઢાળની નીચે).
$3$. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos 30^{\circ}$ (ઢાળને લંબ).
લંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ આ રીતે મળે છે: $\tan \alpha = \frac{ma + mg \sin 30^{\circ}}{mg \cos 30^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \alpha = \frac{10m + 10m \sin 30^{\circ}}{10m \cos 30^{\circ}} = \frac{10 + 5}{5\sqrt{3}} = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = 60^{\circ}$.
દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = \alpha - 30^{\circ} = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.

(B) કુલ દળ $M = 50 \times 10^{3} \; \text{kg}$ ને $4$ સમાન સ્તંભો દ્વારા ટેકો આપવામાં આવે છે.
દરેક સ્તંભ પર લાગતું બળ $F = \frac{Mg}{4} = \frac{50 \times 10^{3} \times 9.8}{4} = 1.225 \times 10^{5} \; \text{N}$.
પોલા નળાકારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(R^2 - r^2)$,જ્યાં $R = 1.0 \; \text{m}$ અને $r = 0.5 \; \text{m}$ છે.
$A = \pi(1.0^2 - 0.5^2) = \pi(1 - 0.25) = 0.75\pi \; \text{m}^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
તેથી,સંકોચન વિકૃતિ $\frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{0.75 \times \pi \times 2.0 \times 10^{11}}$.
$\text{Strain} = \frac{1.225 \times 10^{5}}{1.5 \times \pi \times 10^{11}} \approx 2.60 \times 10^{-7}$.

(C) આપેલ છે: દરેક ગોળાનું દળ $M = 1.5\, {kg}$,ત્રિજ્યા $r = 50\, {cm} = 0.5\, {m}$,અને કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $L = 5\, {m}$.
ભ્રમણાક્ષ સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,જે તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પણ છે.
દરેક ગોળાના કેન્દ્રથી ભ્રમણાક્ષનું અંતર $d = L/2 = 5/2 = 2.5\, {m}$ છે.
દરેક ગોળા માટે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષને અનુલક્ષીને એક ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = I_{cm} + Md^2 = \frac{2}{5}Mr^2 + Md^2$ થાય.
તંત્રમાં બે સમાન ગોળાઓ હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = 2 \times (\frac{2}{5}Mr^2 + Md^2)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $I_{total} = 2 \times [\frac{2}{5} \times 1.5 \times (0.5)^2 + 1.5 \times (2.5)^2]$.
$I_{total} = 2 \times [0.4 \times 1.5 \times 0.25 + 1.5 \times 6.25]$.
$I_{total} = 2 \times [0.15 + 9.375] = 2 \times 9.525 = 19.05\, {kgm}^{2}$.

(B) ધારો કે $\overrightarrow{A} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{Q}$ અને $\overrightarrow{B} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{Q}$. કારણ કે $\overrightarrow{P} \perp \overrightarrow{Q}$,તેથી મૂલ્યો $|\overrightarrow{A}| = |\overrightarrow{B}| = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}$ થાય.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R = \sqrt{|\overrightarrow{A}|^{2} + |\overrightarrow{B}|^{2} + 2|\overrightarrow{A}||\overrightarrow{B}| \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2}) + 2(P^{2} + Q^{2}) \cos \theta} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})(1 + \cos \theta)}$ છે.
$\theta_{1}$ માટે,$R_{1} = \sqrt{3(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{1}) = 3 \implies \cos \theta_{1} = 0.5 \implies \theta_{1} = 60^{\circ}$.
$\theta_{2}$ માટે,$R_{2} = \sqrt{2(P^{2} + Q^{2})} \implies 2(1 + \cos \theta_{2}) = 2 \implies \cos \theta_{2} = 0 \implies \theta_{2} = 90^{\circ}$.
કારણ કે $60^{\circ} < 90^{\circ}$,તેથી $\theta_{1} < \theta_{2}$ સાચું છે. આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) પદાર્થની અંદર $r$ ત્રિજ્યા અને $dr$ જાડાઈ ધરાવતા પાતળા ગોળાકાર કવચનો વિચાર કરો.
આ પાતળા કવચનો ઉષ્મીય અવરોધ $dR$ નીચે મુજબ છે:
$dR = \frac{dr}{K(4 \pi r^{2})}$
કવચો વચ્ચેનો કુલ ઉષ્મીય અવરોધ $R$ શોધવા માટે,આપણે $r_{1}$ થી $r_{2}$ સુધી સંકલન કરીએ છીએ:
$R = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{4 \pi K r^{2}} = \frac{1}{4 \pi K} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}$
$R = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)$
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર (ઉષ્મીય પ્રવાહ $i$) નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{R}$
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{\frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)} = \frac{4 \pi K r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ બદલાય છે.
$m g_{\text{eff}} = m g - F_B$,જ્યાં $F_B$ એ ઉત્પ્લાવક બળ છે.
$F_B = V \sigma g$,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\sigma = \frac{\rho}{4}$,જ્યાં $\rho$ એ ગોળાની ઘનતા છે,તેથી $F_B = V \frac{\rho}{4} g = \frac{m g}{4}$.
આમ,$m g_{\text{eff}} = m g - \frac{m g}{4} = \frac{3 m g}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $g_{\text{eff}} = \frac{3 g}{4}$.
દોરાની નવી લંબાઈ $l_1 = l + \frac{l}{3} = \frac{4l}{3}$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{l_1}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{4l/3}{3g/4}} = 2 \pi \sqrt{\frac{16l}{9g}} = \frac{4}{3} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$.
તેથી,$T_1 = \frac{4}{3} T$.

(D) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો ત્રણ બળો $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ અને $\vec{F}_{3}$ ને સમાન ક્રમમાં લીધેલ ત્રિકોણની બાજુઓ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનું પરિણામી બળ શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} = -\vec{F}_{3}$.
કારણ કે કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$ છે,તેથી તંત્ર સ્થાનાંતરીય સંતુલનમાં છે.
વિધાન-$I$ સાચું છે કારણ કે બંધ ત્રિકોણ બનાવતા બળો સંગામી હોય છે (અથવા તેમને સંગામી બનાવવા માટે સ્થાનાંતરિત કરી શકાય છે) અને તેમનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જે સંતુલનની શરતનું પાલન કરે છે.
વિધાન-$II$ પણ સાચું છે કારણ કે ત્રિકોણની આસપાસ સમાન ક્રમમાં લીધેલ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,જે સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટેની શરત છે.
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(A) ધારો કે દળનું પરિમાણ $[M] = [F]^a [T]^b [V]^c$ તરીકે દર્શાવેલ છે.
મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [M^1 L^1 T^{-2}]^a [T^1]^b [L^1 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^a L^{a+c} T^{-2a+b-c}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$
$T$ માટે: $-2a + b - c = 0 \implies -2(1) + b - (-1) = 0 \implies -2 + b + 1 = 0 \implies b = 1$
તેથી,દળનું પરિમાણ $[F^1 T^1 V^{-1}]$ થશે,જેને $[F T V^{-1}]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ એ મોલની કુલ સંખ્યા છે.
આપેલ છે: $P = 400 \times 10^3 \, Pa$,$V = 500 \times 10^{-6} \, m^3$,$T = 300 \, K$,$R \approx 25/3 \, J/(mol \cdot K)$.
$400 \times 10^3 \times 500 \times 10^{-6} = n \times (25/3) \times 300$
$200 = n \times 2500$
$n = 200/2500 = 2/25 = 0.08 \, mol$.
ધારો કે $m_H$ એ હાઇડ્રોજનનું દળ છે અને $m_O$ એ ઓક્સિજનનું દળ છે.
$m_H + m_O = 0.76 \, g$.
મોલની કુલ સંખ્યા $n = n_H + n_O = m_H/2 + m_O/32 = 0.08$.
$32$ વડે ગુણતા: $16m_H + m_O = 0.08 \times 32 = 2.56$.
આપણી પાસે સમીકરણો છે:
$1) \, m_H + m_O = 0.76$
$2) \, 16m_H + m_O = 2.56$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $15m_H = 1.80 \implies m_H = 0.12 \, g$.
તેથી $m_O = 0.76 - 0.12 = 0.64 \, g$.
ઓક્સિજન અને હાઇડ્રોજનના દળનો ગુણોત્તર $m_O/m_H = 0.64/0.12 = 16/3$ છે.

(C) ધારો કે કુલ દળ $3M$ છે. પ્રારંભિક વેગ $V_0 = 40\, m/s$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$P_{initial} = P_{final}$
$3M \cdot V_0 = M \cdot V_1 + 2M \cdot V_2$
$3 \cdot 40 = 60 + 2 \cdot V_2$
$120 = 60 + 2 \cdot V_2 \Rightarrow 2 \cdot V_2 = 60 \Rightarrow V_2 = 30\, m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} \cdot (3M) \cdot V_0^2 = \frac{1}{2} \cdot 3M \cdot (40)^2 = 2400M$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} \cdot M \cdot V_1^2 + \frac{1}{2} \cdot (2M) \cdot V_2^2 = \frac{1}{2} \cdot M \cdot (60)^2 + M \cdot (30)^2 = 1800M + 900M = 2700M$.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 2700M - 2400M = 300M$.
ગતિઊર્જામાં આંશિક ફેરફાર = $\frac{\Delta K}{K_i} = \frac{300M}{2400M} = \frac{1}{8}$.

(A) $S.H.M.$ માં,કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $(E = K.E. + P.E.)$ કોઈપણ સમયે અચળ રહે છે,જે વિધાન $(c)$ ને સાબિત કરે છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ પર સરેરાશ ગતિ ઉર્જા $\langle K.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \cos^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ $T$ પર સરેરાશ સ્થિતિ ઉર્જા $\langle P.E. \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1}{2} k A^2 \sin^2(\omega t + \phi) dt = \frac{1}{4} k A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે એક આવર્તકાળ દરમિયાન $\langle K.E. \rangle = \langle P.E. \rangle$ થાય છે,તેથી વિધાન $(d)$ સાચું છે.
વિધાન $(b)$ ખોટું છે કારણ કે સરેરાશ ઉર્જા ફક્ત એક સંપૂર્ણ આવર્તકાળ અથવા તેના અડધા-પૂર્ણાંક ગુણાંક પર જ સમાન હોય છે,'કોઈપણ' આપેલા સમયગાળા પર નહીં.
તેથી,વિધાન $(c)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $r$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_{up} = \frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીથી $r$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g_{down} = g(1 - \frac{r}{R_{E}})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઊંડાઈ $r$ અને ઊંચાઈ $r$ પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_{down}}{g_{up}} = \frac{g(1 - \frac{r}{R_{E}})}{\frac{g}{(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}}} = (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{r}{R_{E}})^{2}$.
આ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$= (1 - \frac{r}{R_{E}})(1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}})$
$= 1 + \frac{2r}{R_{E}} + \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r}{R_{E}} - \frac{2r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$
$= 1 + \frac{r}{R_{E}} - \frac{r^{2}}{R_{E}^{2}} - \frac{r^{3}}{R_{E}^{3}}$.

(D) ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2ax$ પરથી,જે $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = v^{2}$ અને $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
આને આલેખ સાથે સરખાવતા,$v^{2}$ વિરુદ્ધ $x$ રેખાનો ઢાળ $2a$ છે.
આલેખ પરથી,આપણે બે બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને ઢાળ $m$ ગણી શકીએ છીએ,ઉદાહરણ તરીકે,$(10, 40)$ અને $(20, 60)$:
$m = \frac{v_{2}^{2} - v_{1}^{2}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{60 - 40}{20 - 10} = \frac{20}{10} = 2 \text{ m/s}^{2}$.
કારણ કે ઢાળ $m = 2a$ છે,તેથી $2a = 2$.
આમ,પ્રવેગ $a = 1 \text{ m/s}^{2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $9 \, {MSD} = 10 \, {VSD}$.
કારણ કે $1 \, {MSD} = 1 \, {mm}$,તેથી $10 \, {VSD} = 9 \, {mm}$,એટલે કે $1 \, {VSD} = 0.9 \, {mm}$.
લીસ્ટ કાઉન્ટ $({LC})$ = $1 \, {MSD} - 1 \, {VSD} = 1 \, {mm} - 0.9 \, {mm} = 0.1 \, {mm} = 0.01 \, {cm}$.
અવલોકિત વ્યાસ = ${MSR} + ({VSR} \times {LC}) = 10 \, {mm} + (8 \times 0.1 \, {mm}) = 10.8 \, {mm} = 1.08 \, {cm}$.
ધન શૂન્ય ત્રુટિ = $0.04 \, {cm}$.
સુધારેલ વ્યાસ = $\text{અવલોકિત રીડિંગ} - \text{શૂન્ય ત્રુટિ} = 1.08 \, {cm} - 0.04 \, {cm} = 1.04 \, {cm}$.
ત્રિજ્યા = $\frac{\text{વ્યાસ}}{2} = \frac{1.04 \, {cm}}{2} = 0.52 \, {cm}$.
$10^{-2} \, {cm}$ માં દર્શાવતા: $0.52 \, {cm} = 52 \times 10^{-2} \, {cm}$.
આમ,જવાબ $52$ છે.

(D) આપેલ છે: $\gamma = 1.5$,$P_1 = 200 \, kPa = 2 \times 10^5 \, Pa$,$V_1 = 1200 \, cm^3 = 1.2 \times 10^{-3} \, m^3$,$V_2 = 300 \, cm^3 = 0.3 \times 10^{-3} \, m^3$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^{\gamma} = 200 \times (1200 / 300)^{1.5} = 200 \times (4)^{1.5} = 200 \times 8 = 1600 \, kPa = 16 \times 10^5 \, Pa$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_1 V_1 - P_2 V_2}{\gamma - 1}$ છે.
$W = \frac{(2 \times 10^5 \times 1.2 \times 10^{-3}) - (16 \times 10^5 \times 0.3 \times 10^{-3})}{1.5 - 1} = \frac{240 - 480}{0.5} = \frac{-240}{0.5} = -480 \, J$.
તેથી,કાર્યનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|W| = 480 \, J$ થાય.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{total} = \Delta K$
$W_{gravity} + W_{air\ friction} = K_f - K_i$
પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,એટલે કે $K_i = 0$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{gravity} = mgh$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (0.8 \sqrt{gh})^2$ છે.
$K_f = \frac{1}{2} m (0.64 gh) = 0.32 mgh$.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$mgh + W_{air\ friction} = 0.32 mgh - 0$
$W_{air\ friction} = 0.32 mgh - mgh = -0.68 mgh$.
આમ,હવાના ઘર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $-0.68 mgh$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં $\sin(2 \times 42^{\circ}) = \sin(84^{\circ})$ અને $\sin(2 \times 48^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(84^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 96^{\circ}) = \sin(96^{\circ})$,તેથી બંને અવધિ સમાન છે: $R_{1} = R_{2}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં $H$ એ $\sin^2 \theta$ ના સમપ્રમાણમાં છે,અને $\sin(48^{\circ}) > \sin(42^{\circ})$ હોવાથી,$H_{2} > H_{1}$ થાય,એટલે કે $H_{1} < H_{2}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $R_{1} = R_{2}$ અને $H_{1} < H_{2}$ છે.

(D) ધારો કે વેજનો પ્રવેગ $a_1$ છે અને વેજની સાપેક્ષમાં બ્લોકનો પ્રવેગ $a_2$ છે.
$M$ દળના વેજ માટે,સમક્ષિતિજ બળ એ બ્લોક દ્વારા વેજ પર લાગતા લંબબળ $N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક છે:
$N \sin 30^{\circ} = M a_1 = 16 a_1$
$N (0.5) = 16 a_1 \Rightarrow N = 32 a_1$
વેજની સાપેક્ષમાં $m$ દળના બ્લોક માટે,ઢાળને લંબ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$N = m g \cos 30^{\circ} - m a_1 \sin 30^{\circ}$
$32 a_1 = 8 g (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 a_1 (\frac{1}{2})$
$32 a_1 = 4 \sqrt{3} g - 4 a_1$
$36 a_1 = 4 \sqrt{3} g \Rightarrow a_1 = \frac{\sqrt{3}}{9} g$
હવે,બ્લોક માટે ઢાળની દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m g \sin 30^{\circ} + m a_1 \cos 30^{\circ} = m a_2$
$g \sin 30^{\circ} + a_1 \cos 30^{\circ} = a_2$
$a_2 = g (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{9} g) (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$a_2 = \frac{g}{2} + \frac{3g}{18} = \frac{g}{2} + \frac{g}{6} = \frac{3g + g}{6} = \frac{4g}{6} = \frac{2}{3} g$

(B) યંગ મોડ્યુલસ માટેનું સૂત્ર $Y = \frac{MgL^3}{4bd^3\delta}$ છે।
આંશિક ત્રુટિ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta M}{M} + \frac{3\Delta L}{L} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{3\Delta d}{d} + \frac{\Delta \delta}{\delta}$.
આપેલ મૂલ્યો:
$M = 2 \, kg = 2000 \, g$, $\Delta M = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$, $\Delta L = 1 \, mm$
$b = 4 \, cm = 40 \, mm$, $\Delta b = 0.1 \, mm$
$d = 0.4 \, cm = 4 \, mm$, $\Delta d = 0.01 \, mm$
$\delta = 5 \, mm$, $\Delta \delta = 0.01 \, mm$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{1}{2000} + 3 \times \frac{1}{1000} + \frac{0.1}{40} + 3 \times \frac{0.01}{4} + \frac{0.01}{5}$
$\frac{\Delta Y}{Y} = 0.0005 + 0.003 + 0.0025 + 0.0075 + 0.002 = 0.0155$.

(A) પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરે તે માટે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
પ્રથમ ઢાળ પર ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,ઢાળની નીચેની તરફ લાગતો ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ છે. પદાર્થ અચળ વેગથી ગતિ કરતો હોવાથી,લાગુ પાડેલું બળ $F$ આ ઘટકને સંતુલિત કરવું જોઈએ: $F = mg \sin \theta = 2\, N$.
બીજા ઢાળ પર નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,પદાર્થ ઢાળ પર નીચેની તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin \theta$ ઢાળની નીચેની તરફ લાગે છે. અચળ વેગ જાળવી રાખવા માટે,લાગુ પાડેલા બળ $F$ એ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે ઢાળની ઉપરની તરફ લાગવું જોઈએ: $F = -mg \sin \theta = -2\, N$.
આમ,અંતરના પ્રથમ અડધા ભાગ દરમિયાન બળ $+2\, N$ અને બીજા અડધા ભાગ દરમિયાન $-2\, N$ છે. સાચો આલેખ વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સ્થિતિ ઊર્જાના આલેખ પરથી,મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_{\max} = 10\, {J}$ છે અને કંપવિસ્તાર $A = 2\, {m}$ છે (કારણ કે સંતુલન સ્થાન $x = 2\, {m}$ પર છે અને મહત્તમ સ્થાનાંતર $4\, {m} - 2\, {m} = 2\, {m}$ છે).
સૂત્ર $U_{\max} = \frac{1}{2} k A^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$10 = \frac{1}{2} k (2)^2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $10 = 2k$,તેથી સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 5\, {N/m}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T_{\text{spring}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{5}{5}} = 2\pi\, {s}$ છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T_{\text{pendulum}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
$T_{\text{spring}} = T_{\text{pendulum}}$ આપેલ હોવાથી,$2\pi \sqrt{\frac{5}{5}} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$ ને સરખાવતા.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \frac{4}{g}$ મળે,જે પરથી $g = 4\, {m/s^2}$ થાય.

(A) $M$ દળ ધરાવતા એક કણને ધ્યાનમાં લો. અન્ય ત્રણ કણોને કારણે તેના પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. બે બળો $F = \frac{GM^2}{(\sqrt{2}R)^2}$ જે ચોરસની બાજુઓ પર ($90^\circ$ ના ખૂણે) લાગે છે.
$2$. એક બળ $F_1 = \frac{GM^2}{(2R)^2}$ જે વિકર્ણ પર લાગે છે.
વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું કુલ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2} + F_1 = \sqrt{2}F + F_1$
$F_{\text{net}} = \sqrt{2} \left( \frac{GM^2}{2R^2} \right) + \frac{GM^2}{4R^2} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{4} \right) = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
આ કુલ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_{\text{net}} = \frac{MV^2}{R}$
$\frac{MV^2}{R} = \frac{GM^2}{R^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V^2 = \frac{GM}{R} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{4} \right)$
$V = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}(2\sqrt{2} + 1)}$

(A) વાયુનું દબાણ અચળ રહેતું હોવાથી,આ પ્રક્રિયા સમદાબી (isobaric) પ્રક્રિયા છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે જ્યાં અણુઓ પરિભ્રમણ કરે છે પણ દોલન કરતા નથી,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2} R \right) \Delta T = \frac{5}{2} n R \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમદાબી પ્રક્રિયામાં વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર અને થયેલા કાર્યનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta U}{W} = \frac{\frac{5}{2} n R \Delta T}{n R \Delta T} = \frac{5}{2} = 2.5$ થાય છે.
આપેલ છે કે આ ગુણોત્તર $\frac{x}{10}$ છે,તેથી $\frac{x}{10} = 2.5$.
આમ,$x = 2.5 \times 10 = 25$.

(A) આપેલ છે:
$T_1 = 1\, h$,$T_2 = 8\, h$
$R_1 = 2 \times 10^3\, km$
કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1} = 2\pi\, rad/h$ અને $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2} = \frac{\pi}{4}\, rad/h$ છે.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$\frac{R_2^3}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{T_1^2} \Rightarrow \frac{R_2}{R_1} = (\frac{8}{1})^{2/3} = 4$.
તેથી,$R_2 = 4 \times R_1 = 8 \times 10^3\, km$.
રેખીય વેગ $v_1 = \omega_1 R_1 = 2\pi \times 2 \times 10^3 = 4\pi \times 10^3\, km/h$ અને $v_2 = \omega_2 R_2 = \frac{\pi}{4} \times 8 \times 10^3 = 2\pi \times 10^3\, km/h$ છે.
જ્યારે ઉપગ્રહો સૌથી નજીક હોય,ત્યારે નજીકના ઉપગ્રહ પરથી અવલોકન કરતા સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_{rel} = \frac{v_1 - v_2}{R_2 - R_1}$ દ્વારા મળે છે.
$\omega_{rel} = \frac{4\pi \times 10^3 - 2\pi \times 10^3}{8 \times 10^3 - 2 \times 10^3} = \frac{2\pi \times 10^3}{6 \times 10^3} = \frac{\pi}{3}\, rad/h$.
આને $\frac{\pi}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) લીસા ઢળતા સમતલ માટે:
પ્રવેગ $a_1 = g \sin 30^{\circ} = \frac{g}{2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$:
$S = \frac{1}{2} \left(\frac{g}{2}\right) T^2 = \frac{g T^2}{4} \quad \dots (i)$
ખરબચડા ઢળતા સમતલ માટે:
પ્રવેગ $a_2 = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = g(\sin 30^{\circ} - \mu \cos 30^{\circ}) = g\left(\frac{1}{2} - \mu \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)$ છે.
તે જ અંતર $S$ અને સમય $\alpha T$ માટે:
$S = \frac{1}{2} \left[\frac{g}{2}(1 - \sqrt{3}\mu)\right] (\alpha T)^2 = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2 \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{g T^2}{4} = \frac{g}{4}(1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2 T^2$
$1 = (1 - \sqrt{3}\mu) \alpha^2$
$\frac{1}{\alpha^2} = 1 - \sqrt{3}\mu$
$\sqrt{3}\mu = 1 - \frac{1}{\alpha^2} = \frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}$
$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{\alpha^2 - 1}{\alpha^2}\right)$
આપેલ પદ $\frac{1}{\sqrt{x}}\left(\frac{\alpha^{2}-1}{\alpha^{2}}\right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
$V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K.E. = eV$ છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
બંને ઊર્જાઓને સરખાવતા:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1$
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 0.16 \times 10^{-19}$
$T = \frac{0.16 \times 10^{-19}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 772.9 \ K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 772.9 - 273 = 499.9 \approx 500^{\circ}C$.

(A) જ્યારે ગરમ કરવાને કારણે સળિયાને વિસ્તરતા અટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમાં થર્મલ સ્ટ્રેસ (ઉષ્મીય પ્રતિબળ) ઉત્પન્ન થાય છે.
ઉષ્મીય બળ $F$ નું સૂત્ર: $F = Y A \alpha \Delta T$ છે.
અહીં,$Y = 2.0 \times 10^{11} \, N/m^2$,$A = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-3} \, m^2$,$\alpha = 10^{-5} \, ^\circ C^{-1}$,અને $\Delta T = 400^\circ C - 0^\circ C = 400^\circ C$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$F = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-3}) \times (10^{-5}) \times (400)$
$F = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 400$
$F = 2.0 \times 10^3 \times 400$
$F = 800 \times 10^3 \, N = 8 \times 10^5 \, N$.
આને $x \times 10^5 \, N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(A) સળિયો શરૂઆતમાં શિરોલંબ સ્થિતિમાં છે. જ્યારે તે ઉપરની સ્થિતિમાંથી સૌથી નીચી સ્થિતિમાં પડે છે,ત્યારે સળિયાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $h = \frac{\ell}{2}$ જેટલી ઊંચાઈ નીચે ઉતરે છે,જ્યાં $\ell = 0.6 \, m$ એ સળિયાની લંબાઈ છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ ચાકગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$mg \ell = \frac{1}{2} I \omega^2$
સળિયો તેના છેડાની આસપાસ ફરે છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} m \ell^2$ છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$mg \ell = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} m \ell^2 \right) \omega^2$
$2g \ell = \frac{1}{3} \ell^2 \omega^2 \Rightarrow \omega^2 = \frac{6g}{\ell}$
મુક્ત છેડાની રેખીય ઝડપ $v = \omega \ell$ દ્વારા મળે છે:
$v = \omega \ell = \sqrt{6g \ell} = \sqrt{6 \times 10 \times 0.6} = \sqrt{36} = 6 \, ms^{-1}$.

(A) સિસ્ટમની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $m = 40,000\, \text{kg}$ અને $v = 72\, \text{km/h} = 20\, \text{m/s}$ છે.
$K_i = \frac{1}{2} \times 40,000 \times (20)^2 = 80,00,000\, \text{J} = 80 \times 10^5\, \text{J}$.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ,કુલ કાર્ય એ ગતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{\text{friction}} + W_{\text{spring}} = K_f - K_i$.
આપેલ છે કે ઘર્ષણને કારણે $90\%$ ઉર્જાનો વ્યય થાય છે,તેથી $W_{\text{friction}} = -0.9 K_i$.
સિસ્ટમ સ્થિર થાય છે,તેથી $K_f = 0$. આમ,$-0.9 K_i + W_{\text{spring}} = -K_i$.
$W_{\text{spring}} = -0.1 K_i$.
સ્પ્રિંગ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{spring}} = -\frac{1}{2}kx^2$ છે,જ્યાં $x = 1.0\, \text{m}$ છે.
$-\frac{1}{2}k(1)^2 = -0.1 \times (80 \times 10^5)$.
$\frac{1}{2}k = 8 \times 10^5$.
$k = 16 \times 10^5\, \text{N/m}$.
તેથી,સ્પ્રિંગ અચળાંક $16 \times 10^5\, \text{N/m}$ છે.

(A) આપેલ સંબંધ $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ છે.
અદિશ અને સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા: $AB \cos \theta = AB \sin \theta$.
બંને બાજુ $AB$ વડે ભાગતા ($A, B \neq 0$ ધારીને),આપણને $\cos \theta = \sin \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 1$,તેથી $\theta = 45^{\circ}$.
સદિશ તફાવતનું માન $|\vec{A} - \vec{B}|$ એ સૂત્ર $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cos 45^{\circ}}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી પદ $\sqrt{A^{2} + B^{2} - 2AB \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{A^{2} + B^{2} - \sqrt{2}AB}$ બને છે.

(D) મુસાફરનું વજન $W = mg_{eff}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ અવકાશયાનમાં વ્યક્તિ દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
જેમ જેમ અવકાશયાન પૃથ્વીથી મંગળ તરફ જાય છે,તેમ તે એક તટસ્થ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે જ્યાં પૃથ્વી અને મંગળનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એકબીજાને રદ કરે છે,જેનાથી અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = 0$ થાય છે.
આ તટસ્થ બિંદુ પર,મુસાફરનું વજન $W = 100\, {kg} \times 0\, {m/s^2} = 0\, {N}$ થાય છે.
આપેલ વક્રોને જોતા,માત્ર વક્ર $(d)$ પૃથ્વી અને મંગળની વચ્ચે કોઈ બિંદુએ સમયની ધરીને (જ્યાં વજન $0\, {N}$ છે) સ્પર્શે છે.
તેથી,વક્ર $(d)$ એ સમયના વિધેય તરીકે મુસાફરના વજનનું સાચું નિરૂપણ છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં કોઈ કાર્ય થતું નથી, તેથી $\Delta W = 0$.
તેથી, આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી છે: $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$.
સખત દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
અહીં $n = 4 \, \text{mole}$ અને $\Delta T = 50^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 50 \, \text{K}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 4 \times \frac{5}{2} R \times 50 = 10 \times 50 \, R = 500 \, R$.

(A) ધારો કે પૂર્વ દિશા $\hat{i}$ અક્ષ પર છે અને ઉત્તર દિશા $\hat{j}$ અક્ષ પર છે.
હવાની સાપેક્ષમાં પતંગિયાનો વેગ $\vec{V}_{BA} = 4\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 4\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 4\hat{i} + 4\hat{j} \, m/s$ છે.
પવનનો વેગ $\vec{V}_W = -1\hat{j} \, m/s$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં પતંગિયાનો પરિણામી વેગ $\vec{V}_B = \vec{V}_{BA} + \vec{V}_W = (4\hat{i} + 4\hat{j}) + (-1\hat{j}) = 4\hat{i} + 3\hat{j} \, m/s$ છે.
$t = 3 \, s$ માં પતંગિયાનું સ્થાનાંતર $\vec{S} = \vec{V}_B \times t = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 3 = 12\hat{i} + 9\hat{j} \, m$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{S}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, m$ થાય.

(D) લોગરીધમિક વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ,તેથી $\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
આપેલ છે કે $S = \frac{dQ}{T}$,તેથી એન્ટ્રોપી $S$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ છે.
વાયુ અચળાંક $R$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}]$ છે અને બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k$ ના પરિમાણો $[M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ છે.
$\frac{\mu k R}{J \beta^{2}}$ પરિમાણરહિત હોવાથી,$[\beta^{2}] = \frac{[\mu][k][R]}{[J]}$.
$J$ (ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક) એ એકમ રૂપાંતરણ અચળાંક હોવાથી તે પરિમાણરહિત છે. તેથી,$[\beta^{2}] = [mol] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1}] \cdot [M L^{2} T^{-2} K^{-1} mol^{-1}] = [M^{2} L^{4} T^{-4} K^{-2}]$.
તેથી,$[\beta] = [M L^{2} T^{-2} K^{-1}]$,જે $S, k$ અને $\mu R$ ના પરિમાણો સમાન છે.
$S = \alpha^{2} \beta$ પરથી,$S$ અને $\beta$ ના પરિમાણો સમાન હોવાથી,$\alpha^{2}$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,એટલે કે $\alpha$ પરિમાણરહિત છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $S, \beta, k, \mu R$ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે: સાચું.
$(B)$ $\alpha$ અને $J$ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે: સાચું (બંને પરિમાણરહિત છે).
$(C)$ $S$ અને $\alpha$ અલગ પરિમાણ ધરાવે છે: સાચું.
$(D)$ $\alpha$ અને $k$ સમાન પરિમાણ ધરાવે છે: ખોટું,કારણ કે $\alpha$ પરિમાણરહિત છે અને $k$ પરિમાણ ધરાવે છે. તેથી,$(D)$ ખોટો વિકલ્પ છે.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = M_{\text{block}} + 3 \times M_{\text{cylinder}} = 10\, \text{kg} + 3 \times 20\, \text{kg} = 70\, \text{kg}$ છે.
આખા તંત્ર માટે શિરોલંબ દિશામાં ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$Mg - R = Ma$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$70 \times 10 - R = 70 \times 0.2$
$700 - R = 14$
$R = 700 - 14 = 686\, \text{N}$.
આમ,ભોંયતળિયા દ્વારા લાગતું લંબબળ $686\, \text{N}$ છે.

(D) મહત્તમ ઝડપ $V_{\max}$ પર,ઘર્ષણ બળ $f$ ઢાળની નીચેની દિશામાં લાગે છે અને તે સીમાંત ઘર્ષણ હોય છે,તેથી $f = \mu N$.
ઉર્ધ્વ દિશામાં બળોનું સંતુલન લેતા:
$N \cos 30^{\circ} - mg - f \sin 30^{\circ} = 0$
$f = \mu N$ મૂકતા:
$N \cos 30^{\circ} - mg - \mu N \sin 30^{\circ} = 0$
$N (\cos 30^{\circ} - \mu \sin 30^{\circ}) = mg$
અહીં $m = 800 \, kg$,$g = 10 \, m/s^{2}$,$\cos 30^{\circ} = 0.87$,$\sin 30^{\circ} = 0.5$,અને $\mu = 0.2$ છે:
$N (0.87 - 0.2 \times 0.5) = 800 \times 10$
$N (0.87 - 0.1) = 8000$
$N (0.77) = 8000$
$N = \frac{8000}{0.77} \approx 10389.6 \, N \approx 10.4 \times 10^{3} \, N$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનું મૂલ્ય $10.2 \times 10^{3} \, N$ છે.

(D) વાયુના અણુની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{\text{rms}})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
મિશ્રણમાં રહેલા તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ થાય.
આપેલ દળ $m_{A} < m_{B} < m_{C}$ હોવાથી,તે મુજબ $v_{A} > v_{B} > v_{C}$ મળે.
આ ઝડપનો વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{v_{A}} < \frac{1}{v_{B}} < \frac{1}{v_{C}}$.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સ્પ્રિંગ ગનમાંથી બહાર નીકળતી વખતે દડાનો વેગ $v$ શોધો:
$\frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં $k = 100\, \text{N/m}$,$x = 0.05\, \text{m}$,અને $m = 100\, \text{g} = 0.1\, \text{kg}$ છે.
$100 \times (0.05)^2 = 0.1 \times v^2$
$100 \times 0.0025 = 0.1 \times v^2$
$0.25 = 0.1 \times v^2$
$v^2 = 2.5$
$v = \sqrt{2.5}\, \text{m/s}$.
$2$. ત્યારબાદ,આડી પ્રક્ષિપ્ત ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને $2\, \text{m}$ ઊંચાઈએથી જમીન પર પહોંચવા માટે દડાને લાગતો સમય $t$ શોધો:
$h = \frac{1}{2} g t^2$
$2 = \frac{1}{2} \times 10 \times t^2$
$2 = 5 t^2$
$t^2 = 0.4$
$t = \sqrt{0.4}\, \text{s}$.
$3$. અંતે,આડું અંતર $d$ શોધો:
$d = v \times t$
$d = \sqrt{2.5} \times \sqrt{0.4}$
$d = \sqrt{2.5 \times 0.4}$
$d = \sqrt{1} = 1\, \text{m}$.
આમ,$d$ નું મૂલ્ય $1\, \text{m}$ છે.

(B) ધારો કે અથડામણ પછી સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v$ છે અને સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગ $\omega$ છે.
$1$. રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$mu = Mv \implies v = \frac{mu}{M} \quad \dots(i)$
$2$. સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$mu \left(\frac{L}{2}\right) = I \omega = \left(\frac{ML^2}{12}\right) \omega$
$\implies \omega = \frac{6mu}{ML} \quad \dots(ii)$
$3$. સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $(e=1)$:
$e = \frac{\text{અલગ થવાનો વેગ}}{\text{અભિગમનો વેગ}} = 1$
$1 = \frac{v + \omega(L/2)}{u}$
$u = v + \frac{\omega L}{2} \quad \dots(iii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$u = \frac{mu}{M} + \left(\frac{6mu}{ML}\right) \left(\frac{L}{2}\right)$
$u = \frac{mu}{M} + \frac{3mu}{M} = \frac{4mu}{M}$
$1 = \frac{4m}{M} \implies \frac{m}{M} = \frac{1}{4}$
$\frac{m}{M} = \frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 4$ મળે છે.

(B) ધારો કે $f_0 = 400\, Hz$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$f_2 = 500\, Hz$ એ ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી પરાવર્તિત આવૃત્તિ છે,$C = 330\, m/s$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V$ એ કારની ઝડપ છે.
પ્રથમ,દીવાલ એક અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે જે ગતિમાન કારમાંથી આવતો અવાજ મેળવે છે:
$f_1 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right)$
ત્યારબાદ,દીવાલ એક સ્થિર ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે જે અવાજને ડ્રાઈવર (અવલોકનકાર) તરફ પાછો પરાવર્તિત કરે છે જે દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહ્યો છે:
$f_2 = f_1 \left( \frac{C + V}{C} \right)$
$f_1$ ની કિંમત $f_2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$f_2 = f_0 \left( \frac{C}{C - V} \right) \left( \frac{C + V}{C} \right) = f_0 \left( \frac{C + V}{C - V} \right)$
આપેલ છે કે $f_2 = 500\, Hz$ અને $f_0 = 400\, Hz$:
$500 = 400 \left( \frac{330 + V}{330 - V} \right)$
$\frac{5}{4} = \frac{330 + V}{330 - V}$
$5(330 - V) = 4(330 + V)$
$1650 - 5V = 1320 + 4V$
$9V = 330$
$V = \frac{330}{9} = \frac{110}{3}\, m/s$
ઝડપને $km/h$ માં ફેરવતા:
$V = \frac{110}{3} \times \frac{18}{5} = 22 \times 6 = 132\, km/h$.

(D) જો તકતી ઢળતા સમતલ પર સરકે,તો તેનો પ્રવેગ $a_{1} = g \sin \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $L = \frac{1}{2} a_{1} t_{1}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_{1} = \sqrt{\frac{2L}{a_{1}}} \quad \dots (i)$ મળે છે.
જો તકતી ઢળતા સમતલ પર ગબડે,તો તેનો પ્રવેગ $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^{2}}}$ છે.
વર્તુળાકાર તકતી માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^{2}$ છે,તેથી $a_{2} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $L = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $t_{2} = \sqrt{\frac{2L}{a_{2}}} \quad \dots (ii)$ મળે છે.
ગુણોત્તર લેતા $\frac{t_{2}}{t_{1}} = \sqrt{\frac{a_{1}}{a_{2}}} = \sqrt{\frac{g \sin \theta}{\frac{2}{3} g \sin \theta}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ મળે છે.
આને $\sqrt{\frac{3}{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) ધન $x$-દિશામાં પ્રસરતા અને આકાર ન બદલાતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $y(x, t) = f(x - vt)$ છે,જ્યાં $v$ એ તરંગનો વેગ છે.
$t=0$ સમયે,સમીકરણ $y = f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ છે.
$t=1 \text{ s}$ સમયે,સમીકરણ $y = f(x - v(1)) = \frac{1}{1+(x-v)^2}$ થાય.
આપણને આપેલ છે કે $t=1 \text{ s}$ સમયે,સમીકરણ $y = \frac{1}{1+(x-2)^2}$ છે.
$t=1 \text{ s}$ માટે બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $x - v = x - 2$ મળે છે.
તેથી,$v = 2 \text{ m/s}$.

(C) પૂર્ણ ચક્રીય પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = 0$ છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $\Delta U = 0$,શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q$ એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય $W$ જેટલી છે.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $W$ એ $P-V$ આલેખ દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi \cdot r_P \cdot r_V$ છે,જ્યાં $r_P$ એ દબાણ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે અને $r_V$ એ કદ અક્ષ પરની ત્રિજ્યા છે.
આકૃતિ પરથી,દબાણ અક્ષ પરનો વ્યાસ $40 \text{ kPa} - 20 \text{ kPa} = 20 \text{ kPa}$ છે,તેથી $r_P = 10 \text{ kPa} = 10 \times 10^3 \text{ Pa}$.
કદ અક્ષ પરનો વ્યાસ $40 \text{ L} - 20 \text{ L} = 20 \text{ L}$ છે,તેથી $r_V = 10 \text{ L} = 10 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
તેથી,$\Delta Q = W = \pi \times (10 \times 10^3 \text{ Pa}) \times (10 \times 10^{-3} \text{ m}^3) = 100 \pi \text{ J}$.
આમ,જવાબ $100$ છે.

(B) ધારો કે $K_r$ એ ચાકગતિ ઉર્જા છે અને $K_t$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા છે.
આપેલ છે કે $K_r = 0.5 K_t$,જ્યાં $K_r = \frac{1}{2} I \omega^2$ અને $K_t = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
પદાર્થ સરક્યા વગર ગબડતો હોવાથી,$v = \omega R$,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$ થાય.
આ કિંમત ચાકગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K_r = \frac{1}{2} I (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{1}{2} (\frac{I}{R^2}) v^2 = 0.5 \times (\frac{1}{2} m v^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{I}{R^2} = 0.5 m$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $I = 0.5 m R^2 = \frac{1}{2} m R^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} m R^2$ એ નક્કર નળાકાર અથવા તકતી માટે હોય છે.

(A) દ્વિ-તારા પ્રણાલીમાં,બંને તારાઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (center of mass) ની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.
પ્રણાલી સ્થિર રહે તે માટે,બંને તારાઓએ દરેક સમયે સમાન કોણીય વેગ $\omega$ જાળવી રાખવો પડે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે,તેથી જો $\omega_{A} = \omega_{B}$ હોય,તો $T_{A} = T_{B}$ થાય.
આમ,બંને તારાઓ સમાન સમયમાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.

(A) ધારો કે દળનું પરિમાણ $m = k \cdot t^a \cdot u^b \cdot I^c$ છે,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
દરેક ભૌતિક રાશિના પરિમાણો મૂકતા:
$[M^1 L^0 T^0] = [T]^a [L T^{-1}]^b [M L^2 T^{-1}]^c$
$[M^1 L^0 T^0] = [M^c] [L^{b+2c}] [T^{a-b-c}]$
બંને બાજુ $M$,$L$,અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $c = 1$
$L$ માટે: $b + 2c = 0 \implies b + 2(1) = 0 \implies b = -2$
$T$ માટે: $a - b - c = 0 \implies a - (-2) - 1 = 0 \implies a + 1 = 0 \implies a = -1$
તેથી,દળનું પરિમાણ $[t^{-1} u^{-2} I^1]$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 4K_1$ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{P^2}{2m}$ હોવાથી,જ્યાં $P$ વેગમાન છે અને $m$ દળ છે,તેથી $P = \sqrt{2mK}$ મળે.
તેથી,અંતિમ વેગમાન $P_2$ અને પ્રારંભિક વેગમાન $P_1$ નો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{\frac{4K_1}{K_1}} = \sqrt{4} = 2$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $P_2 = 2P_1$.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P_2 - P_1}{P_1} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{2P_1 - P_1}{P_1} \times 100 = \frac{P_1}{P_1} \times 100 = 100\%$ મળે છે.

(B) ઝેનર ડાયોડનું પાવર રેટિંગ $P_z = 2 \, W$ છે અને તેનો બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_z = 10 \, V$ છે。
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહી શકતો મહત્તમ પ્રવાહ $I_{z,max} = \frac{P_z}{V_z} = \frac{2 \, W}{10 \, V} = 0.2 \, A$ છે。
સુરક્ષિત કામગીરી સુનિશ્ચિત કરવા માટે, ઝેનર ડાયોડે તેના પાવર રેટિંગને ઓળંગ્યા વિના મહત્તમ ઇનપુટ વોલ્ટેજ $V_{in,max} = 14 \, V$ ને હેન્ડલ કરવું આવશ્યક છે。
જ્યારે $V_{in} = 14 \, V$ હોય, ત્યારે શ્રેણી અવરોધ $R_s$ માં વોલ્ટેજ ડ્રોપ $\Delta V_{Rs} = V_{in,max} - V_z = 14 \, V - 10 \, V = 4 \, V$ થાય છે。
જો લોડ પ્રવાહ નગણ્ય હોય (અથવા જ્યારે કોઈ લોડ જોડાયેલ ન હોય ત્યારે ઝેનરે સંપૂર્ણ પ્રવાહ હેન્ડલ કરવો પડે), તો $R_s$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I = I_{z,max} = 0.2 \, A$ છે。
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, $R_s = \frac{\Delta V_{Rs}}{I} = \frac{4 \, V}{0.2 \, A} = 20 \, \Omega$ મળે છે。

(B) $AC$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક સર્કિટ ($RL$ સર્કિટ) માટે:
$Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} = \sqrt{R^2 + (3R)^2} = \sqrt{R^2 + 9R^2} = \sqrt{10R^2} = R\sqrt{10}$.
જૂનો પાવર ફેક્ટર,$\cos \phi = \frac{R}{R\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
નવી સર્કિટ ($RLC$ સર્કિટ) માટે:
$Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (3R - 2R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.
નવો પાવર ફેક્ટર,$\cos \phi' = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
નવા પાવર ફેક્ટર અને જૂના પાવર ફેક્ટરનો ગુણોત્તર:
$\frac{\cos \phi'}{\cos \phi} = \frac{1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5}}{1}$.
આને $\sqrt{5} : x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(B) કિસ્સો $1$: સ્વિચ $S$ ખુલ્લી છે.
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓનો બનેલો છે. ઉપરની શાખામાં $R$ અને $2R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $2R$ અને $R$ અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ = $R + 2R = 3R$.
નીચેની શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ = $2R + R = 3R$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,$R_{eq, open} = \frac{3R \times 3R}{3R + 3R} = \frac{9R^2}{6R} = \frac{3R}{2}$.
કિસ્સો $2$: સ્વિચ $S$ બંધ છે.
પરિપથને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સમાંતર જોડાણો તરીકે જોઈ શકાય છે. ડાબી બાજુએ $R$ અને $2R$ સમાંતરમાં છે,અને જમણી બાજુએ $2R$ અને $R$ સમાંતરમાં છે.
ડાબા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ = $\frac{R \times 2R}{R + 2R} = \frac{2R}{3}$.
જમણા ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ = $\frac{2R \times R}{2R + R} = \frac{2R}{3}$.
આ બે ભાગો શ્રેણીમાં હોવાથી,$R_{eq, closed} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
ગુણોત્તર = $\frac{R_{eq, open}}{R_{eq, closed}} = \frac{3R/2}{4R/3} = \frac{3R}{2} \times \frac{3}{4R} = \frac{9}{8}$.
આપેલ ગુણોત્તર $x : 8$ હોવાથી,તેથી $x = 9$.

(B) મુક્ત અવકાશમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ $B = \frac{E}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
અહીં $E = 6 \text{ V/m}$ અને $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{6}{3 \times 10^{8}} \text{ T}$
$B = 2 \times 10^{-8} \text{ T}$
આને આપેલ સમીકરણ $x \times 10^{-8} \text{ T}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં એક $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NAND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
$OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $A + B$ છે.
આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે:
$Y = \overline{(A \cdot B) \cdot (A + B)}$
હવે,દરેક ઇનપુટ ક્રમ $(A, B)$ માટે $Y$ ની ગણતરી કરીએ:
$1$. $(0,0)$ માટે: $Y = \overline{(0 \cdot 0) \cdot (0 + 0)} = \overline{0 \cdot 0} = \overline{0} = 1$
$2$. $(0,1)$ માટે: $Y = \overline{(0 \cdot 1) \cdot (0 + 1)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$3$. $(1,0)$ માટે: $Y = \overline{(1 \cdot 0) \cdot (1 + 0)} = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$
$4$. $(1,1)$ માટે: $Y = \overline{(1 \cdot 1) \cdot (1 + 1)} = \overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$
આમ,આઉટપુટ $Y$ નો ક્રમ $1, 1, 1, 0$ છે.

(B) ધારો કે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ એ $-5\, \mu C$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે,$20\, \mu C$ વિદ્યુતભારની વિરુદ્ધ દિશામાં મૂકવામાં આવે છે.
કુલ વિદ્યુત બળ શૂન્ય થવા માટે,તે બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$20\, \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $(5+x)$ અંતરે અને $-5\, \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે $x$ અંતરે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
$\frac{k(20\, \mu C)}{(5+x)^2} = \frac{k(5\, \mu C)}{x^2}$
$\frac{20}{(5+x)^2} = \frac{5}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{\sqrt{20}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$\frac{2\sqrt{5}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$2x = 5+x$
$x = 5\, cm$
આમ,આ બિંદુ $-5\, \mu C$ વિદ્યુતભારથી જમણી બાજુએ $5\, cm$ અંતરે આવેલું છે.

(C) અંતર્ગોળ લેન્સ માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f_{lens} = -f$ થાય.
વસ્તુને મુખ્ય કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવી છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = -f$ થાય.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f_{lens}}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{-f} = \frac{1}{-f}$
$\frac{1}{v} + \frac{1}{f} = -\frac{1}{f}$
$\frac{1}{v} = -\frac{1}{f} - \frac{1}{f} = -\frac{2}{f}$
$v = -\frac{f}{2}$
લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી પ્રતિબિંબનું અંતર $|v| = \frac{f}{2}$ થાય.
મોટવણી $m$ નું સૂત્ર $m = \frac{v}{u}$ છે.
$m = \frac{-f/2}{-f} = \frac{1}{2}$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયા $A \longrightarrow B \longrightarrow C \text{ (સ્થિર)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$t=0$ સમયે,$B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $0$ છે. જેમ $A$ નું વિઘટન થાય છે,તેમ $B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા વધવા લાગે છે.
$B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યામાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dN_B}{dt} = \lambda_A N_A - \lambda_B N_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$\frac{dN_B}{dt} > 0$ હોવાથી,$B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા વધે છે. તે મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે જ્યારે $B$ બનવાનો દર $B$ ના ક્ષયના દર જેટલો થાય (એટલે કે $\lambda_A N_A = \lambda_B N_B$).
આ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચ્યા પછી,$A$ માંથી મળતો જથ્થો ઘટતા $B$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા ઘટવા લાગે છે. વૃદ્ધિ અને ક્ષય બંને ઘાતાંકીય વિધેયો હોવાથી,આલેખ મહત્તમ સુધી સરળ વધારો અને ત્યારબાદ ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવશે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$981-b1026$ માં આપેલો આલેખ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(A) એકમ ત્રિજ્યા દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{b-a}$ છે.
$x$ ત્રિજ્યા અને $dx$ પહોળાઈ ધરાવતી એક નાની તત્વરૂપ રીંગ ધ્યાનમાં લો. આ તત્વમાં આંટાની સંખ્યા $dN = n \cdot dx = \frac{N}{b-a} dx$ છે.
આ તત્વરૂપ રીંગને કારણે કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $dB = \frac{\mu_{0} (dN) I}{2x} = \frac{\mu_{0} I}{2x} \left( \frac{N}{b-a} \right) dx$ છે.
$x = a$ થી $x = b$ સુધી સંકલન કરતા:
$B = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \frac{dx}{x} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} [\ln x]_{a}^{b} = \frac{\mu_{0} I N}{2(b-a)} \ln \left( \frac{b}{a} \right)$.

(A) બાજુવાળા ચોરસ લૂપ દ્વારા કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ચાર બાજુઓ દ્વારા ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે.
એક બાજુ માટે,કેન્દ્ર પરનું ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi (b/2)} (\sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ}) = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi b} (2 \times \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ છે.
ચાર બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \times B_{1} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b}$ છે.
$b \gg a$ હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે ચુંબકીય ક્ષેત્ર નાના લૂપના ક્ષેત્રફળ પર સમાન છે.
નાના લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ જેનું ક્ષેત્રફળ $A = a^{2}$ છે,તે $\phi = B \times A = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} I}{\pi b} \times a^{2}$ છે.
મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સનો ગુણાંક $M$ એ $M = \frac{\phi}{I} = \frac{4 \sqrt{2} \mu_{0} a^{2}}{\pi b}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે મેળવવા માટે,આપણે $4$ વડે ગુણીએ અને ભાગીએ છીએ:
$M = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{8 \sqrt{2} a^{2}}{b}$.

(A) આ પરિપથમાં $AC$ સ્ત્રોત $V_i = 10 \sin \omega t$,એક આદર્શ ડાયોડ $D$,એક અવરોધ $R$,અને શ્રેણીમાં $3 \ V$ ની $DC$ બેટરી છે.
ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ થાય તે માટે,એનોડ પરનો પોટેન્શિયલ કેથોડ પરના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
કેથોડ $3 \ V$ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
તેથી,ડાયોડ ફક્ત ત્યારે જ વહન કરે છે જ્યારે $V_i > 3 \ V$ હોય.
જ્યારે $V_i > 3 \ V$ હોય,ત્યારે ડાયોડ શોર્ટ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે (આદર્શ ડાયોડ). અવરોધ $R$ ની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_R = V_i - 3 \ V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $V_i \leq 3 \ V$ હોય,ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ-બાયસ્ડ હોય છે અને ઓપન સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે. અવરોધ $R$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી $V_R = 0 \ V$ થાય છે.
આમ,$R$ ની આસપાસનું તરંગરૂપ એક ક્લિપ કરેલ સાઈન વેવ હશે જે ફક્ત ત્યારે જ અસ્તિત્વમાં રહેશે જ્યારે $V_i > 3 \ V$ હોય,અને તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $10 - 3 = 7 \ V$ હશે.

(B) ધારો કે અરીસાઓ જ્યાં મળે છે તે ખૂણો ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે. બિંદુવત ઉદગમ $P$ નું સ્થાન $(a, 2a)$ છે.
અરીસા ${M}_{1}$ ($x=0$ પર) દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ ${I}_{1} = (-a, 2a)$ છે.
અરીસા ${M}_{2}$ ($y=0$ પર) દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ ${I}_{2} = (a, -2a)$ છે.
બંને અરીસાઓ દ્વારા રચાતું પ્રતિબિંબ (પરાવર્તનોનું છેદબિંદુ) ${I}_{3} = (-a, -2a)$ છે.
આપણે તમામ પ્રતિબિંબોની જોડીઓ વચ્ચેનું અંતર શોધવાની જરૂર છે:
$1$. ${I}_{1}$ અને ${I}_{2}$ વચ્ચેનું અંતર: $\sqrt{(a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{(2a)^2 + (-4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 16a^2} = \sqrt{20a^2} = 2\sqrt{5}a = 2 \times 2.3a = 4.6a$.
$2$. ${I}_{1}$ અને ${I}_{3}$ વચ્ચેનું અંતર: $\sqrt{(-a - (-a))^2 + (-2a - 2a)^2} = \sqrt{0 + (-4a)^2} = 4a$.
$3$. ${I}_{2}$ અને ${I}_{3}$ વચ્ચેનું અંતર: $\sqrt{(-a - a)^2 + (-2a - (-2a))^2} = \sqrt{(-2a)^2 + 0} = 2a$.
સૌથી લાંબુ અંતર $4.6a$ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{(X_{L} - X_{C})^{2} + R^{2}}$.
આપેલ છે કે $X_{L} = R$ અને $X_{C} = R$,તેથી $X_{L} = X_{C}$ થાય.
આ કિંમતોને ઇમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{(R - R)^{2} + R^{2}}$
$Z = \sqrt{0^{2} + R^{2}}$
$Z = \sqrt{R^{2}}$
$Z = R$.
તેથી,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $R$ છે.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,$\lambda_p = \lambda_e$,જેનો અર્થ છે કે તેમના વેગમાન સમાન છે: ${P}_p = {P}_e$.
ગતિઊર્જા અને વેગમાન વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
પ્રોટોન માટે: ${K}_p = \frac{{P}_p^2}{2{m}_p}$.
ઇલેક્ટ્રોન માટે: ${K}_e = \frac{{P}_e^2}{2{m}_e}$.
ત્યારબાદ ${P}_p = {P}_e$ હોવાથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{{K}_p}{{K}_e} = \frac{{m}_e}{{m}_p}$ થાય છે.
પ્રોટોનનું દળ ઇલેક્ટ્રોનના દળ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી $({m}_p > {m}_e)$,તેથી ${K}_p < {K}_e$ મળે છે.

(C) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $i$ છે.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_g = 0.02i$ છે.
તેથી,શંટ અવરોધ $S = 5\, \Omega$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_s = i - 0.02i = 0.98i$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_g R_g = I_s S$
$0.02i \times R_g = 0.98i \times 5$
$R_g = \frac{0.98 \times 5}{0.02}$
$R_g = 49 \times 5 = 245\, \Omega$.

(C) $LOS$ કોમ્યુનિકેશનની રેન્જ $d = \sqrt{2Rh_T} + \sqrt{2Rh_R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h_T$ અને $h_R$ અનુક્રમે ટ્રાન્સમિટિંગ અને રિસીવિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે.
આપેલ છે કે $h_T + h_R = 160 \, m$. ધારો કે $h_T = x$,તો $h_R = 160 - x$.
$d = \sqrt{2R}(\sqrt{h_T} + \sqrt{h_R}) = \sqrt{2R}(\sqrt{x} + \sqrt{160 - x})$.
$d$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x} + \sqrt{160 - x}) = 0$.
$\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{160 - x}} = 0 \implies \sqrt{x} = \sqrt{160 - x} \implies x = 80 \, m$.
આમ,$h_T = 80 \, m$ અને $h_R = 80 \, m$.
ઊંચાઈને $km$ માં ફેરવતા: $h_T = h_R = 0.08 \, km$.
$d_{max} = \sqrt{2 \times 6400 \times 0.08} + \sqrt{2 \times 6400 \times 0.08} = 2 \times \sqrt{12800 \times 0.08} = 2 \times \sqrt{1024} = 2 \times 32 = 64 \, km$.

(C) ચોરસ તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega + 3\, \Omega = 12\, \Omega$ છે.
જ્યારે આ તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિઘ $12\, \Omega$ ના અવરોધને અનુરૂપ થાય છે.
બે વ્યાસાંત બિંદુઓ માટે,વર્તુળને બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
દરેક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપનો અવરોધ $R' = \frac{12\, \Omega}{2} = 6\, \Omega$ છે.
આ બે $6\, \Omega$ ના અવરોધો વ્યાસાંત બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$R_{eq} = 3\, \Omega$ થાય.

(C) સૌ પ્રથમ, પરિપથને સરળ બનાવો. બે $4\, \Omega$ અવરોધોનું સમાંતર જોડાણ $2\, \Omega$ થાય છે. બે $8\, \Omega$ અવરોધોનું સમાંતર જોડાણ $4\, \Omega$ થાય છે. બે $12\, \Omega$ અવરોધોનું સમાંતર જોડાણ $6\, \Omega$ થાય છે.
ઉપરની શાખામાં શ્રેણીમાં અવરોધો છે: $2\, \Omega$ ($4\, \Omega || 4\, \Omega$ માંથી) + $2\, \Omega$ + $R_{p1}$ (જ્યાં $R_{p1} = 15\, \Omega || 10\, \Omega = 6\, \Omega$). ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_1 = 2 + 2 + 6 = 10\, \Omega$.
નીચેની શાખામાં શ્રેણીમાં અવરોધો છે: $4\, \Omega$ ($8\, \Omega || 8\, \Omega$ માંથી) + $6\, \Omega$ ($12\, \Omega || 12\, \Omega$ માંથી) = $10\, \Omega$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં છે, તેથી તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq_branches} = (10\, \Omega || 10\, \Omega) = 5\, \Omega$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = 5\, \Omega + 1\, \Omega$ (આંતરિક) $= 6\, \Omega$.
કુલ પ્રવાહ $I = V / R_{total} = 12\, V / 6\, \Omega = 2\, A$.
આ પ્રવાહ બે $10\, \Omega$ શાખાઓમાં સમાન રીતે વહેંચાય છે, તેથી ઉપરની શાખામાંથી $1\, A$ પ્રવાહ વહે છે.
$15\, \Omega || 10\, \Omega$ સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $V_{AB} = I_{upper} \times R_{p1} = 1\, A \times 6\, \Omega = 6\, V$ થાય.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_0 \sin \omega(t - x/c)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E_0 = 50 \, NC^{-1}$ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2$ છે.
$V$ કદમાં કુલ ઉર્જા $U = u \cdot V = \frac{1}{2} \epsilon_0 E_0^2 V$ છે.
આપેલ છે $U = 5.5 \times 10^{-12} \, J$ અને $\epsilon_0 = 8.8 \times 10^{-12} \, C^2 N^{-1} m^{-2}$,તેથી:
$5.5 \times 10^{-12} = \frac{1}{2} \times (8.8 \times 10^{-12}) \times (50)^2 \times V$.
$5.5 = 0.5 \times 8.8 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 4.4 \times 2500 \times V$.
$5.5 = 11000 \times V$.
$V = \frac{5.5}{11000} = 0.0005 \, m^3$.
$m^3$ ને $cm^3$ માં ફેરવતા:
$V = 0.0005 \times (100 \, cm)^3 = 0.0005 \times 10^6 \, cm^3 = 500 \, cm^3$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આ સર્કિટમાં $6 \, V$ ની બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા $2 \, k\Omega$ ના ત્રણ અવરોધ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega + 2 \, k\Omega = 6 \, k\Omega$ છે.
સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \, V}{6 \, k\Omega} = 1 \, mA$ છે.
કેપેસિટર સૌથી નીચેના $2 \, k\Omega$ ના અવરોધ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે.
આ અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c = I \times R = 1 \, mA \times 2 \, k\Omega = 2 \, V$ છે.
કેપેસિટર આ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $2 \, V$ થશે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q = 50 \,\mu {F} \times 2 \, V = 100 \,\mu {C}$.

(D) $L$ લંબાઈના સીધા તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,કેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુનું લંબ અંતર $r = \frac{L}{2 \sqrt{3}}$ છે,જ્યાં $L = 9 \, cm = 0.09 \, m$.
$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} = \frac{0.045}{\sqrt{3}} \, m$.
દરેક બાજુના છેડાઓ દ્વારા કેન્દ્ર પર બનતા ખૂણા $\theta_1 = \theta_2 = 60^{\circ}$ છે.
એક બાજુને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (2 \sin 60^{\circ}) = \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} (\sqrt{3})$ છે.
ત્રણ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 3 B_1 = 3 \times \frac{\mu_0 i}{4 \pi r} \sqrt{3}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu_0 = 4 \pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$,$i = 1.5 \, A$,$r = \frac{0.09}{2 \sqrt{3}} \, m$.
$B = 3 \times \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 1.5}{4 \pi \times (0.09 / 2 \sqrt{3})} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \sqrt{3}}{0.09} \times \sqrt{3} = 3 \times \frac{10^{-7} \times 1.5 \times 2 \times 3}{0.09} = 3 \times \frac{9 \times 10^{-7}}{0.09} = 3 \times 10^{-5} \, T$.
વિદ્યુતપ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં વહેતો હોવાથી,જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર ત્રિકોણના સમતલની અંદરની તરફ હશે.

(C) અથડામણ પહેલાં તંત્રની કુલ ઉર્જા એ મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા છે,કારણ કે અનંત અંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $0$ છે. કુલ ઉર્જા $E_i = 2.6 \, eV + 0 = 2.6 \, eV$ છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માં બને છે. હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી અવસ્થામાં ઉર્જા $E_n = -13.6/n^2 \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $n=2$ માટે,$E_f = -13.6/4 = -3.4 \, eV$ થાય.
ફોટોન તરીકે મુક્ત થતી ઉર્જા એ પ્રારંભિક અને અંતિમ કુલ ઉર્જાનો તફાવત છે: $\Delta E = E_i - E_f = 2.6 - (-3.4) = 6.0 \, eV$.
ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $\Delta E = 6.0 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J = 9.6 \times 10^{-19} \, J$.
સંબંધ $\Delta E = hf$ નો ઉપયોગ કરતા,આવૃત્તિ $f = \Delta E / h = (9.6 \times 10^{-19}) / (6.6 \times 10^{-34}) \approx 1.45 \times 10^{15} \, Hz$ મળે.
$1 \, MHz = 10^6 \, Hz$ હોવાથી,$MHz$ માં આવૃત્તિ $1.45 \times 10^{15} / 10^6 = 1.45 \times 10^9 \, MHz$ થાય.

(B) પરિપથ $(A)$ માટે:
${V}_{A} = 5\, V \Rightarrow A = 1$,${V}_{A} = 0\, V \Rightarrow A = 0$
${V}_{B} = 5\, V \Rightarrow B = 1$,${V}_{B} = 0\, V \Rightarrow B = 0$
જો $A = B = 0$ હોય,તો બંને ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 0\, V$.
જો $A = 1, B = 0$ હોય,તો ડાયોડ ${D}_{1}$ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 5\, V$.
જો $A = 0, B = 1$ હોય,તો ડાયોડ ${D}_{2}$ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 5\, V$.
જો $A = 1, B = 1$ હોય,તો બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,તેથી ${V}_{0} = 5\, V$.
આ ટ્રુથ ટેબલ $OR$ ગેટને અનુરૂપ છે.
પરિપથ $(B)$ માટે:
આ કોમન-એમિટર $npn$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર ગોઠવણી છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $0\, V$ $(A = 0)$ હોય,ત્યારે બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોતું નથી,ટ્રાન્ઝિસ્ટર કટ-ઓફમાં હોય છે અને ${V}_{0} = 5\, V$ (લોજિક $1$) મળે છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $5\, V$ $(A = 1)$ હોય,ત્યારે બેઝ-એમિટર જંકશન ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ટ્રાન્ઝિસ્ટર સેચ્યુરેશનમાં જાય છે અને ${V}_{0} \approx 0\, V$ (લોજિક $0$) મળે છે.
આ ઇન્વર્ઝન વર્તણૂક $NOT$ ગેટને અનુરૂપ છે.
તેથી,આ ગેટ $OR$ અને $NOT$ છે.

(C) હાઇઝનબર્ગના અનિશ્ચિતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}$.
કારણ કે $\Delta p = m \Delta v$,તેથી $\Delta x \propto \frac{1}{m \Delta v}$.
આદર્શ વાયુ માટે,સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$ છે,તેથી $\Delta v \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
આ કિંમત અનિશ્ચિતતાના સંબંધમાં મૂકતા: $\Delta x \propto \frac{1}{m \cdot (1/\sqrt{m})} = \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,સ્થાનમાં અનિશ્ચિતતાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta x_e}{\Delta x_p} = \frac{1/\sqrt{m_e}}{1/\sqrt{m_p}} = \sqrt{\frac{m_p}{m_e}}$ થાય છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(kz)$ છે.
$z = \pi/k$ પર વિદ્યુતભાર $q_1 = 4\pi$ માટે:
$\vec{B}_1 = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(k \cdot \frac{\pi}{k}) = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(\pi) = -B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{F}_1 = q_1(\vec{v} \times \vec{B}_1) = 4\pi (0.5c\hat{i} \times (-B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}})) = -\frac{2\pi c B_0}{\sqrt{2}} \hat{k}$.
$z = 3\pi/k$ પર વિદ્યુતભાર $q_2 = 2\pi$ માટે:
$\vec{B}_2 = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(k \cdot \frac{3\pi}{k}) = B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \cos(3\pi) = -B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
$\vec{F}_2 = q_2(\vec{v} \times \vec{B}_2) = 2\pi (0.5c\hat{i} \times (-B_0 \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}})) = -\frac{\pi c B_0}{\sqrt{2}} \hat{k}$.
બળોના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{|F_1|}{|F_2|} = \frac{2\pi c B_0 / \sqrt{2}}{\pi c B_0 / \sqrt{2}} = 2 : 1$ છે.

(D) ટર્મિનલ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને તબક્કાવાર સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. બે $3\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_1 = \frac{3 \times 3}{3 + 3} = 1.5\,\Omega = \frac{3}{2}\,\Omega$ છે.
$2$. હવે,પરિપથ એક $2\,\Omega$ ના અવરોધ અને સમાંતરમાં રહેલા $2\,\Omega$ ના અવરોધ તથા $1.5\,\Omega$ ના સમતુલ્ય અવરોધના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે.
$3$. આપેલ ઉકેલ મુજબ,અંતિમ ગણતરી $R_{\text{eq}} = \frac{3 \times 3/2}{3 + 3/2} = 1\,\Omega$ મળે છે.

(C) સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિધાન $(a)$ સાચું છે: જ્યારે રેખાઓ સપાટીમાં પ્રવેશતી હોય ત્યારે ફ્લક્સ ઋણ હોય છે $(\theta > 90^{\circ})$.
વિધાન $(b)$ સાચું છે: સંમિતિને કારણે,સમઘનના કેન્દ્ર પર રહેલો વિદ્યુતભાર તેની છ બાજુઓમાંથી સમાન ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે.
વિધાન $(c)$ સાચું છે: ગૌસના નિયમ મુજબ,$\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$. જો $q_{enclosed} = 0$ હોય,તો $\phi_{net} = 0$ થાય.
વિધાન $(d)$ ખોટું છે: જ્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સપાટીને સમાંતર હોય,ત્યારે તે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ને લંબ હોય છે (એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$). તેથી,$\phi = EA \cos 90^{\circ} = 0$. વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે તે શૂન્યતર ફ્લક્સ આપે છે,જે ખોટું છે.

(A) $1$. કોઈલમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રેરિત પ્રવાહ માટે,ચુંબકીય ફ્લક્સ સમય સાથે બદલાવવું જોઈએ.
$2$. જો $\vec{B}$ કોઈલના સમતલને સમાંતર હોય,તો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ થાય,તેથી $\Phi = 0$ થાય. આમ,વિકલ્પો $B$ અને $D$ ખોટા છે.
$3$. કોઈલમાં પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત ચુંબકીય ક્ષેત્ર ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.
$4$. જો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બહારની તરફ (કોઈલના સમતલને લંબ) હોય,તો વિષમઘડી પ્રેરિત પ્રવાહ ફેરફારનો વિરોધ કરવા માટે અંદરની તરફ ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$5$. પ્રેરિત પ્રવાહ વિષમઘડી હોવા માટે,બહારની તરફનું ફ્લક્સ ઘટતું હોવું જોઈએ જેથી પ્રેરિત ક્ષેત્ર બહારની દિશાને ટેકો આપે. તેથી,$\vec{B}$ બહારની તરફ હોવું જોઈએ અને સમય સાથે ઘટતું હોવું જોઈએ.

(D) ફુલ વેવ રેક્ટિફાયર પલ્સિંગ $DC$ આઉટપુટ ઉત્પન્ન કરે છે. આ આઉટપુટને સ્મૂધ કરવા અને સ્થિર $DC$ વોલ્ટેજ મેળવવા માટે ફિલ્ટર સર્કિટનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.
$1$. લોડ $R_L$ ને સમાંતર જોડેલ કેપેસિટર ફિલ્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે જ્યારે વોલ્ટેજ વધે છે ત્યારે તે ચાર્જ થાય છે અને જ્યારે વોલ્ટેજ ઘટે છે ત્યારે તે લોડ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જેનાથી રિપલ્સ ઘટે છે.
$2$. લોડ $R_L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડેલ ઇન્ડક્ટર પણ ફિલ્ટર તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તે તેમાંથી વહેતા પ્રવાહમાં થતા કોઈપણ ફેરફારનો વિરોધ કરે છે,જેનાથી આઉટપુટ પ્રવાહ સ્મૂધ બને છે.
આમ,બંને પદ્ધતિઓ પલ્સિંગ $DC$ ને ફિલ્ટર કરીને સ્થિર $DC$ આઉટપુટ મેળવવા માટેની પ્રમાણભૂત તકનીકો હોવાથી,વિધાન-$I$ અને વિધાન-$II$ બંને સાચા છે.

(D) એક $A.M.$ સ્ટેશન માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ એ મોડ્યુલેટિંગ ઓડિયો સિગ્નલની મહત્તમ ફ્રીક્વન્સી કરતા બમણી હોય છે.
$\text{સ્ટેશન દીઠ બેન્ડવિડ્થ} = 2 \times f_m = 2 \times 6 \, \text{kHz} = 12 \, \text{kHz}$.
કુલ ઉપલબ્ધ બેન્ડવિડ્થ $6 \, \text{MHz} = 6000 \, \text{kHz}$ છે.
એકસાથે પ્રસારિત કરી શકાય તેવા સ્ટેશનોની સંખ્યા $N$ એ કુલ બેન્ડવિડ્થ અને સ્ટેશન દીઠ બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$N = \frac{\text{કુલ બેન્ડવિડ્થ}}{\text{સ્ટેશન દીઠ બેન્ડવિડ્થ}} = \frac{6000 \, \text{kHz}}{12 \, \text{kHz}} = 500$.
તેથી,$500$ સ્ટેશનો એકસાથે પ્રસારિત કરી શકાય છે.

(D) પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_i = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F$.
પ્રારંભિક વોલ્ટેજ $V = 200 \,V$.
પ્રારંભિક સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2$.
જ્યારે બેટરી જોડાયેલી હોય ત્યારે $K = 2$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C_f = K C_i = 2 \times 200 \,\mu F = 400 \,\mu F$ થાય છે.
વોલ્ટેજ $V$ એ $200 \,V$ પર અચળ રહે છે.
અંતિમ સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_f V^2$.
સ્થિત વિદ્યુત ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i = \frac{1}{2} (C_f - C_i) V^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} (K - 1) C_i V^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{1}{2} (2 - 1) \times (200 \times 10^{-6}) \times (200)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 1 \times 200 \times 10^{-6} \times 40000$.
$\Delta U = 100 \times 10^{-6} \times 40000 = 4 \,J$.

(D) સોલેનોઇડમાં રહેલા કોર મટીરીયલની મેગ્નેટિક મોમેન્ટ $M = I_{m} V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $I_{m}$ એ મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા છે અને $V$ એ કદ છે。
$I_{m} = \chi H$, જ્યાં $\chi$ એ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી છે અને $H$ એ મેગ્નેટિક ફિલ્ડની તીવ્રતા છે。
$\chi = \mu_{r} - 1$ હોવાથી, આપણને $M = (\mu_{r} - 1) H V$ મળે છે。
લાંબા સોલેનોઇડ માટે, $H = nI$ અચળ રહે છે。
તેથી, $M \propto (\mu_{r} - 1)$。
મેગ્નેટિક મોમેન્ટમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta M}{M} = \frac{(\mu_{r2} - 1) - (\mu_{r1} - 1)}{\mu_{r1} - 1} = \frac{\mu_{r2} - \mu_{r1}}{\mu_{r1} - 1}$ છે。
અહીં $\mu_{r1} = 500$ અને $\mu_{r2} = 750$ આપેલ છે, તેથી $\frac{\Delta M}{M} = \frac{750 - 500}{500 - 1} = \frac{250}{499}$ મળે છે。
આને $\frac{x}{499}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = 250$ મળે છે。

(D) મધ્યસ્થ શલાકાથી $n^{\text{મી}}$ પ્રકાશિત શલાકાનું અંતર $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
બંને બાજુની $4^{\text{થી}}$ પ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $2 y_4 = 2 \times \frac{4 \lambda D}{d} = \frac{8 \lambda D}{d}$ થાય।
આપેલ છે: $2 y_4 = 2.4 \, cm = 2.4 \times 10^{-2} \, m$, $D = 1.5 \, m$, $d = 0.3 \, mm = 0.3 \times 10^{-3} \, m$.
$\lambda = \frac{c}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા, $\frac{8 \times c \times D}{f \times d} = 2.4 \times 10^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{8 \times (3 \times 10^8) \times 1.5}{f \times (0.3 \times 10^{-3})} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$\frac{36 \times 10^8}{f \times 0.3 \times 10^{-3}} = 2.4 \times 10^{-2}$.
$f = \frac{36 \times 10^{11}}{0.3 \times 2.4 \times 10^{-2}} = \frac{36 \times 10^{13}}{0.72} = 50 \times 10^{13} = 5 \times 10^{14} \, Hz$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ ${X}_{L} = 2 \pi fL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ ખૂબ મોટી થાય છે,તેમ ${X}_{L} \to \infty$ થાય છે,જે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ ${X}_{C} = \frac{1}{2 \pi fC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ ખૂબ મોટી થાય છે,તેમ ${X}_{C} \to 0$ થાય છે,જે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
આ શરતોને પરિપથ પર લાગુ કરતા:
$1$. અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં રહેલા કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (અવરોધ બાકી રહે છે).
$2$. ઇન્ડક્ટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
$3$. વચ્ચેનું કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે.
ખૂબ જ ઊંચી આવૃત્તિઓ પર પરિપથને જોતા,ઇન્ડક્ટર વાળો માર્ગ ઓપન સર્કિટ બની જાય છે. પરિપથનો બાકીનો ભાગ $1 \, \Omega$ ના અવરોધ અને બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે,જેમાં દરેક શાખામાં $2 \, \Omega$ નો અવરોધ છે (કારણ કે કેપેસિટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે).
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 1 + \frac{2 \times 2}{2 + 2} = 1 + 1 = 2 \, \Omega$ થાય છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમકોણ $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન ત્યારે થાય છે જ્યારે આપાતકોણ $i = A = 60^{\circ}$ હોય.
પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin(\frac{\delta_{min} + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ વિચલન વખતે,$i = e = 60^{\circ}$,તેથી $\delta_{min} = 2i - A = 2(60^{\circ}) - 60^{\circ} = 60^{\circ}$.
આમ,$\mu = \frac{\sin(60^{\circ})}{\sin(30^{\circ})} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.
પ્રિઝમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{3}} \, m/s$ છે.
અંતર $AP$ એ $a = 10 \, cm = 0.1 \, m$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
$AP = a \sin 60^{\circ} = 0.1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.05\sqrt{3} \, m$.
લાગતો સમય $t = \frac{AP}{v} = \frac{0.05\sqrt{3}}{3 \times 10^8 / \sqrt{3}} = \frac{0.05 \times 3}{3 \times 10^8} = 0.05 \times 10^{-8} = 5 \times 10^{-10} \, s$.
તેથી,જવાબ $5$ છે.

(D) અવરોધક દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = i^2 Rt$ છે,જ્યાં $i$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ,$R$ એ અવરોધ અને $t$ એ સમય છે.
આપેલ છે: $E_1 = 192 \, J$,$i_1 = 4 \, A$,$t_1 = 1 \, s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $192 = (4)^2 \times R \times 1$.
$192 = 16 \times R \implies R = \frac{192}{16} = 12 \, \Omega$.
હવે,વિદ્યુતપ્રવાહ બમણો થાય છે,તેથી $i_2 = 2 \times 4 = 8 \, A$.
સમય $t_2 = 5 \, s$ છે.
નવી વ્યય થતી ઉર્જા $E_2 = i_2^2 \times R \times t_2$ થશે.
$E_2 = (8)^2 \times 12 \times 5$.
$E_2 = 64 \times 12 \times 5 = 64 \times 60 = 3840 \, J$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = 150 y^2 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત $y$-દિશામાં હોવાથી,સમઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ ફક્ત ઉપરની અને નીચેની સપાટીને કારણે હશે.
નીચેની સપાટી માટે,$y = 0$:
$\Rightarrow E = 150(0)^2 = 0 \, N/C$
$\Rightarrow \phi_{\text{bottom}} = E \cdot A \cdot \cos(180^{\circ}) = 0$
ઉપરની સપાટી માટે,$y = 0.5 \, m$:
$\Rightarrow E = 150(0.5)^2 = 150 \times 0.25 = 37.5 \, N/C$
ઉપરની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = (0.5 \, m)^2 = 0.25 \, m^2$ છે.
ઉપરની સપાટીમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{top}} = E \cdot A = 37.5 \times 0.25 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$ છે.
કુલ ફ્લક્સ $\phi = \phi_{\text{top}} + \phi_{\text{bottom}} = 9.375 + 0 = 9.375 \, N \cdot m^2/C$.
ગોસના નિયમ મુજબ,$\phi = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$.
$Q_{\text{in}} = \phi \cdot \epsilon_0 = 9.375 \times 8.854 \times 10^{-12} \approx 83.0 \times 10^{-12} \, C = 8.3 \times 10^{-11} \, C$.

(B) ગતિશીલ આર્મમાં ઉત્પન્ન થતું ગતિકીય $EMF$ $\varepsilon = B \ell {v}_{0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $B = 5\, {T}$,$\ell = 20\, {cm} = 0.2\, {m}$,અને લૂપનો આંતરિક અવરોધ $r = 1\, \Omega$.
બાહ્ય સર્કિટમાં દરેક $4\, \Omega$ ના ચાર અવરોધો છે. સર્કિટ જોતા,ડાબી બાજુના બે અવરોધો શ્રેણીમાં $(4+4=8\, \Omega)$ છે અને જમણી બાજુના બે અવરોધો શ્રેણીમાં $(4+4=8\, \Omega)$ છે. આ બે શાખાઓ સમાંતર છે,તેથી સમતુલ્ય બાહ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{8 \times 8}{8+8} = 4\, \Omega$ થશે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{eq} + r = 4\, \Omega + 1\, \Omega = 5\, \Omega$ છે.
પ્રવાહ $i = \frac{\varepsilon}{R_{total}} = \frac{B \ell {v}_{0}}{5}$ દ્વારા મળે છે.
$i = 2\, {mA} = 2 \times 10^{-3}\, {A}$ આપેલ હોવાથી:
$2 \times 10^{-3} = \frac{5 \times 0.2 \times {v}_{0}}{5}$
$2 \times 10^{-3} = 0.2 \times {v}_{0}$
${v}_{0} = \frac{2 \times 10^{-3}}{0.2} = 10^{-2}\, {m/s} = 1\, {cm/s}$.

(A) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
$3$-પરિમાણમાં આદર્શ વાયુ માટે,સરેરાશ ગતિઊર્જા $E = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
આ કિંમત તરંગલંબાઇના સૂત્રમાં મૂકતા,$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2m(\frac{3}{2} k_B T)}} = \frac{h}{\sqrt{3mk_B T}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 6.6 \times 10^{-34}\, Js$,$m = 9 \times 10^{-31}\, kg$,$k_B = 1.38 \times 10^{-23}\, JK^{-1}$,અને $T = 300\, K$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{3 \times 9 \times 10^{-31} \times 1.38 \times 10^{-23} \times 300}}$.
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{11178 \times 10^{-54}}} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{105.7 \times 10^{-27}} \approx 0.0624 \times 10^{-7}\, m = 6.24 \times 10^{-9}\, m$.
આમ,$\lambda \approx 6.26\, nm$ થાય છે.

(B) પગલું $1$: બરફનું દળ શોધો.
$m = \rho A \ell = 10^3 \times 10^{-4} \times 1 = 0.1\, kg$.
પગલું $2$: બરફનું તાપમાન $-10^{\circ}C$ થી $0^{\circ}C$ સુધી વધારવા અને તેને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા $Q$ શોધો.
$Q = mc_{ice}\Delta T + mL_f$
$Q = 0.1 \times (2 \times 10^3 \times 10) + 0.1 \times (3.33 \times 10^5)$
$Q = 2 \times 10^3 + 3.33 \times 10^4 = 3.53 \times 10^4\, J$.
પગલું $3$: અવરોધક દ્વારા ઉત્પન્ન થતી ગરમીનો ઉપયોગ કરીને સમય $t$ શોધો.
$Q = I^2Rt$
$3.53 \times 10^4 = (0.5)^2 \times (4 \times 10^3) \times t$
$3.53 \times 10^4 = 1000 \times t$
$t = 35.3\, s$.

(C) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે અવરોધો માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નું સૂત્ર $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$,તેથી $R_{eq} = 2 \, \Omega$ મળે છે.
ભૂલ $\Delta R_{eq}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$-\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = -\frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} - \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
ભૂલના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$\frac{\Delta R_{eq}}{R_{eq}^{2}} = \frac{\Delta R_{1}}{R_{1}^{2}} + \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta R_{eq}}{2^{2}} = \frac{0.8}{4^{2}} + \frac{0.4}{4^{2}}$.
$\frac{\Delta R_{eq}}{4} = \frac{0.8 + 0.4}{16} = \frac{1.2}{16}$.
$\Delta R_{eq} = 4 \times \frac{1.2}{16} = \frac{1.2}{4} = 0.3 \, \Omega$.
તેથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = (2 \pm 0.3) \, \Omega$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x$ નો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $y$ ના સરેરાશ આયુષ્ય જેટલો છે:
$(t_{1/2})_x = (\tau)_y$
આપણે જાણીએ છીએ કે $(t_{1/2})_x = \frac{\ln 2}{\lambda_x}$ અને $(\tau)_y = \frac{1}{\lambda_y}$,તેથી:
$\frac{\ln 2}{\lambda_x} = \frac{1}{\lambda_y} \Rightarrow \lambda_x = \lambda_y \ln 2 \approx 0.693 \lambda_y$.
આ દર્શાવે છે કે $\lambda_x < \lambda_y$.
શરૂઆતમાં,પરમાણુઓની સંખ્યા સમાન છે: $N_x = N_y = N_0$.
ક્ષય દર (એક્ટિવિટી) $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\lambda_x < \lambda_y$ અને $N_x = N_y$,તેથી $A_x < A_y$ થાય.
તેથી,તત્વ $y$ એ તત્વ $x$ કરતા ઝડપથી ક્ષય પામશે.

(A) ડાયમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે:
$1$. મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ એ મેગ્નેટાઇઝિંગ ફિલ્ડ $(H)$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,તેથી $M-H$ આલેખનો ઢાળ ઋણ હોય છે. આ આલેખ $(a)$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની,ઋણ અને તાપમાન $(T)$ થી સ્વતંત્ર હોય છે. આ આલેખ $(c)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,ડાયમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે સાચું સંયોજન $(a)$ અને $(c)$ છે.

(B) ધારો કે ગ્લાસમાં પાણીની વાસ્તવિક ઊંચાઈ $H$ છે. પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = 4/3$ છે.
ઉપરથી જોનાર અવલોકનકાર માટે પાણીની આભાસી ઊંડાઈ $d_{app} = \frac{H}{\mu_w} = \frac{H}{4/3} = \frac{3H}{4}$ થાય.
ગ્લાસના ખાલી ભાગની ઊંચાઈ (હવાનો સ્તંભ) $17.5 - H$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વિદ્યાર્થીને લાગે છે કે ગ્લાસ અડધો ભરાયેલો છે,જેનો અર્થ છે કે પાણીની આભાસી ઊંડાઈ એ ગ્લાસના ખાલી ભાગની ઊંચાઈ જેટલી જ દેખાય છે.
તેથી,$\frac{3H}{4} = 17.5 - H$.
બંને બાજુ $H$ ઉમેરતા: $\frac{3H}{4} + H = 17.5$.
$\frac{7H}{4} = 17.5$.
$H = \frac{17.5 \times 4}{7} = 2.5 \times 4 = 10 \, cm$.

(C) આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,ડાયોડ ${D}_{1}$ અને ${D}_{2}$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે,તેથી દરેકનો અવરોધ $30\, \Omega$ છે. ડાયોડ ${D}_{3}$ રિવર્સ બાયસમાં છે,તેથી તેનો અવરોધ અનંત છે.
${D}_{1}$ અને ${D}_{2}$ ધરાવતી બે સમાંતર શાખાઓનો કુલ અવરોધ:
${R}_{p} = \frac{(30 + 130)}{2} = \frac{160}{2} = 80\, \Omega$.
પરિપથનો કુલ અવરોધ ${R}_{total} = {R}_{p} + 20\, \Omega = 80\, \Omega + 20\, \Omega = 100\, \Omega$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રવાહ ${I}_{1}$:
${I}_{1} = \frac{V}{{R}_{total}} = \frac{200\, V}{100\, \Omega} = 2\, A$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,ઇન્ડક્ટર એક વાહક તાર તરીકે વર્તે છે (શોર્ટ સર્કિટ).
તેથી,પરિપથમાં રહેલા બે ઇન્ડક્ટર સાદા વાયર તરીકે કામ કરે છે.
હવે પરિપથમાં દરેક $3 \, \Omega$ ના ત્રણ અવરોધ સમાંતર જોડાણમાં છે.
આ ત્રણ સમાંતર અવરોધોનો સમતુલ્ય અવરોધ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \, \Omega^{-1}$
$\Rightarrow R_{p} = 1 \, \Omega$
આ સમાંતર જોડાણ $2 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = 2 \, \Omega + R_{p} = 2 \, \Omega + 1 \, \Omega = 3 \, \Omega$ છે.
ઓમના નિયમ મુજબ બેટરીમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i$:
$i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{30 \, V}{3 \, \Omega} = 10 \, A$ થાય.

(B) ચાર્જિંગ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_0(1 - e^{-t/RC})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $V = 2\, V$,$V_0 = 20\, V$,$t = 1\, \mu s = 10^{-6}\, s$,અને $R = 10\, \Omega$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2 = 20(1 - e^{-t/RC})$.
$1/10 = 1 - e^{-t/RC} \Rightarrow e^{-t/RC} = 9/10$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $-t/RC = \ln(9/10) = -\ln(10/9)$.
$t/RC = \ln(10/9)$.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $C = t / (R \cdot \ln(10/9))$.
$C = 10^{-6} / (10 \times 0.105) = 10^{-6} / 1.05 \approx 0.952\, \mu F$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$C = 0.95\, \mu F$.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $E = E_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E = 20 \cos(2 \times 10^{10} t - 200 x)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \times 10^{10} \, rad/s$ અને તરંગ સંખ્યા $k = 200 \, rad/m$ મળે છે.
માધ્યમમાં તરંગની ઝડપ $v = \omega / k = (2 \times 10^{10}) / 200 = 10^8 \, m/s$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = c / v$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$n = (3 \times 10^8) / 10^8 = 3$.
બિન-ચુંબકીય માધ્યમ માટે,વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\mu_r = 1$ આપેલ હોવાથી,$n = \sqrt{\epsilon_r}$ મળે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,$3 = \sqrt{\epsilon_r}$,જેનો અર્થ છે કે $\epsilon_r = 3^2 = 9$.

(A) અર્ધ-અનંત વાયરને કારણે લંબ અંતર $r$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાયર $(1)$ ($x$-અક્ષ પર) માટે, $P$ થી અંતર $y$ છે. એક છેડો ઉગમબિંદુ પર છે $(\theta_1 = 90^{\circ})$ અને બીજો અનંત પર છે $(\theta_2 = 90^{\circ})$, પરંતુ તે ઉગમબિંદુથી શરૂ થતો અર્ધ-અનંત વાયર હોવાથી, સૂત્ર $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} (1 + \sin \theta_1)$ બને છે, જ્યાં $\sin \theta_1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
આમ, $B_1 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi y} \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
તે જ રીતે, વાયર $(2)$ ($y$-અક્ષ પર) માટે, $P$ થી અંતર $x$ છે, તેથી $B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi x} \left(1 + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
બંને ક્ષેત્રો બિંદુ $P$ પર પાનાની અંદરની તરફ છે. તેમનો સરવાળો કરતા:
$B = B_1 + B_2 = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{1}{y} + \frac{x}{y\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{1}{x} + \frac{y}{x\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \left[ \frac{x+y}{xy} + \frac{x^2+y^2}{xy\sqrt{x^2+y^2}} \right]$
$B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi xy} \left[ (x+y) + \sqrt{x^2+y^2} \right]$.

(A) આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી $A \propto w$.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોવાથી,$I \propto A^2 \propto w^2$.
ધારો કે પહોળાઈ $w_1 = 3w_0$ અને $w_2 = w_0$ છે. તેથી તીવ્રતાઓ $I_1$ અને $I_2$ માટે $\frac{I_1}{I_2} = \left(\frac{w_1}{w_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{1}\right)^2 = 9$ થાય.
આમ,$I_1 = 9I_2$. જો $I_2 = I$ લઈએ,તો $I_1 = 9I$ થાય.
ન્યૂનતમ અને મહત્તમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2}}{\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2}}\right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\frac{\sqrt{9I} - \sqrt{I}}{\sqrt{9I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{3\sqrt{I} - \sqrt{I}}{3\sqrt{I} + \sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{2\sqrt{I}}{4\sqrt{I}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
આપેલ ગુણોત્તર $x:4$ હોવાથી,$\frac{x}{4} = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.