JEE Main 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x(t) = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = A \sin(\omega t)$
$\sin(\omega t) = \frac{1}{2}$
$\omega t = \frac{\pi}{6}$
કારણ કે $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T = 2 \ s$ એ આવર્તકાળ છે:
$\frac{2\pi}{T} \cdot t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{T}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \ s$.
આ સમયને $\frac{1}{a} \ s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$ મળે છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
તાર $A$ માટે: $Y = \frac{F L_A}{\pi r_A^2 \Delta L_A} \implies Y = \frac{2 \cdot a}{\pi r_A^2 \cdot 2 \times 10^{-3}} \quad ......(1)$
તાર $B$ માટે: $Y = \frac{F L_B}{\pi r_B^2 \Delta L_B}$. આપેલ છે કે $r_B = 4 r_A$,તેથી $Y = \frac{2 \cdot b}{\pi (4 r_A)^2 \cdot 4 \times 10^{-3}} = \frac{2 \cdot b}{16 \pi r_A^2 \cdot 4 \times 10^{-3}} \quad ......(2)$
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના હોવાથી $Y$ સમાન રહેશે. સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$\frac{a}{2 \pi r_A^2 \times 10^{-3}} = \frac{2 b}{64 \pi r_A^2 \times 10^{-3}}$
$\frac{a}{2} = \frac{b}{32} \implies \frac{a}{b} = \frac{2}{64} = \frac{1}{32}$.
તેથી,$x = 32$.

(A) ધારો કે નદીના સાપેક્ષ તરવૈયાનો વેગ $\vec{v}_{sr} = 10\, m/s$ છે અને નદીનો વેગ $\vec{v}_r = x\, m/s$ છે.
તરવૈયો નદીના પ્રવાહ સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે તરે છે.
બરાબર સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે,જમીનની સાપેક્ષ તરવૈયાનો પરિણામી વેગ $(\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r)$ નદીના પ્રવાહને લંબ હોવો જોઈએ.
ધારો કે નદીનો પ્રવાહ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. તરવૈયાનો વેગ સદિશ $\vec{v}_{sr}$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$x$-અક્ષ પર તરવૈયાના વેગનો ઘટક $v_{sr,x} = 10 \cos(120^{\circ}) = 10 \times (-0.5) = -5\, m/s$ છે.
તરવૈયો સીધો સામેના કિનારે પહોંચે તે માટે,$x$-અક્ષ પરનો કુલ વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$v_{net,x} = v_{sr,x} + v_r = 0$.
$-5 + x = 0$.
$x = 5\, m/s$.

(C) ધારો કે પ્રથમ દડાનું દળ $m_1 = 10 \, kg$ છે અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}_1 = 10 \sqrt{3} \hat{i} \, m/s$ છે. બીજા દડાનું દળ $m_2 = 20 \, kg$ છે અને તે સ્થિર છે $(\vec{u}_2 = 0)$.
અથડામણ પછી,પ્રથમ દડો સ્થિર થઈ જાય છે. બીજો દડો $10 \, kg$ ના બે સમાન ટુકડાઓમાં વિભાજિત થાય છે.
ધારો કે પ્રથમ ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{j} \, m/s$ છે.
ધારો કે બીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}_2 = v_x \hat{i} - v_y \hat{j}$ છે (આકૃતિ મુજબ,તે $x$-અક્ષની નીચે $30^{\circ}$ ના ખૂણે ગતિ કરે છે).
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2 = m_1 \vec{v}_{1,final} + m_p \vec{v}_1 + m_p \vec{v}_2$
$10(10 \sqrt{3} \hat{i}) + 0 = 0 + 10(10 \hat{j}) + 10 \vec{v}_2$
$100 \sqrt{3} \hat{i} = 100 \hat{j} + 10 \vec{v}_2$
$10 \vec{v}_2 = 100 \sqrt{3} \hat{i} - 100 \hat{j}$
$\vec{v}_2 = 10 \sqrt{3} \hat{i} - 10 \hat{j}$
વેગ $\vec{v}_2$ નું મૂલ્ય $x = |\vec{v}_2| = \sqrt{(10 \sqrt{3})^2 + (-10)^2} = \sqrt{300 + 100} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$ છે.

(D) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $A$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા એ બિંદુ $B$ પરની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$E_A = E_B$
$PE_A + KE_A = PE_B + KE_B$
આપેલ છે કે કણ $A$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $KE_A = 0$.
$mgh_A + 0 = mgh_B + \frac{1}{2}mv^2$
$gh_A = gh_B + \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_A - h_B)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $g = 10 \ m/s^2$,$h_A = 10 \ m$,$h_B = 5 \ m$.
$v^2 = 2 \times 10 \times (10 - 5)$
$v^2 = 20 \times 5 = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \ m/s$
તેથી,$x$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 0.1\, kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 10\, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\, m/s$,અને અંતર $s = 50\, cm = 0.5\, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (10)^2 + 2 \cdot a \cdot 0.5$.
$0 = 100 + a$,જે પ્રતિપ્રવેગ $a = -100\, m/s^2$ આપે છે.
અવરોધક બળનું મૂલ્ય $F = m|a|$ છે.
$F = 0.1\, kg \cdot 100\, m/s^2 = 10\, N$.
આમ,$'x'$ નું મૂલ્ય $10$ છે.

(C) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ $M = 5.99 \, kg$
ગોળીનું દળ $m = 10 \, g = 0.01 \, kg$
કુલ દળ $M + m = 5.99 + 0.01 = 6.00 \, kg$
ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $h = 9.8 \, cm = 0.098 \, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, ms^{-2}$
પગલું $1$: અથડામણ પછી (બ્લોક $+$ ગોળી) તંત્ર માટે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા.
$(M + m)gh = \frac{1}{2}(M + m)v_1^2$
$v_1 = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.098} = \sqrt{19.6 \times 0.098} = \sqrt{1.9208} \approx 1.3856 \, m/s$
પગલું $2$: અથડામણ દરમિયાન રેખીય વેગમાન સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા.
$mv = (M + m)v_1$
$v = \frac{(M + m)v_1}{m} = \frac{6.00 \times 1.3856}{0.01} = 600 \times 1.3856 = 831.36 \, m/s$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ઝડપ $831.5 \, m/s$ મળે છે.

(D) પ્રવાહનો પ્રકાર રેનોલ્ડ્સ નંબર $(R_e)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$.
આપેલ છે: $\rho = 10^3\, kg/m^3$,$\eta = 10^{-3}\, Pa\cdot s$,$r = 0.5\, cm = 0.005\, m$,$D = 2r = 0.01\, m$.
પ્રવાહ દર $Q = A \cdot v = \pi r^2 v$,તેથી $v = \frac{Q}{\pi r^2}$.
$R_e$ માં $v$ ની કિંમત મૂકતા: $R_e = \frac{\rho Q D}{\eta \pi r^2} = \frac{\rho Q (2r)}{\eta \pi r^2} = \frac{2 \rho Q}{\eta \pi r}$.
$Q_1 = 0.18\, L/min = \frac{0.18 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = 3 \times 10^{-6}\, m^3/s$ માટે:
$R_{e1} = \frac{2 \times 10^3 \times 3 \times 10^{-6}}{10^{-3} \times \pi \times 0.005} \approx 382.16$.
$R_{e1} < 1000$ હોવાથી,પ્રવાહ સ્થાયી છે.
$Q_2 = 0.48\, L/min = \frac{0.48 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = 8 \times 10^{-6}\, m^3/s$ માટે:
$R_{e2} = \frac{2 \times 10^3 \times 8 \times 10^{-6}}{10^{-3} \times \pi \times 0.005} \approx 1018.59$.
$1000 < R_{e2} < 2000$ હોવાથી,પ્રવાહ અસ્થાયી બને છે.
આમ,પ્રવાહ સ્થાયી થી અસ્થાયી માં બદલાય છે.

(B) આપેલ વેગ સદિશ: $\overrightarrow{v} = 0.5t^2 \hat{i} + 3t \hat{j} + 9 \hat{k}$.
$t = 2 \, s$ સમયે,વેગ $\overrightarrow{v} = 0.5(2)^2 \hat{i} + 3(2) \hat{j} + 9 \hat{k} = 2 \hat{i} + 6 \hat{j} + 9 \hat{k} \, m/s$ થાય.
વેગનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 9^2} = \sqrt{4 + 36 + 81} = \sqrt{121} = 11 \, m/s$ છે.
દિશા કોસાઇન $\cos \alpha = \frac{v_x}{|v|} = \frac{2}{11}$,$\cos \beta = \frac{v_y}{|v|} = \frac{6}{11}$,અને $\cos \gamma = \frac{v_z}{|v|} = \frac{9}{11}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\alpha = \cos^{-1}(\frac{2}{11})$ છે.
$y$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\beta = \cos^{-1}(\frac{6}{11})$ છે.
$z$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\gamma = \cos^{-1}(\frac{9}{11})$ છે.
આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાતું નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
દબાણ $P = 1.01 \times 10^{5} Pa$.
વ્યાસ $d = 0.3 nm = 0.3 \times 10^{-9} m$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} J K^{-1}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (0.3 \times 10^{-9})^2 \times 1.01 \times 10^{5}}$.
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-21}}{1.414 \times 3.14 \times 0.09 \times 10^{-18} \times 1.01 \times 10^{5}}$.
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-21}}{0.403 \times 10^{-13}} \approx 1.027 \times 10^{-7} m$.
$nm$ માં ફેરવતા: $\lambda \approx 102.7 nm \approx 102 nm$.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A\ell} = \frac{mgL}{\pi R^2 \ell}$ છે.
આંશિક ત્રુટિ $\frac{\Delta Y}{Y} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta L}{L} + 2\frac{\Delta R}{R} + \frac{\Delta \ell}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો:
$m = 1 \, kg = 1000 \, g$,$\Delta m = 1 \, g$
$L = 1 \, m = 1000 \, mm$,$\Delta L = 1 \, mm$
$R = 0.2 \, cm$,$\Delta R = 0.001 \, cm$
$\ell = 0.5 \, cm$,$\Delta \ell = 0.001 \, cm$
આ મૂલ્યોને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta Y}{Y} \times 100 = \left( \frac{1}{1000} + \frac{1}{1000} + 2 \times \frac{0.001}{0.2} + \frac{0.001}{0.5} \right) \times 100$
$= \left( 0.001 + 0.001 + 0.01 + 0.002 \right) \times 100$
$= 0.014 \times 100 = 1.4 \%$.

(D) ધાતુની પટ્ટીની લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = L \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
જ્યારે પટ્ટીને ઠંડા બાથમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાન ઘટે છે,તેથી $\Delta T$ ઋણ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ધાતુઓ સંકોચાશે.
આપેલ છે કે $\alpha_{A} > \alpha_{B}$,તેથી ધાતુ $A$ માં થતું સંકોચન ધાતુ $B$ કરતા વધારે હશે (એટલે કે $|\Delta L_{A}| > |\Delta L_{B}|$).
ધાતુ $A$ ડાબી બાજુએ છે અને તે ધાતુ $B$ કરતા વધુ સંકોચાય છે,તેથી પટ્ટી જે બાજુ વધુ સંકોચાય છે તે તરફ વળશે,એટલે કે ડાબી તરફ.

(D) વિધાન $I :$ અસમતલ રસ્તા માટે,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v_{\max} = \sqrt{\mu Rg}$ છે.
આપેલ છે $\mu = 0.2$,$R = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$v_{\max} = \sqrt{0.2 \times 2 \times 9.8} = \sqrt{3.92} \approx 1.98 \, m/s$.
સાયકલ સવારની ઝડપ $7 \, km/h = 7 \times \frac{5}{18} \approx 1.944 \, m/s$ છે.
$1.944 \, m/s < 1.98 \, m/s$ હોવાથી,સાયકલ સવાર લપસશે નહીં. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II :$ ઢળતા રસ્તા માટે,મહત્તમ સુરક્ષિત ઝડપ $v_{\max} = \sqrt{Rg \left[ \frac{\tan \theta + \mu}{1 - \mu \tan \theta} \right]}$ છે.
આપેલ છે $\theta = 45^{\circ}$,$\tan 45^{\circ} = 1$,$\mu = 0.2$,$R = 2 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$.
$v_{\max} = \sqrt{2 \times 9.8 \times \left[ \frac{1 + 0.2}{1 - 0.2 \times 1} \right]} = \sqrt{19.6 \times \frac{1.2}{0.8}} = \sqrt{19.6 \times 1.5} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \, m/s$.
સાયકલ સવારની ઝડપ $18.5 \, km/h = 18.5 \times \frac{5}{18} \approx 5.14 \, m/s$ છે.
$5.14 \, m/s < 5.42 \, m/s$ હોવાથી,સાયકલ સવાર લપસશે નહીં. તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) અવમંદિત આવર્ત ગતિ માટે,$t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A$ નું સૂત્ર $A = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના અડધા થાય,એટલે કે $A = \frac{A_0}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A_0}{2} = A_0 e^{-\frac{bt}{2m}}$.
આથી $\frac{1}{2} = e^{-\frac{bt}{2m}}$,અથવા $2 = e^{\frac{bt}{2m}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln 2 = \frac{bt}{2m}$.
$t$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $t = \frac{2m}{b} \ln 2$.
અહીં $m = 500 \, g$,$b = 20 \, g/s$,અને $\ln 2 = 0.693$ આપેલ છે:
$t = \frac{2 \times 500}{20} \times 0.693 = 50 \times 0.693 = 34.65 \, s$.

(B) સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ પરિભ્રમણ બિંદુ $(2, 3, 4)$ થી બળ લગાડવાના બિંદુ સુધીનો સદિશ છે.
$x = 2$ સમતલ અને $x$-અક્ષનું છેદબિંદુ $(2, 0, 0)$ છે.
તેથી,$\vec{r} = (2 - 2)\hat{i} + (0 - 3)\hat{j} + (0 - 4)\hat{k} = -3\hat{j} - 4\hat{k}$.
બળ $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -3 & -4 \\ 4 & 3 & 4 \end{vmatrix}$.
$\vec{\tau} = \hat{i}(-12 - (-12)) - \hat{j}(0 - (-16)) + \hat{k}(0 - (-12))$.
$\vec{\tau} = 0\hat{i} - 16\hat{j} + 12\hat{k}$.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\vec{\tau}| = \sqrt{0^2 + (-16)^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$ થાય છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળાની ગુરુત્વાકર્ષણીય આત્મ-ઊર્જા $U_i = -\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીને સંપૂર્ણપણે તોડવા અને તેના તમામ દળને અનંત સુધી લઈ જવા માટે,અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f$ શૂન્ય થશે.
પૂરી પાડવી પડતી ઊર્જા $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = 0 - (-\frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}) = \frac{3}{5} \frac{GM^2}{R}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x}{5} \frac{GM^2}{R}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \, N$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = (0, 0, 0)$,સમય $t = 4 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $\vec{a}$:
$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k} \, m/s^2$.
સ્થાન માટે ગતિના સમીકરણ $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = 0 + 0 + \frac{1}{2} (\hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k}) (4)^2$
$\vec{r} = \frac{1}{2} (\hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k}) (16)$
$\vec{r} = 8 \hat{i} + 12 \hat{j} + 20 \hat{k}$.
આને આપેલા યામ $(8, b, 20)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = 12$ મળે છે.

(B) ધારો કે $V_{sw} = 12 \, km/h$ એ સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાનો વેગ છે અને $v_r = 6 \, km/h$ એ નદીના પ્રવાહનો વેગ છે.
પ્રારંભિક બિંદુની બરાબર સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે તરવું જોઈએ જેથી તેના વેગનો ઘટક નદીના પ્રવાહના વેગને નાબૂદ કરે.
$V_{sw} \sin \theta = v_r$
$12 \sin \theta = 6$
$\sin \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$ (લંબ સાથેનો ખૂણો).
નદીના પ્રવાહની દિશાની સાપેક્ષમાં ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ થશે.

(A) બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{c} = \frac{3v_{1}}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{1} = \sqrt{\frac{B}{\rho_{1}}}$ અને $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_{o} = \frac{2v_{2}}{2L'} = \frac{v_{2}}{L'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{2} = \sqrt{\frac{B}{\rho_{2}}}$.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓ સમાન છે,$f_{c} = f_{o}$,તેથી $\frac{3}{4L} \sqrt{\frac{B}{\rho_{1}}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{B}{\rho_{2}}}$.
$L'$ માટે ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $L' = \frac{4L}{3} \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $L' = \frac{x}{3} L \sqrt{\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(C) ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$
નક્કર તકતી માટે,તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} mR^2$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{\frac{1}{2} mR^2}{mR^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{g \sin \theta}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} g \sin \theta$
આપેલ સમીકરણ $\frac{2}{b} g \sin \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = 3$ મળે છે.

(A) આદર્શ (કાર્નોટ) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_L}{T_H}$ છે,જ્યાં $T_H$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_L$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $\eta = 60\, \% = 0.60$ અને $T_H = 127\,^{\circ} C = 127 + 273 = 400\, K$.
કિંમતો મૂકતા: $0.60 = 1 - \frac{T_L}{400}$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{T_L}{400} = 1 - 0.60 = 0.40$.
$T_L = 0.40 \times 400 = 160\, K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_L(^{\circ} C) = 160 - 273 = -113\,^{\circ} C$.

(D) પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = 5\, m$ છે. દરેક ઉછાળા પછી દડો તેની અગાઉની ઊંચાઈના $\frac{81}{100}$ ભાગ સુધી ઉપર જાય છે. તેથી,$e^2 = \frac{81}{100}$,જેનો અર્થ છે કે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 0.9$ છે.
કુલ અંતર $S = h + 2(fh) + 2(f^2h) + \dots = h \left( \frac{1+f}{1-f} \right)$.
$h = 5$ અને $f = 0.81$ મૂકતા: $S = 5 \left( \frac{1.81}{0.19} \right) \approx 47.63\, m$.
કુલ સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \left( \frac{1+e}{1-e} \right)$.
$h = 5, g = 10, e = 0.9$ મૂકતા: $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} \left( \frac{1+0.9}{1-0.9} \right) = 19\, s$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{av} = \frac{S}{t} = \frac{47.63}{19} \approx 2.5\, m/s$.

(B) અરેખીય બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશો = $3$
ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો = $3$
કંપન મુક્તિના અંશો = $2 \times 2 = 4$ (કારણ કે દરેક કંપન મોડ $2$ મુક્તિના અંશો ધરાવે છે).
કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 3 + 4 = 10$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\beta$ (જેને ઘણીવાર $\gamma$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) સૂત્ર $\beta = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\beta = 1 + \frac{2}{10} = 1 + 0.2 = 1.2$.

(D) ડેમ્પિંગ દોલકનો કંપનવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-(b/2m)t}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે: $A_0 = 12 \, cm$, $A(t) = 6 \, cm$, $m = 1 \, kg$, $t = 2 \, \text{મિનિટ }= 120 \, s$.
કિંમતો મૂકતા: $6 = 12 e^{-(b / (2 \times 1)) \times 120}$.
$0.5 = e^{-60b}$, જેનો અર્થ છે કે $e^{60b} = 2$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $60b = \ln 2$.
આપેલ છે કે $\ln 2 = 0.693$, તેથી $60b = 0.693$.
$b = 0.693 / 60 = 0.01155 \, kg \, s^{-1}$.
બે સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા, $b \approx 1.16 \times 10^{-2} \, kg \, s^{-1}$.

(D) હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ એ $h$ ઊંડાઈએ હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ $P$ જેટલું હોય છે,જે $P = h \rho g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$h = 2 \, km = 2000 \, m$,$\rho = 1000 \, kg \, m^{-3}$,અને $g = 9.8 \, m \, s^{-2}$ છે.
$P = 2000 \times 1000 \times 9.8 = 1.96 \times 10^{7} \, N \, m^{-2}$.
હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેન એ આંશિક સંકોચન $\frac{\Delta V}{V} = 1.36 \, \% = 1.36 \times 10^{-2}$ છે.
હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેસ અને હાઇડ્રોલિક સ્ટ્રેનનો ગુણોત્તર એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B = \frac{P}{\Delta V / V}$ છે.
$B = \frac{1.96 \times 10^{7}}{1.36 \times 10^{-2}} \approx 1.44 \times 10^{9} \, N \, m^{-2}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(T^2 \propto r^3)$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto r^{3/2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ અને સપાટીથી ઊંચાઈ $h$ નો સરવાળો છે $(r = R + h)$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે: $r_1 = R + 11R = 12R$ અને $T_1 = 24\, \text{hours}$.
બીજા ઉપગ્રહ માટે: $r_2 = R + 2R = 3R$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{24}{T_2} = \left(\frac{12R}{3R}\right)^{3/2} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{8} = 3\, \text{hours}$.

(A) ગતિ કરતા તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y(x, t) = A \sin(kx - \omega t)$ છે.
આપેલ આવૃત્તિ $f = 245 \,Hz$,ઝડપ $v = 300 \,ms^{-1}$,અને કુલ પથ લંબાઈ (પીક-ટુ-પીક) $= 6 \,cm$.
કંપવિસ્તાર $A = \frac{6 \,cm}{2} = 3 \,cm = 0.03 \,m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 245 \approx 1538.6 \,rad/s \approx 1.5 \times 10^{3} \,rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\omega}{v} = \frac{1538.6}{300} \approx 5.12 \,m^{-1} \approx 5.1 \,m^{-1}$.
આ કિંમતો મૂકતા,સમીકરણ $Y(x, t) = 0.03 \sin(5.1 x - 1.5 \times 10^{3} t)$ મળે છે.

(B) સમતાપી (isothermal) પ્રક્રિયામાં તાપમાન $T$ અચળ રહે છે. એડિબેટિક (adiabatic) પ્રક્રિયામાં,ચલો વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$,$TV^{\gamma-1} = \text{constant}$,અને $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$(a)$ $P-V$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ $PV = \text{constant}$ વક્ર છે,અને એડિબેટિક પ્રક્રિયા એ વધુ ઢાળવાળો વક્ર $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે. આલેખ એડિબેટિક માટે ઉભી રેખા દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
$(b)$ $P-T$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ ઉભી રેખા $(T = \text{constant})$ છે. આલેખ આડી રેખા દર્શાવે છે,જે ખોટું છે.
$(c)$ $V-T$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ ઉભી રેખા $(T = \text{constant})$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $TV^{\gamma-1} = \text{constant}$ ને અનુસરે છે,જે એક વક્ર છે. આ આલેખ સાચો છે.
$(d)$ $P-T$ આલેખમાં,સમતાપી પ્રક્રિયા એ ઉભી રેખા $(T = \text{constant})$ છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા $T^{\gamma}P^{1-\gamma} = \text{constant}$ ને અનુસરે છે,જે એક વક્ર છે. આ આલેખ સાચો છે.
આમ,આલેખ $(c)$ અને $(d)$ સાચા છે.

(B) વેગ $v = \frac{dx}{dt} = v_{0} + gt + Ft^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 1$ સમયે સ્થાનાંતર $s$ શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 1$ સુધી વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીએ છીએ:
$s = \int_{0}^{1} v dt = \int_{0}^{1} (v_{0} + gt + Ft^{2}) dt$
$s = [v_{0}t + \frac{gt^{2}}{2} + \frac{Ft^{3}}{3}]_{0}^{1}$
સીમાઓ $t = 0$ અને $t = 1$ મૂકતા:
$s = (v_{0}(1) + \frac{g(1)^{2}}{2} + \frac{F(1)^{3}}{3}) - (0)$
$s = v_{0} + \frac{g}{2} + \frac{F}{3}$

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ છે.
આપેલ છે કે કણો $A$ અને $B$ ના મહત્તમ વેગ સમાન છે,તેથી $v_{max, A} = v_{max, B}$.
તેથી,$A_{1}\omega_{1} = A_{2}\omega_{2}$.
કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર મૂકતા: $A_{1}\sqrt{\frac{K_{1}}{m}} = A_{2}\sqrt{\frac{K_{2}}{m}}$.
દળ $m$ સમાન હોવાથી,તે ઉડી જશે: $A_{1}\sqrt{K_{1}} = A_{2}\sqrt{K_{2}}$.
કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{1}}{A_{2}}$ શોધવા માટે ગોઠવતા,આપણને $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}$ મળે છે.
આમ,$A$ અને $B$ ના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}$ છે.

(A) $1$. જ્યારે બ્લોક $C$ બ્લોક $A$ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે તેની સાથે ચોંટી જાય છે (ધારી લઈએ કે અથડામણ સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક છે). તંત્ર $(C+A)$ માટે રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = (m+m)V_A \Rightarrow V_A = v/2$.
$2$. હવે,આપણી પાસે એક તંત્ર છે જેમાં બ્લોક $A$ ($C$ સાથે જોડાયેલ) $v/2$ વેગથી બ્લોક $B$ તરફ ગતિ કરે છે,જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે.
$3$. સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ સંકોચન ત્યારે થાય છે જ્યારે બંને બ્લોક $(A+C)$ અને $B$ સમાન વેગ $V_{cm}$ થી ગતિ કરે.
$4$. સમગ્ર તંત્ર $(C+A+B)$ માટે રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $mv = (m+m+m)V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = v/3$.
$5$. યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 = \frac{1}{2}(3m)(v/3)^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2$.
$6$. $\frac{1}{2}(2m)(v^2/4) = \frac{1}{2}(3m)(v^2/9) + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{mv^2}{4} = \frac{mv^2}{6} + \frac{1}{2}Kx_{max}^2$.
$7$. $\frac{1}{2}Kx_{max}^2 = \frac{mv^2}{4} - \frac{mv^2}{6} = \frac{3mv^2 - 2mv^2}{12} = \frac{mv^2}{12}$.
$8$. $x_{max}^2 = \frac{mv^2}{6K} \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{\frac{m}{6K}}$.
*નોંધ: જો અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોય,તો $C$ સ્થિર થઈ જાય છે અને $A$ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે. ત્યારે $mv = (m+m)V_{cm} \Rightarrow V_{cm} = v/2$. ઉર્જા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(2m)(v/2)^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4}mv^2 + \frac{1}{2}Kx_{max}^2 \Rightarrow \frac{1}{2}Kx_{max}^2 = \frac{1}{4}mv^2 \Rightarrow x_{max} = v\sqrt{\frac{m}{2K}}$. આ વિકલ્પ $A$ સાથે મેળ ખાય છે.*

(C) સરક્યા વિના ઢળતા સમતલ પર ઉપર જતાં ગોળા માટે પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} mR^2$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,$a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{g \sin \theta}{7/5} = \frac{5}{7} g \sin \theta$.
અહીં $g = 9.8 \, m/s^2$,$\theta = 30^{\circ}$,અને $v_0 = 1 \, m/s$ આપેલ છે.
$g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા: $a = \frac{5}{7} \times 9.8 \times \sin(30^{\circ}) = \frac{5}{7} \times 9.8 \times 0.5 = 3.5 \, m/s^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{up} = \frac{v_0}{a} = \frac{1}{3.5} = \frac{2}{7} \, s$.
બિંદુ $A$ પર પાછા આવવા માટેનો કુલ સમય $T = 2 \times t_{up} = 2 \times \frac{2}{7} = \frac{4}{7} \approx 0.57 \, s$.

(C) પદાર્થને ગતિમાં લાવવા માટે,લગાડેલ બળ $F$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N$ ને પાર કરવું જોઈએ.
બળોના ઘટકો લેતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F \cos \theta = f_L = \mu N$
શિરોલંબ ઘટક: $F \sin \theta + N = mg \Rightarrow N = mg - F \sin \theta$
ઘર્ષણના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા:
$F \cos \theta = \mu (mg - F \sin \theta)$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$
$F$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,છેદ $D = \cos \theta + \mu \sin \theta$ ને મહત્તમ કરવો પડે. $a \cos \theta + b \sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$D_{\max} = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$F_{\min} = \frac{\mu mg}{D_{\max}} = \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}}) \times 1 \times 10}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{10}{2} = 5 \, N$.

(D) ધારો કે દોરડામાં તણાવ $T$ છે. છોકરો દોરડા પર $F = T$ જેટલું બળ લગાવે છે.
તંત્ર (છોકરો + લાકડું) માટે,કુલ દળ $M = 4 \, kg + 5 \, kg = 9 \, kg$ છે.
તંત્ર પર લાગતા શિરોલંબ બળો જમીન દ્વારા લંબ પ્રતિક્રિયા $N$,છોકરા પર ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ લાગતું કુલ વજન $Mg = 9 \times 10 = 90 \, N$ છે.
શિરોલંબ બળોને સરખાવતા: $N + T = 90 \implies N = 90 - T$.
લાકડા પર લાગતા સમક્ષિતિજ બળો જમણી તરફ ખેંચતું તણાવ $T$ અને ડાબી તરફ લાગતું સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N$ છે.
લાકડું ખસે નહીં તે માટે,$T \leq f_L$.
$T \leq \mu N = 0.5(90 - T)$.
$T \leq 45 - 0.5T$.
$1.5T \leq 45$.
$T \leq \frac{45}{1.5} = 30 \, N$.
આમ,છોકરો લગાવી શકે તેવું મહત્તમ બળ $30 \, N$ છે.

(B) $100$ ટીપાંનું કુલ કદ $V_{total} = 100 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
આપેલ છે કે $r = \left(\frac{3}{40 \pi}\right)^{1/3} \times 10^{-3} \, cm$,તેથી $r^3 = \frac{3}{40 \pi} \times 10^{-9} \, cm^3$.
$V_{total} = 100 \times \frac{4}{3} \pi \times \frac{3}{40 \pi} \times 10^{-9} = 10^{-8} \, cm^3$.
સ્તરની જાડાઈ $t_T$ એ $Area \times t_T = V_{total}$ દ્વારા મળે છે.
$4 \, cm^2 \times t_T = 10^{-8} \, cm^3 \implies t_T = 0.25 \times 10^{-8} = 25 \times 10^{-10} \, cm$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $t_T = 25 \times 10^{-12} \, m$.
ઓલિક એસિડની સાંદ્રતા $0.01$ છે,તેથી ઓલિક એસિડના સ્તરની જાડાઈ $t_0 = 0.01 \times t_T$ થશે.
$t_0 = 0.01 \times 25 \times 10^{-12} \, m = 25 \times 10^{-14} \, m$.
$x \times 10^{-14} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 25$ મળે છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ક્વાર્ટર ડિસ્ક જે પ્રથમ ચરણમાં છે,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{cm}, Y_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$
$Y_{cm} = \frac{4R}{3\pi}$
આને આપેલ સ્થાન $(\frac{x}{3} \frac{R}{\pi}, \frac{x}{3} \frac{R}{\pi})$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{3} \frac{R}{\pi} = \frac{4R}{3\pi}$
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(A) ધારો કે $m_{1}$ દળનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને અથડામણ પછી $m_{1}$ અને $m_{2}$ ના અંતિમ વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $v$ છે. અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,આપણે રેખીય વેગમાન સંરક્ષણ અને રિસ્ટિટ્યુશનના ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
રેખીય વેગમાનનું સંરક્ષણ:
$m_{1}u = m_{2}v - m_{1}v$
$m_{1}u = v(m_{2} - m_{1})$ --- $(1)$
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે રિસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1$:
$e = \frac{v_{sep}}{v_{app}} = \frac{v - (-v)}{u - 0} = 1$
$2v = u$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માં $u = 2v$ મૂકતા:
$m_{1}(2v) = v(m_{2} - m_{1})$
$2m_{1} = m_{2} - m_{1}$
$m_{2} = 3m_{1}$
$\frac{m_{2}}{m_{1}} = 3$
આમ,$m_{2} : m_{1}$ નો ગુણોત્તર $3:1$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$
વિકલિત શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P V^{\gamma-1}}{V^{\gamma}}$
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
બંને બાજુ $dV$ વડે ગુણીને $P$ વડે ભાગતા,દબાણમાં થતો આંશિક ફેરફાર મળે છે:
$\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$

(C) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને $r$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળમાં વાળવામાં આવે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $\pi r = L$ થાય.
આમ,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{\pi}$ મળે.
તારના તમામ બિંદુઓ અર્ધવર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોવાથી,કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm = r^2 \int dm$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\int dm = M$ હોવાથી,$I = Mr^2$ થાય.
$r = \frac{L}{\pi}$ કિંમત મૂકતા,$I = M \left( \frac{L}{\pi} \right)^2 = \frac{ML^2}{\pi^2}$ મળે છે.

(C) આપેલ આલેખ પરથી,વેગ $v$ એ સ્થળાંતર $x$ ના વિધેય તરીકે ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v = -\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)x + v_{0}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$a = v \frac{dv}{dx}$
સૌ પ્રથમ,વિકલન $\frac{dv}{dx}$ શોધો:
$\frac{dv}{dx} = -\frac{v_{0}}{x_{0}}$
હવે,$a$ ના સમીકરણમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = \left[-\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)x + v_{0}\right] \left[-\frac{v_{0}}{x_{0}}\right]$
$a = \left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)^{2}x - \frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$
આ સમીકરણ ધન ઢાળ $\left(\frac{v_{0}}{x_{0}}\right)^{2}$ અને ઋણ આંતરછેદ $-\frac{v_{0}^{2}}{x_{0}}$ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. વિકલ્પો જોતા,આલેખ $C$ એ રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $a$ એ ઋણ મૂલ્યથી શરૂ કરીને $x$ સાથે વધે છે,જે આપણા તારવેલા સમીકરણ સાથે સુસંગત છે.

(D) વિષુવવૃત્ત પરની વસ્તુઓ તરવા લાગે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ જેટલું હોવું જોઈએ.
$mg = m \omega^2 R$
જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega = \sqrt{\frac{g}{R}}$
દિવસનો સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$
આપેલ છે $g = 10 \, m/s^2$ અને $R = 6400 \times 10^3 \, m$:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6400 \times 10^3}{10}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{640000}$
$T = 6.28 \times 800 = 5024 \, s$
સમયગાળાને મિનિટમાં ફેરવવા માટે:
$T_{\text{min}} = \frac{5024}{60} \approx 83.73 \, \text{minutes}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,સમયગાળો આશરે $84 \, \text{minutes}$ થાય છે.

(D) ધારો કે ગ્રહ તેની લંબગોળ કક્ષામાં સૂક્ષ્મ સમયગાળા $dt$ માં $ds$ જેટલું સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર કરે છે.
આ સમયગાળામાં સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ $dA$ એ $r$ અને $ds$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે:
$dA = \frac{1}{2} |\vec{r} \times d\vec{s}| = \frac{1}{2} r ds \sin \theta$
જ્યાં $\theta$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{s}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ક્ષેત્રીય વેગ એ સમયની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે:
$\text{ક્ષેત્રીય વેગ} = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r \sin \theta \frac{ds}{dt}$
ગ્રહનો વેગ $v = \frac{ds}{dt}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r v \sin \theta$
ગ્રહના દળ $M$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2M} (M v r \sin \theta)$
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = Mvr \sin \theta$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2M}$

(D) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ નો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega'}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega'$ એ $SHM$ ની કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે $T = \frac{\pi}{\omega}$,તેથી $\frac{\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\omega'}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega' = 2\omega$.
આપણે એવું વિધેય શોધવાનું છે જે $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $SHM$ દર્શાવે.
વિકલ્પ $(C)$ માટે: $\sin^2(\omega t) = \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2\omega t)$. આ એક અચળ પદ અને $2\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતી $SHM$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(D)$ માટે: $3 \cos \left(\frac{\pi}{4} - 2\omega t\right) = 3 \cos \left(2\omega t - \frac{\pi}{4}\right)$. આ $x(t) = A \cos(\omega' t + \phi)$ સ્વરૂપનું પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ છે,જેમાં કોણીય આવૃત્તિ $\omega' = 2\omega$ છે.
બંને $(C)$ અને $(D)$ સાચી આવૃત્તિ ધરાવે છે,પરંતુ $(D)$ એ શુદ્ધ $SHM$ વિધેય છે,જ્યારે $(C)$ માં અચળ પદનો સમાવેશ થાય છે.

(C) ધારો કે નક્કર નળાકાર સંતુલનમાં છે.
ઢળતા સમતલ પર લાગતા બળો તણાવ $T$ અને ઘર્ષણ $f$ છે. સમતલની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \sin 60^{\circ}$ છે.
સ્થળાંતર સંતુલન માટે: $T + f = mg \sin 60^{\circ} \quad ......(i)$
નળાકારના કેન્દ્રની આસપાસ પરિભ્રમણીય સંતુલન માટે: $TR - fR = 0 \implies T = f \quad ......(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2f = mg \sin 60^{\circ} \implies f = \frac{mg \sin 60^{\circ}}{2} = \frac{mg \sqrt{3}}{4} \approx 0.433 mg$.
મર્યાદિત ઘર્ષણ $f_{L} = \mu_{s} N = \mu_{s} mg \cos 60^{\circ} = 0.4 \times mg \times 0.5 = 0.2 mg$ છે.
જરૂરી ઘર્ષણ $(0.433 mg)$ એ મર્યાદિત ઘર્ષણ $(0.2 mg)$ કરતા વધારે હોવાથી,નળાકાર સ્થિર સંતુલનમાં રહેશે નહીં અને નીચે ગબડશે.
લાગતું ઘર્ષણ ગતિક ઘર્ષણ હશે: $f_{k} = \mu_{k} N$. જો આપણે $\mu_{k} = \mu_{s} = 0.4$ લઈએ,તો $f_{k} = 0.4 \times mg \times 0.5 = 0.2 mg = \frac{mg}{5}$ મળે છે.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા $U(r) = -\frac{C}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળ $F$ એ સ્થિતિ ઊર્જાનું ઋણ વિકલન છે: $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}\left(-\frac{C}{r}\right) = -\frac{C}{r^2}$.
વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય કેન્દ્રીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $|F| = \frac{mv^2}{r}$.
બંને મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{C}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{C}{r} = mv^2$,જે સૂચવે છે કે $r = \frac{C}{mv^2}$.
તેથી,$r \propto \frac{1}{v^2}$.
આ સંબંધ એક એવો વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં $v$ વધવાની સાથે $r$ ઝડપથી ઘટે છે,જે વિકલ્પ $A$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(D) એન્ટ્રોપી એ થર્મોડાયનેમિક સિસ્ટમનો વિસ્તૃત ગુણધર્મ (extensive property) છે.
વિસ્તૃત ગુણધર્મ એવો ગુણધર્મ છે જેનું મૂલ્ય સિસ્ટમમાં હાજર પદાર્થના જથ્થા અથવા કદ પર આધાર રાખે છે.
એન્ટ્રોપી સરવાળાના ગુણધર્મનું પાલન કરતી હોવાથી,જ્યારે પિસ્ટન દૂર કરીને બે ભાગોને જોડવામાં આવે ત્યારે સિસ્ટમની કુલ એન્ટ્રોપી એ વ્યક્તિગત ભાગોની એન્ટ્રોપીનો સરવાળો થાય છે.
તેથી,કુલ એન્ટ્રોપી $S_{\text{total}} = S_{1} + S_{2}$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુનો રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુનો સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
rms વેગ અને સરેરાશ વેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરીએ:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \frac{\sqrt{\frac{3RT}{M}}}{\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$R$,$T$ અને $M$ પદો ઉડી જાય છે:
$\frac{v_{rms}}{v_{avg}} = \sqrt{\frac{3RT}{M} \times \frac{\pi M}{8RT}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{3\pi}{8}}$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 5\, g = 5 \times 10^{-3}\, kg$. પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \sqrt{2}\, m/s$,ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે ઝડપ સમાન હોય છે,તેથી અંતિમ વેગનું મૂલ્ય $v = u = 5 \sqrt{2}\, m/s$ થાય.
પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{u} = u \cos 45^{\circ} \hat{i} + u \sin 45^{\circ} \hat{j}$ છે.
બિંદુ $B$ પર અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v} = u \cos 45^{\circ} \hat{i} - u \sin 45^{\circ} \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta \vec{P} = m(\vec{v} - \vec{u}) = m(u \cos 45^{\circ} \hat{i} - u \sin 45^{\circ} \hat{j} - (u \cos 45^{\circ} \hat{i} + u \sin 45^{\circ} \hat{j}))$.
$\Delta \vec{P} = m(-2u \sin 45^{\circ} \hat{j}) = -2mu \sin 45^{\circ} \hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{P}| = 2mu \sin 45^{\circ}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $|\Delta \vec{P}| = 2 \times (5 \times 10^{-3}) \times (5 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 \times 5 \times 10^{-3} \times 5 = 50 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-2}\, kg \cdot m/s$.
$x \times 10^{-2}$ સાથે સરખાવતા,$x = 5$ મળે છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ સંકોચન સમયે દડાની ગતિ ઉર્જા સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ધારો કે સ્પ્રિંગમાં થતું સંકોચન $y$ છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય અથવા ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ:
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} ky^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 4\, kg$,$v = 10\, ms^{-1}$,$k = 100\, Nm^{-1}$.
$\frac{1}{2} \times 4 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times y^2$
$2 \times 100 = 50 \times y^2$
$200 = 50 \times y^2$
$y^2 = 4$
$y = 2\, m$
સ્પ્રિંગની પ્રારંભિક લંબાઈ $8\, m$ છે. સંકોચાયેલી લંબાઈ $x$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \text{પ્રારંભિક લંબાઈ} - \text{સંકોચન}$
$x = 8 - 2 = 6\, m$.
આમ,$x$ નું મૂલ્ય $6$ છે.

(A) આપેલ છે:
ભારનું દળ $m = 24\, kg$
ટાંકીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.4\, m^{2}$
બાકોરાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a = 1\, cm^{2} = 10^{-4}\, m^{2}$
પાણીની ઊંચાઈ $H = 40\, cm = 0.4\, m$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, ms^{-2}$
પાણીની ઘનતા $\rho = 1000\, kg/m^{3}$
ઉપરની સપાટી અને બાકોરા $B$ પર બર્નુલીનું સમીકરણ વાપરતા:
$P_{top} + \rho gH + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$
જ્યાં $P_{top} = P_{atm} + \frac{mg}{A}$
કિંમતો મૂકતા:
$(P_{atm} + \frac{mg}{A}) + \rho gH = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$ ($A \gg a$ હોવાથી $v_{1} \approx 0$ લેતા)
$\frac{mg}{A} + \rho gH = \frac{1}{2}\rho v^{2}$
$v = \sqrt{2gH + \frac{2mg}{A\rho}}$
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.4 + \frac{2 \times 24 \times 10}{0.4 \times 1000}}$
$v = \sqrt{8 + \frac{480}{400}} = \sqrt{8 + 1.2} = \sqrt{9.2}$
$v \approx 3.033\, m/s$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$v = 3\, m/s$.

(C) સૌ પ્રથમ,સમાંતર જોડાણમાં રહેલા અવરોધોને ઓળખો. $50 \, \Omega$ અને $20 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{p}$ નીચે મુજબ મળે:
$R_{p} = \frac{50 \times 20}{50 + 20} = \frac{1000}{70} = \frac{100}{7} \, \Omega$
હવે,આ સમાંતર જોડાણ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સર્કિટનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = 10 + \frac{100}{7} = \frac{70 + 100}{7} = \frac{170}{7} \, \Omega$
સર્કિટમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{170}{\frac{170}{7}} = 7 \, \text{A}$
ઓમના નિયમ મુજબ $10 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $x$:
$x = I \times R = 7 \, \text{A} \times 10 \, \Omega = 70 \, \text{V}$

(B) કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે $(C_{1})$ અને બીજું હવા સાથે $(C_{2})$.
આપેલ છે: $A = 100\, m^{2}$,$d = 10\, m$,$t = 5\, m$,$K = 10$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$.
ડાયઇલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $t = 5\, m$ છે અને હવાના ગાળાની જાડાઈ $d - t = 10 - 5 = 5\, m$ છે.
$C_{1} = \frac{K \varepsilon_{0} A}{t} = \frac{10 \times \varepsilon_{0} \times 100}{5} = 200 \varepsilon_{0}$.
$C_{2} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t} = \frac{\varepsilon_{0} \times 100}{5} = 20 \varepsilon_{0}$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{(200 \varepsilon_{0})(20 \varepsilon_{0})}{200 \varepsilon_{0} + 20 \varepsilon_{0}} = \frac{4000 \varepsilon_{0}^{2}}{220 \varepsilon_{0}} = \frac{400}{22} \varepsilon_{0} = \frac{200}{11} \varepsilon_{0}$.
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$ મૂકતા:
$C_{eq} = \frac{200}{11} \times 8.85 \times 10^{-12} F = 18.1818 \times 8.85 \times 10^{-12} F \approx 160.909 \times 10^{-12} F$.
$1\, pF = 10^{-12} F$ હોવાથી,$C_{eq} \approx 160.909\, pF$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 161$.

(B) કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો પાવર ગેઈન $(A_p)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A_p = \beta^2 \times \frac{R_o}{R_i}$, જ્યાં $\beta$ એ કરંટ ગેઈન છે, $R_o$ એ આઉટપુટ અવરોધ છે, અને $R_i$ એ ઇનપુટ અવરોધ છે.
આપેલ છે: $A_p = 10^6$, $R_i = 100\, \Omega$, અને $R_o = 10\, k\Omega = 10^4\, \Omega$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$10^6 = \beta^2 \times \frac{10^4}{10^2}$
$10^6 = \beta^2 \times 10^2$
$\beta^2 = \frac{10^6}{10^2} = 10^4$
$\beta = \sqrt{10^4} = 100$.
આમ, કોમન એમિટર કરંટ ગેઈન $\beta$ નું મૂલ્ય $100$ છે.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. પ્રથમ બે $NAND$ ગેટ $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે કારણ કે તેમના ઇનપુટ શોર્ટ કરેલા છે. તેથી,આ ગેટના આઉટપુટ અનુક્રમે $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે.
આને ત્રીજા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે આઉટપુટ $Y' = \overline{\bar{A} \cdot \bar{B}} = A + B$ આપે છે (ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ).
આ આઉટપુટ $Y'$ ને પછી છેલ્લા $NAND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Y'} = \overline{A + B}$ મળે છે.
બુલિયન સમીકરણ $Y = \overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટને અનુરૂપ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$0$

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ માં વેગ $\vec{v}$ થી ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_m$ લોરેન્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,બળ $\vec{F}_m$ હંમેશા વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ બંનેને લંબ હોય છે.
સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ એ વેગ $\vec{v}$ ની દિશામાં હોવાથી (એટલે કે $d\vec{l} = \vec{v} dt$),બળ $\vec{F}_m$ એ સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ ને પણ લંબ હોય છે.
ચુંબકીય બળ દ્વારા થતું કાર્ય $dW = \vec{F}_m \cdot d\vec{l} = F_m dl \cos(90^\circ)$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\cos(90^\circ) = 0$ છે,તેથી કાર્ય $dW = 0$ થાય છે.
આમ,ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવતું કુલ કાર્ય $0$ છે.

(A) અનંત રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\lambda = 8 \times 10^{-9} \, C/m$ અને $r = x = 3 \, m$ આપેલ છે.
$x = 3 \, m$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{8 \times 10^{-9}}{2 \pi \varepsilon_0 (3)}$ થશે.
વાહકની સપાટી પર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ માટેની સીમા શરત મુજબ,$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,તેથી $\sigma = E \varepsilon_0$.
$E$ ની કિંમત મૂકતા,$\sigma = \frac{\lambda}{2 \pi r} = \frac{8 \times 10^{-9}}{2 \pi (3)}$.
$\sigma = \frac{8 \times 10^{-9}}{6 \pi} \approx 0.424 \times 10^{-9} \, C/m^2 = 0.424 \, nC/m^2$.

(D) $V$ સ્થિતિમાન દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ ધરાવતા કણ માટે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$,$q$ અને $V$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,તરંગલંબાઇ એ દળના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{m_{P}}{m_{e}}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{P}} = \sqrt{\frac{1.00727}{0.00055}} \approx \sqrt{1831.4} \approx 42.79$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને આશરે $43: 1$ મળે છે.

(C) આપેલ છે,પ્રાયમરી વોલ્ટેજ $V_P = 220 \ V$,સેકન્ડરી પાવર $P_S = 60 \ W$,અને સેકન્ડરી પ્રવાહ $I_S = 0.11 \ A$.
સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $V_S$ સૂત્ર $V_S = \frac{P_S}{I_S}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_S = \frac{60}{0.11} \approx 545.45 \ V$.
અહીં $V_S > V_P$ $(545.45 \ V > 220 \ V)$ હોવાથી,સેકન્ડરી વોલ્ટેજ એ પ્રાયમરી વોલ્ટેજ કરતા વધારે છે.
તેથી,આ ટ્રાન્સફોર્મર સ્ટેપ-અપ ટ્રાન્સફોર્મર છે.

(B) એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
પ્રથમ, અર્ધ-આયુષ્ય સમયને સેકન્ડમાં ફેરવો: $T_{1/2} = 2.7 \times 24 \times 3600 \, s = 233280 \, s$.
પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{1.5 \times 10^{-3} \, g}{198 \, g/mol} \times 6 \times 10^{23} \, mol^{-1} \approx 4.545 \times 10^{18} \, atoms$ છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda = \frac{0.693}{233280 \, s} \approx 2.97 \times 10^{-6} \, s^{-1}$.
એક્ટિવિટી $A = \lambda N = (2.97 \times 10^{-6} \, s^{-1}) \times (4.545 \times 10^{18}) \approx 1.35 \times 10^{13} \, Bq$.
કારણ કે $1 \, Ci = 3.7 \times 10^{10} \, Bq$, તેથી ક્યુરીમાં એક્ટિવિટી $A = \frac{1.35 \times 10^{13}}{3.7 \times 10^{10}} \approx 365 \, Ci$ થાય.

(B) લેન્સ મેકર્સ ફોર્મ્યુલા મુજબ:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_{L}}{\mu_{S}} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
જ્યાં $\mu_{L}$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_{S}$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
આપેલ છે કે લેન્સને સમાન વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,તેથી $\mu_{L} = \mu_{S}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \left( \frac{\mu_{L}}{\mu_{L}} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
$\frac{1}{f} = (1 - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$
$\frac{1}{f} = 0 \times \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right) = 0$
તેથી,$\frac{1}{f} = 0$ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(f = \infty)$ થશે.
આમ,લેન્સ એક સમતલ કાચની પ્લેટ તરીકે વર્તે છે.

(D) અવરોધકમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય ઊર્જા $H$ નું સૂત્ર $H = I^2 R t$ છે,જ્યાં $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,$R$ અવરોધ છે અને $t$ સમય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે આપેલ છે: $H_1 = 500 \, J$,$I_1 = 1.5 \, A$,$t = 20 \, s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $500 = (1.5)^2 \times R \times 20$.
$500 = 2.25 \times R \times 20 \implies 500 = 45 \times R \implies R = \frac{500}{45} = \frac{100}{9} \, \Omega$.
બીજા કિસ્સા માટે: $I_2 = 3 \, A$,$t = 20 \, s$.
નવી ઊર્જા $H_2$ છે: $H_2 = I_2^2 \times R \times t$.
$H_2 = (3)^2 \times \left(\frac{100}{9}\right) \times 20$.
$H_2 = 9 \times \left(\frac{100}{9}\right) \times 20 = 100 \times 20 = 2000 \, J$.

(B) $h$ ઊંચાઈના બે એન્ટેના વચ્ચે લાઇન-ઓફ-સાઇટ કોમ્યુનિકેશન માટે,મહત્તમ અંતર $D$ નું સૂત્ર $D = \sqrt{2Rh_t} + \sqrt{2Rh_r}$ છે.
ટાવર સમાન હોવાથી,$h_t = h_r = h$,તેથી $D = 2\sqrt{2Rh}$.
અહીં $D = 45 \, km$ અને $R = 6400 \, km$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$D^2 = 4(2Rh) = 8Rh$ મળે.
તેથી,$h = \frac{D^2}{8R}$.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{45^2}{8 \times 6400} \, km = \frac{2025}{51200} \, km$.
$h \approx 0.03955 \, km = 39.55 \, m$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા $l$ લંબાઈના વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય emf $E = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસ લૂપમાં $x$ અને $x+d$ સ્થાન પર $d$ લંબાઈની બે ઉભી બાજુઓ છે.
$x+d$ સ્થાન પરની બાજુમાં પ્રેરિત emf $E _{1} = B(x+d) \cdot d \cdot v _{0} = B _{0} \left( \frac{x+d}{a} \right) d v _{0}$ છે.
$x$ સ્થાન પરની બાજુમાં પ્રેરિત emf $E _{2} = B(x) \cdot d \cdot v _{0} = B _{0} \left( \frac{x}{a} \right) d v _{0}$ છે.
લૂપમાં કુલ પ્રેરિત emf આ બે emf વચ્ચેનો તફાવત છે: $E _{net} = E _{1} - E _{2}$.
$E _{net} = \frac{B _{0} d v _{0}}{a} (x+d - x) = \frac{B _{0} v _{0} d ^{2}}{a}$.

(B) સમય $t$ પછી બાકી રહેલા પદાર્થનો જથ્થો $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$33\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_1 = N_0(1 - 0.33) = 0.67 N_0$ છે. તેથી,$0.67 = e^{-\lambda t_1}$,જે આપે છે $t_1 = -\frac{1}{\lambda} \ln(0.67)$.
$67\%$ ક્ષય માટે,બાકી રહેલો જથ્થો $N_2 = N_0(1 - 0.67) = 0.33 N_0$ છે. તેથી,$0.33 = e^{-\lambda t_2}$,જે આપે છે $t_2 = -\frac{1}{\lambda} \ln(0.33)$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1 = -\frac{1}{\lambda} (\ln(0.33) - \ln(0.67)) = \frac{1}{\lambda} \ln(\frac{0.67}{0.33})$.
કારણ કે $\frac{0.67}{0.33} \approx 2.03 \approx 2$,તેથી $\Delta t \approx \frac{\ln 2}{\lambda} = t_{1/2}$.
આપેલ છે કે $t_{1/2} = 20\, minutes$,તેથી સમયગાળો આશરે $20\, minutes$ છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ તમામ રંગો માટે સમાન હોય છે. ઝડપ, આવૃત્તિ $(f)$ અને તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. લાલ પ્રકાશ અને વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ અલગ-અલગ $(\lambda_{red} > \lambda_{blue})$ હોવાથી, સમાન ઝડપ $c$ જાળવી રાખવા માટે તેમની આવૃત્તિઓ પણ અલગ-અલગ $(f_{red} < f_{blue})$ હોવી જોઈએ. તેથી, તેઓ આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઇ બંનેમાં અલગ પડે છે.

(D) અવરોધક દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જાનું સૂત્ર $H = i^{2}Rt$ છે.
આપેલ છે:
ઉર્જા $H = 10 \, mJ = 10 \times 10^{-3} \, J$
સમય $t = 1 \, s$
પ્રવાહ $i = 2 \, mA = 2 \times 10^{-3} \, A$
અવરોધ $R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{H}{i^{2}t}$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{10 \times 10^{-3}}{(2 \times 10^{-3})^{2} \times 1}$
$R = \frac{10 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-6} \times 1}$
$R = \frac{10 \times 10^{3}}{4} = 2.5 \times 10^{3} = 2500 \, \Omega$.

(C) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t + \frac{t}{K}}$
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, m^{2}$
કુલ અંતર $d = 1 \, m$
ડાયલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $t = 0.5 \, m$
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 3.2$
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_{0} \times 2}{1 - 0.5 + \frac{0.5}{3.2}}$
$C = \frac{2 \varepsilon_{0}}{0.5 + 0.15625}$
$C = \frac{2 \varepsilon_{0}}{0.65625}$
$C \approx 3.047 \, \varepsilon_{0}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3 \, \varepsilon_{0}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\omega_{1} = 0.02, \mu_{1} = 1.5$ (ક્રાઉન ગ્લાસ) અને $\omega_{2} = 0.03, \mu_{2} = 1.6$ (ફ્લિન્ટ ગ્લાસ).
એક્રોમેટિક સંયોજન માટે,ચોખ્ખું વિભાજન શૂન્ય છે,તેથી $\theta_{1} = \theta_{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_{1} \delta_{1} = \omega_{2} \delta_{2}$,જ્યાં $\delta$ એ વિચલન છે.
ચોખ્ખું વિચલન $\delta_{\text{net}} = \delta_{1} - \delta_{2} = 2^{\circ}$ આપેલ છે.
વિભાજનના સમીકરણ પરથી,$\delta_{2} = \frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \delta_{1} = \frac{0.02}{0.03} \delta_{1} = \frac{2}{3} \delta_{1}$.
આને ચોખ્ખા વિચલનના સમીકરણમાં મૂકતા: $\delta_{1} - \frac{2}{3} \delta_{1} = 2^{\circ}$.
$\frac{1}{3} \delta_{1} = 2^{\circ} \implies \delta_{1} = 6^{\circ}$.
પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
ક્રાઉન ગ્લાસ પ્રિઝમ માટે: $6^{\circ} = (1.5 - 1) A_{1}$.
$6^{\circ} = 0.5 A_{1} \implies A_{1} = 12^{\circ}$.

(D) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. ઉપરની શાખામાં એક $AND$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $NOT$ ગેટ છે,જે $NAND$ ગેટ બનાવે છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot B}$ છે.
$2$. નીચેની શાખામાં એક $OR$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટને અંતિમ $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે.
$4$. અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{A \cdot B} \cdot (A + B)$ છે.
$5$. બુલિયન બીજગણિતનો ઉપયોગ કરતા: $Y = (\overline{A} + \overline{B}) \cdot (A + B) = \overline{A}A + \overline{A}B + \overline{B}A + \overline{B}B$.
$6$. કારણ કે $\overline{A}A = 0$ અને $\overline{B}B = 0$,આપણને $Y = \overline{A}B + A\overline{B}$ મળે છે.
$7$. આ $XOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલની બેન્ડવિડ્થ $BW = 2f_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_m$ એ મેસેજ સિગ્નલની આવૃત્તિ છે.
આપેલ મેસેજ સિગ્નલ $m(t) = 5 \sin(1.57 \times 10^8 t)$ માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_m = 1.57 \times 10^8 \text{ rad/s}$ છે.
કારણ કે $\omega_m = 2\pi f_m$,તેથી $f_m = \frac{\omega_m}{2\pi}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$f_m = \frac{1.57 \times 10^8}{2 \times 3.14} = \frac{1.57 \times 10^8}{6.28} = 0.25 \times 10^8 \text{ Hz} = 25 \text{ MHz}$ મળે.
તેથી,બેન્ડવિડ્થ $BW = 2f_m = 2 \times 25 \text{ MHz} = 50 \text{ MHz}$ થાય.

(A) બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર એ બે સીધા તારના ભાગો અને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે.
$1$. દરેક અર્ધ-અનંત સીધા તાર માટે,$r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{straight}} = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}$ છે. બંને તારમાં પ્રવાહ એવી દિશામાં વહે છે કે જે બિંદુ $P$ પર સમાન દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી બંને સીધા તારને કારણે કુલ ક્ષેત્ર $B_{1} = 2 \times \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ થશે.
$2$. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ માટે,તેના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{arc}} = \frac{1}{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$ છે.
$3$. કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{1} + B_{\text{arc}} = \frac{\mu_{0} I}{2 \pi r} + \frac{\mu_{0} I}{4 r}$ છે.
$4$. $\frac{\mu_{0} I}{4 \pi r}$ સામાન્ય લેતા,આપણને $B = \frac{\mu_{0} I}{4 \pi r} (2 + \pi)$ મળે છે.

(C) ધારો કે નોડ $A$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $10\, V$ અને નોડ $C$ પર $0\, V$ છે. ધારો કે નોડ $B$ અને $D$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન અનુક્રમે $x$ અને $y$ છે.
નોડ $B$ પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{x-10}{100} + \frac{x-y}{15} + \frac{x-0}{10} = 0$
$300$ વડે ગુણતા:
$3(x-10) + 20(x-y) + 30x = 0$
$3x - 30 + 20x - 20y + 30x = 0$
$53x - 20y = 30 \quad \dots(1)$
નોડ $D$ પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$\frac{y-10}{60} + \frac{y-x}{15} + \frac{y-0}{5} = 0$
$60$ વડે ગુણતા:
$(y-10) + 4(y-x) + 12y = 0$
$y - 10 + 4y - 4x + 12y = 0$
$-4x + 17y = 10 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$x = \frac{17y-10}{4}$. તેને $(1)$ માં મૂકતા:
$53(\frac{17y-10}{4}) - 20y = 30$
$901y - 530 - 80y = 120$
$821y = 650 \implies y \approx 0.7917\, V$
$x = \frac{17(0.7917)-10}{4} \approx 0.8647\, V$
ગેલ્વેનોમીટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_D = x - y = 0.8647 - 0.7917 = 0.073\, V$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = \frac{V_B - V_D}{R_g} = \frac{0.073}{15} \approx 0.00487\, A = 4.87\, mA$ થાય.

(D) વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$(a)$ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે,તેથી કળા તફાવત $0$ છે.
$(b)$ શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો પાછળ છે.
$(c)$ શુદ્ધ કેપેસિટીવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $\frac{\pi}{2}$ જેટલો આગળ હોય છે.
$(d)$ $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અથવા સમાન રીતે $\tan \phi = \frac{-(X_C - X_L)}{R}$,જે ચિહ્ન સંમેલન મુજબ $\tan^{-1}\left(\frac{X_C - X_L}{R}\right)$ ને અનુરૂપ છે.
આ સરખામણી કરતા,આપણને $(a)-(ii), (b)-(iii), (c)-(i), (d)-(iv)$ મળે છે.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણ્વીય વર્ણપટમાં વર્ણપટ રેખાઓની ઘણી શ્રેણીઓ હોય છે,જે ઇલેક્ટ્રોન સંક્રમણમાં સામેલ ઉર્જા સ્તરોના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. $Lyman$ શ્રેણી ભૂમિ અવસ્થા $(n_f = 1)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે પારજાંબલી વિભાગમાં આવેલી છે.
$2$. $Balmer$ શ્રેણી બીજા ઉર્જા સ્તર $(n_f = 2)$ માં થતા સંક્રમણને અનુરૂપ છે અને તે દ્રશ્ય વિભાગમાં આવેલી છે.
$3$. $Paschen$ શ્રેણી $(n_f = 3)$,$Brackett$ શ્રેણી $(n_f = 4)$ અને $Pfund$ શ્રેણી $(n_f = 5)$ એ તમામ ઇન્ફ્રારેડ (અવરક્ત) વિભાગમાં આવેલી છે.
તેથી,દ્રશ્ય વિભાગમાં આવતી સાચી શ્રેણી $Balmer$ શ્રેણી છે.

(B) ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = 2\pi f L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ $X_{L} \propto f$ હોવાથી,જો આવૃત્તિ $f$ અડધી કરવામાં આવે,તો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ પણ અડધો થશે.
શુદ્ધ ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{X_{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ $I \propto \frac{1}{X_{L}}$ હોવાથી,જો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ અડધો થાય,તો પ્રવાહ $I$ બમણો થશે.
તેથી,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અડધો થાય છે અને પ્રવાહ બમણો થાય છે.

(B) $P$ પાવરના સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે વિકિરણની તીવ્રતા $I = \frac{P}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધુમાં,તીવ્રતા અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E^2$ છે.
$100 \, W$ ના બલ્બ માટે: $\frac{1}{2} c \epsilon_0 E^2 = \frac{100}{4 \pi (3)^2}$.
$60 \, W$ ના બલ્બ માટે: $\frac{1}{2} c \epsilon_0 (\sqrt{\frac{x}{5}} E)^2 = \frac{60}{4 \pi (3)^2}$.
બીજા સમીકરણને પ્રથમ સમીકરણ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $(\sqrt{\frac{x}{5}})^2 = \frac{60}{100}$.
$\frac{x}{5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$x = 3$.

(C) બળ $F$ એ સ્થિતિમાન ઉર્જાના ઋણ ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = -\frac{dU}{dr} = -\frac{d}{dr}(U_{0}r^{4}) = -4U_{0}r^{3}$.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કેન્દ્રગામી બળ આ કેન્દ્રીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $\frac{mv^{2}}{r} = 4U_{0}r^{3}$,જેનો અર્થ છે કે $v^{2} \propto r^{4}$,તેથી $v \propto r^{2}$.
બોહરની ક્વોન્ટાઇઝેશન શરત મુજબ,કોણીય વેગમાન ક્વોન્ટાઇઝ્ડ છે: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
ક્વોન્ટાઇઝેશન શરતમાં $v \propto r^{2}$ મૂકતા: $m(r^{2})r \propto n$,જેનું સાદું રૂપ $r^{3} \propto n$ થાય છે.
તેથી,$r \propto n^{1/3}$.
આને $r_{n} \propto n^{1/\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = 3$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = \frac{2}{5} E_{0} \hat{i} + \frac{3}{5} E_{0} \hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે $E_{0} = 4.0 \times 10^{3} \, N/C$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.4 \, m^{2}$ છે અને તે $Y-Z$ સમતલને સમાંતર છે.
$Y-Z$ સમતલને સમાંતર સપાટી માટે ક્ષેત્રફળ સદિશ $\overrightarrow{A}$ એ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે,તેથી $\overrightarrow{A} = 0.4 \hat{i} \, m^{2}$.
વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ એ ડોટ પ્રોડક્ટ $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ દ્વારા મળે છે.
$\phi = (\frac{2}{5} E_{0} \hat{i} + \frac{3}{5} E_{0} \hat{j}) \cdot (0.4 \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ અને $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,તેથી $\phi = \frac{2}{5} E_{0} \times 0.4$.
$E_{0} = 4.0 \times 10^{3} \, N/C$ ની કિંમત મૂકતા:
$\phi = \frac{2}{5} \times (4.0 \times 10^{3}) \times 0.4$.
$\phi = 0.4 \times 4000 \times 0.4 = 1600 \times 0.4 = 640 \, N m^{2} C^{-1}$.

(D) $1$. કેપેસિટર $C_{1}$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_{1}V = 2\, \mu F \times 10\, V = 20\, \mu C$ છે.
$2$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને $C_{1}$ ને અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર $C_{2}$ સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ સંરક્ષિત રહે છે અને બંને કેપેસિટર વચ્ચે વહેંચાય છે.
$3$. જોડાણ પછીનું સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'$ નીચે મુજબ મળે છે: $V' = \frac{Q}{C_{1} + C_{2}} = \frac{20\, \mu C}{2\, \mu F + 8\, \mu F} = \frac{20}{10} = 2\, V$.
$4$. સંતુલન સ્થિતિમાં કેપેસિટર $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{2} = C_{2}V' = 8\, \mu F \times 2\, V = 16\, \mu C$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે,પ્રતિબિંબ અંતર $v = 10 \ m$ (સપાટીની પાછળ હોવાથી,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ $v = +10 \ m$).
પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે,અને પદાર્થનું અંતર $u$ એવું છે કે $v = \frac{2}{3} |u|$.
તેથી,$10 = \frac{2}{3} |u| \Rightarrow |u| = 15 \ m$. પદાર્થ સપાટીની આગળ હોવાથી,$u = -15 \ m$.
વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઇના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $\lambda_m = \frac{\lambda_a}{\mu} \Rightarrow \mu = \frac{\lambda_a}{\lambda_m} = \frac{1}{2/3} = 1.5 = \frac{3}{2}$.
ગોલીય સપાટી માટે વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{\mu}{v} - \frac{1}{u} = \frac{\mu - 1}{R}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3/2}{10} - \frac{1}{-15} = \frac{3/2 - 1}{R}$.
$\frac{3}{20} + \frac{1}{15} = \frac{1/2}{R}$.
$\frac{9 + 4}{60} = \frac{1}{2R} \Rightarrow \frac{13}{60} = \frac{1}{2R}$.
$26R = 60 \Rightarrow R = \frac{60}{26} = \frac{30}{13} \ m$.
આપેલ છે કે $R = \frac{x}{13} \ m$,બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $x = 30$ મળે છે.

(D) વહન પ્રવાહ ઘનતા $J_{c} = \sigma E = \frac{E}{\rho} = \frac{V(t)}{\rho d}$ છે.
સ્થાનાંતર પ્રવાહ ઘનતા $J_{d} = \varepsilon \frac{\partial E}{\partial t} = \varepsilon \frac{1}{d} \frac{dV}{dt} = \frac{\varepsilon}{d} V_{0} (2 \pi f) \cos(2 \pi ft)$ છે.
આપેલ છે કે $J_{c} = 10^{x} J_{d}$,તેથી $\frac{V_{0} \sin(2 \pi ft)}{\rho d} = 10^{x} \frac{\varepsilon}{d} V_{0} (2 \pi f) \cos(2 \pi ft)$.
આ સમીકરણ $\tan(2 \pi ft) = 10^{x} \cdot \rho \cdot \varepsilon \cdot 2 \pi f$ માં પરિણમે છે.
અહીં $f = 900 \, Hz$,$t = \frac{1}{800} \, s$,$\rho = 0.25 \, \Omega m$,અને $\varepsilon = 80 \varepsilon_{0}$ છે.
$2 \pi ft = 2 \pi \times 900 \times \frac{1}{800} = \frac{9 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$\tan(2 \pi ft) = \tan(\pi/4) = 1$.
હવે,$1 = 10^{x} \times 0.25 \times 80 \varepsilon_{0} \times 2 \pi \times 900$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\varepsilon_{0} = \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}}$.
$1 = 10^{x} \times 20 \times \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}} \times 1800 \pi = 10^{x} \times \frac{36000}{36 \times 10^{9}} = 10^{x} \times 10^{-6}$.
$10^{x} = 10^{6}$,જે દર્શાવે છે કે $x = 6$.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુત મોનોપોલ (વીજભારો) અસ્તિત્વ ધરાવે છે,પરંતુ ચુંબકીય મોનોપોલ અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે સોલેનોઇડની ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ બંધ ગાળાઓ બનાવે છે,તેથી તે સોલેનોઇડની બહાર સંપૂર્ણપણે સીધી અને મર્યાદિત હોઈ શકતી નથી.
વિધાન $(C)$ સાચું છે કારણ કે,આદર્શ ટોરોઇડમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બહાર શૂન્ય હોય છે અને તે કોરની અંદર સંપૂર્ણપણે મર્યાદિત હોય છે.
વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે ગજિયા ચુંબકની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.
વિધાન $(E)$ સાચું છે કારણ કે સંપૂર્ણ ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ માટે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 0$ હોય છે,અને $\mu_r = 1 + \chi$ હોવાથી,આપણને $\chi = -1$ મળે છે.
તેથી,વિધાનો $(B)$,$(C)$ અને $(E)$ સાચા છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પોના આધારે,સૌથી યોગ્ય વિકલ્પ $(D)$ $(B)$ અને $(C)$ છે,જોકે $(E)$ પણ વૈજ્ઞાનિક રીતે સાચું છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
આપેલ છે કે ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{p}}{r_{\alpha}} = \frac{2}{1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2q_{p}$ છે.
સૂત્ર $\frac{r_{p}}{r_{\alpha}} = \frac{p_{p}}{q_{p}B} \cdot \frac{q_{\alpha}B}{p_{\alpha}} = \frac{p_{p}}{p_{\alpha}} \cdot \frac{q_{\alpha}}{q_{p}} = 2$ નો ઉપયોગ કરતા.
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{p_{p}}{p_{\alpha}} \cdot \frac{2q_{p}}{q_{p}} = 2 \implies \frac{p_{p}}{p_{\alpha}} \cdot 2 = 2 \implies \frac{p_{p}}{p_{\alpha}} = 1$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$\frac{K_{p}}{K_{\alpha}} = \frac{p_{p}^2}{2m_{p}} \cdot \frac{2m_{\alpha}}{p_{\alpha}^2} = \left(\frac{p_{p}}{p_{\alpha}}\right)^2 \cdot \frac{m_{\alpha}}{m_{p}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{K_{p}}{K_{\alpha}} = (1)^2 \cdot \frac{4m_{p}}{m_{p}} = 1 \cdot 4 = 4$.
આમ,$K_{p}:K_{\alpha}$ નો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(C) તરંગ સદિશ $\vec{k}$ ની દિશામાં પ્રસરતા સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એકબીજાને લંબ હોય છે અને બંને પ્રસરણની દિશા $\vec{k}$ ને પણ લંબ હોય છે.
અહીં તરંગ y-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{j}$ છે.
તેથી,$\vec{E}$ અને $\vec{B}$ બંને xz-સમતલમાં હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો ફક્ત x અથવા z દિશામાં જ હોઈ શકે છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $\vec{E}$ એ x-અક્ષ પર હોય $(E_{x})$,તો $\vec{B}$ એ z-અક્ષ પર હોવું જોઈએ $(B_{z})$,કારણ કે $\vec{E} \times \vec{B}$ એ પ્રસરણની દિશામાં હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા: $\vec{E}$ અને $\vec{B}$ ના ઘટકો x અને z દિશામાં હોવા જોઈએ. વિકલ્પ $(C)$ માં $E_{x}, B_{z}$ અથવા $E_{z}, B_{x}$ આપેલ છે,જે શરતનું પાલન કરે છે કે બંને ક્ષેત્રો પ્રસરણની y-દિશાને લંબ છે.

(D) કરંટ ગેઇન $\alpha$ ને કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_{C})$ અને એમિટર પ્રવાહ $(I_{E})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{E}}$.
કરંટ ગેઇન $\beta$ ને કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_{C})$ અને બેઝ પ્રવાહ $(I_{B})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$.
ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,એમિટર પ્રવાહ એ બેઝ અને કલેક્ટર પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{E} = I_{B} + I_{C}$.
$\alpha$ ના સમીકરણમાં $I_{E}$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha = \frac{I_{C}}{I_{B} + I_{C}}$.
અંશ અને છેદને $I_{C}$ વડે ભાગતા: $\alpha = \frac{1}{\frac{I_{B}}{I_{C}} + 1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{\beta} = \frac{I_{B}}{I_{C}}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\alpha = \frac{1}{\frac{1}{\beta} + 1} = \frac{1}{\frac{1+\beta}{\beta}} = \frac{\beta}{1+\beta}$.
તેથી,સાચો સંબંધ $\alpha = \frac{\beta}{1+\beta}$ છે.

(B) ધારો કે કાટકોણ પ્રિઝમ એ સમદ્વિબાજુ પ્રિઝમ છે,તેથી અન્ય બે ખૂણાઓ દરેક $45^{\circ}$ ના છે.
$\Rightarrow$ દરેક આપાત કિરણ સપાટી $PR$ પર $45^{\circ}$ ના આપાતકોણે આપાત થાય છે.
$\Rightarrow$ જો આપાતકોણ $i$ એ તે ચોક્કસ તરંગલંબાઇ માટેના ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ કરતા ઓછો હોય,તો જ કિરણ સપાટી $PR$ માંથી બહાર આવશે.
$\Rightarrow$ ક્રાંતિકોણનું સૂત્ર $\theta_{C} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\mu}\right)$ છે.
$\Rightarrow$ લાલ કિરણ માટે: $\mu_{R} = 1.27$. $\theta_{C,R} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.27}\right) \approx 51.94^{\circ}$. $45^{\circ} < 51.94^{\circ}$ હોવાથી,લાલ કિરણ બહાર આવશે.
$\Rightarrow$ લીલા કિરણ માટે: $\mu_{G} = 1.42$. $\theta_{C,G} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.42}\right) \approx 44.76^{\circ}$. $45^{\circ} > 44.76^{\circ}$ હોવાથી,લીલું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે અને બહાર આવશે નહીં.
$\Rightarrow$ વાદળી કિરણ માટે: $\mu_{B} = 1.49$. $\theta_{C,B} = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.49}\right) \approx 42.15^{\circ}$. $45^{\circ} > 42.15^{\circ}$ હોવાથી,વાદળી કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે અને બહાર આવશે નહીં.
$\Rightarrow$ તેથી,માત્ર લાલ કિરણ જ સપાટી $PR$ માંથી બહાર આવશે.

(B) ન્યુટ્રોનનું દળ $(m_n \approx 1.6749 \times 10^{-27} \ kg)$ એ પ્રોટોનના દળ $(m_p \approx 1.6726 \times 10^{-27} \ kg)$ કરતા વધારે હોય છે.
મુક્ત પ્રોટોનનું દળ ન્યુટ્રોન કરતા ઓછું હોવાથી,ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમને કારણે તે આપમેળે ન્યુટ્રોનમાં ક્ષય પામી શકતો નથી.
જોકે,ન્યુક્લિયસની અંદર,બંધન ઉર્જા (binding energy) દળના તફાવતને સરભર કરી શકે છે,જેનાથી પ્રોટોન $\beta^{+}$ ક્ષય $(p \rightarrow n + e^{+} + \nu_e)$ ની પ્રક્રિયા દ્વારા ન્યુટ્રોનમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે.
તેથી,આ પ્રક્રિયા માત્ર ન્યુક્લિયસની અંદર જ શક્ય છે.

(C) $LCR$ સર્કિટનો પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
આપેલ કિંમતો $R = 6\, \Omega$,$X_L = 10\, \Omega$,અને $X_C = 4\, \Omega$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{6^2 + (10 - 4)^2}$
$Z = \sqrt{36 + 6^2}$
$Z = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\, \Omega$
હવે,પાવર ફેક્ટરની ગણતરી કરતા:
$\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

(C) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $U_{max}$ એ મહત્તમ ઉર્જા છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે પ્રવાહ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $i_0$ સુધી પહોંચે છે. તેથી,$U_{max} = \frac{1}{2} L i_0^2$.
આપણને આપેલ છે કે ઉર્જા તેના મહત્તમ મૂલ્યના $25\%$ સુધી પહોંચે છે:
$U = 0.25 U_{max} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} L i_0^2) = \frac{1}{2} L (\frac{i_0}{2})^2$.
આને $U = \frac{1}{2} L i^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે પ્રવાહ $i = \frac{i_0}{2}$ હોવો જોઈએ.
ચાર્જિંગ દરમિયાન $RL$ સર્કિટમાં પ્રવાહનું સમીકરણ $i = i_0 (1 - e^{-Rt/L})$ છે.
$i = \frac{i_0}{2}$ મૂકતા: $\frac{i_0}{2} = i_0 (1 - e^{-Rt/L})$.
$\frac{1}{2} = 1 - e^{-Rt/L} \Rightarrow e^{-Rt/L} = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $-\frac{Rt}{L} = \ln(\frac{1}{2}) = -\ln 2$.
તેથી,$t = \frac{L}{R} \ln 2$.

(A) માઇક્રોસ્કોપની રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ એ વપરાયેલ કણોની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
આ કિંમતને રિઝોલ્વિંગ પાવરના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $RP \propto \frac{1}{h/mv} = \frac{mv}{h}$ મળે છે.
અહીં $h$ અને $v$ બંને કિસ્સામાં અચળ હોવાથી,$RP \propto m$ થાય છે.
તેથી,પ્રોટોન માઇક્રોસ્કોપ $(RP_p)$ અને ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ $(RP_e)$ ની રિઝોલ્વિંગ પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{RP_p}{RP_e} = \frac{m_p}{m_e}$ થાય છે.
આપેલ છે કે પ્રોટોનનું દળ $m_p \approx 1837 \times m_e$ છે,તેથી રિઝોલ્વિંગ પાવર $1837$ ના ગુણાંકમાં બદલાશે.

(A) કોમન-એમિટર કોન્ફિગરેશન માટે કરંટ ગેઈન $\beta$ ને અચળ કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ પર કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર $\Delta I_C$ અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફાર $\Delta I_B$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$
આપેલ આલેખ પરથી,ચાલો બે વક્રો વચ્ચેનો ફેરફાર ધ્યાનમાં લઈએ,ઉદાહરણ તરીકે,એક્ટિવ રીજનમાં $I_B = 10 \ \mu A$ થી $I_B = 20 \ \mu A$ સુધી.
$I_B = 10 \ \mu A$ પર,કલેક્ટર કરંટ $I_C = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$ છે.
$I_B = 20 \ \mu A$ પર,કલેક્ટર કરંટ $I_C = 4 \ mA = 4 \times 10^{-3} \ A$ છે.
તેથી,$\Delta I_C = (4 - 2) \ mA = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$.
અને $\Delta I_B = (20 - 10) \ \mu A = 10 \ \mu A = 10 \times 10^{-6} \ A$.
હવે,કરંટ ગેઈનની ગણતરી કરતા:
$\beta = \frac{2 \times 10^{-3}}{10 \times 10^{-6}} = \frac{2}{10} \times 10^3 = 0.2 \times 1000 = 200$.
આમ,અંદાજિત કરંટ ગેઈન $200$ છે.

(B) ટીવી ટ્રાન્સમિશન ટાવરની રેન્જ $d = \sqrt{2Rh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે રિસીવિંગ એન્ટેના જમીન સ્તર પર હોય,ત્યારે રેન્જ $d_1 = \sqrt{2Rh}$ છે,જ્યાં $h = 20\, m$ છે.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે રિસીવિંગ એન્ટેના $h' = 5\, m$ ની ઊંચાઈ પર હોય,ત્યારે કુલ રેન્જ $d_2 = \sqrt{2Rh} + \sqrt{2Rh'}$ થાય છે.
રેન્જમાં થતો વધારો $\Delta d = d_2 - d_1 = \sqrt{2Rh'}$ છે.
ટકાવારી વધારો $n\%$ એ $\frac{\Delta d}{d_1} \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = \frac{\sqrt{2Rh'}}{\sqrt{2Rh}} \times 100 = \sqrt{\frac{h'}{h}} \times 100$.
$h = 20\, m$ અને $h' = 5\, m$ કિંમતો મૂકતા:
$n = \sqrt{\frac{5}{20}} \times 100 = \sqrt{\frac{1}{4}} \times 100 = 0.5 \times 100 = 50\%$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $50$ છે.

(C) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
અહીં,ઉગમબિંદુ પર $q_{1} = 1 \,C$ અને વિવિધ સ્થાનો $y$ પર $q_{2} = 1 \,\mu C = 10^{-6} \,C$ છે.
કુલ બળ $F$ એ બધા વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F = \sum \frac{k q_{1} q_{2}}{y^{2}} = k q_{1} q_{2} \left( \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{8^{2}} + \ldots \right)$
$F = (9 \times 10^{9}) \times (1) \times (10^{-6}) \times \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \right)$
આ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$F = 9 \times 10^{3} \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^{3} \,N$.
$x \times 10^{3} \,N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 12$ મળે છે.

(C) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજની સ્થિતિમાં,ભુજાઓના અવરોધોનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે.
આપેલ અવરોધો $R_1 = 12\, \Omega$ અને $R_2 = 6\, \Omega$ છે.
તાર $AB$ ની કુલ લંબાઈ $72\, cm$ છે. ધારો કે તારના એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $\lambda$ છે.
વિભાગ $AP$ નો અવરોધ $R_{AP} = \lambda x$ અને વિભાગ $PB$ નો અવરોધ $R_{PB} = \lambda (72 - x)$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાં શૂન્ય આવર્તન માટે,બ્રિજ સંતુલિત છે:
$\frac{12}{x} = \frac{6}{72 - x}$
$12(72 - x) = 6x$
$864 - 12x = 6x$
$18x = 864$
$x = \frac{864}{18} = 48\, cm$.

(D) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $\ell$ છે અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે। તારનો અવરોધ $R = \rho_{res} \frac{\ell}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho_{res}$ એ અવરોધકતા છે।
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે તાર માટે, વ્યક્તિગત અવરોધો $R_1 = \rho_1 \frac{\ell}{A} = 6 \frac{\ell}{A}$ અને $R_2 = \rho_2 \frac{\ell}{A} = 3 \frac{\ell}{A}$ છે।
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે અવરોધો માટે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{net} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સમાંતરમાં જોડાયેલા બે તારનું સંયુક્ત આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $2A$ છે અને લંબાઈ $\ell$ રહે છે। તેથી, $R_{net} = \rho \frac{\ell}{2A}$।
સમીકરણો મૂકતા:
$\rho \frac{\ell}{2A} = \frac{(6 \frac{\ell}{A}) (3 \frac{\ell}{A})}{6 \frac{\ell}{A} + 3 \frac{\ell}{A}}$
$\frac{\rho}{2} = \frac{6 \times 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$
$\rho = 4 \, \Omega \, cm$।

(D) અવલોકનકારથી દૂર જતા સ્ત્રોત માટે તરંગલંબાઈમાં ડોપ્લર શિફ્ટનું સૂત્ર: $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે.
આપેલ છે:
ગેલેક્સીની ઝડપ $v = 286 \, km/s = 286 \times 10^{3} \, m/s$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$.
તરંગલંબાઈ $\lambda = 630 \, nm = 630 \times 10^{-9} \, m$.
શિફ્ટ $\Delta \lambda$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta \lambda = \frac{v}{c} \times \lambda$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \lambda = \frac{286 \times 10^{3}}{3 \times 10^{8}} \times 630 \times 10^{-9}$.
$\Delta \lambda = \frac{286}{3 \times 10^{5}} \times 630 \times 10^{-9}$.
$\Delta \lambda = \frac{286 \times 630}{3} \times 10^{-14} = 286 \times 210 \times 10^{-14} = 60060 \times 10^{-14} = 6.006 \times 10^{-10} \, m$.
આને $x \times 10^{-10} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x \approx 6$ મળે છે.

(A) ગોલીય અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અને વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $f = \frac{R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ અરીસા માટે,મુખ્ય કેન્દ્ર $F$ અને વક્રતા કેન્દ્ર $C$ અરીસાની પાછળ આવેલા હોય છે.
ચિહ્ન પ્રણાલી મુજબ,આપાત પ્રકાશની દિશામાં (અરીસાની પાછળ) માપવામાં આવતા અંતરો ધન લેવામાં આવે છે.
તેથી,બહિર્ગોળ અરીસા માટે $f$ અને $R$ બંને ધન હોય છે.
આમ,સંબંધ $f = +\frac{R}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે કંપવિસ્તાર $A$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $w$ ના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $A \propto w$.
ધારો કે પહોળાઈ $w_1$ અને $w_2$ છે,જ્યાં $w_2 = 3w_1$. તેથી,કંપવિસ્તાર $A_1$ અને $A_2 = 3A_1$ થશે.
તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,$I \propto A^2$.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + A_2}{|A_1 - A_2|}\right)^2$
સમીકરણમાં $A_2 = 3A_1$ મૂકતા:
$\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \left(\frac{A_1 + 3A_1}{|A_1 - 3A_1|}\right)^2$
$= \left(\frac{4A_1}{2A_1}\right)^2$
$= (2)^2 = 4$
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) પ્રવાહ $i = \alpha_{0} t + \beta t^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$i = 20t + 8t^{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવાહ $i = \frac{dq}{dt}$,તેથી વિદ્યુતભાર $q$ એ સંકલન $q = \int i \, dt$ દ્વારા મળે છે.
$15 \, s$ માં પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર શોધવા માટે,આપણે $t = 0$ થી $t = 15 \, s$ સુધી સંકલન કરીશું:
$q = \int_{0}^{15} (20t + 8t^{2}) \, dt$
$q = \left[ \frac{20t^{2}}{2} + \frac{8t^{3}}{3} \right]_{0}^{15}$
$q = \left[ 10t^{2} + \frac{8}{3}t^{3} \right]_{0}^{15}$
$q = 10(15)^{2} + \frac{8}{3}(15)^{3}$
$q = 10(225) + \frac{8}{3}(3375)$
$q = 2250 + 8(1125)$
$q = 2250 + 9000$
$q = 11250 \, C$.