JEE Main 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) સમતાપી પ્રક્રિયા $A-B$ માટે:
$W_{AB} = nRT \ln \left(\frac{V_B}{V_A}\right) = RT \ln \left(\frac{2V_1}{V_1}\right) = RT \ln 2$.
સમકદ પ્રક્રિયા $B-C$ માટે:
કદ અચળ હોવાથી,$W_{BC} = 0$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા $C-A$ માટે:
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{P_i V_i - P_f V_f}{\gamma - 1}$ છે.
અહીં,$P_C = \frac{P_1}{4}$,$V_C = 2V_1$,$P_A = P_1$,$V_A = V_1$.
$W_{CA} = \frac{P_C V_C - P_A V_A}{\gamma - 1} = \frac{(\frac{P_1}{4})(2V_1) - P_1 V_1}{\gamma - 1} = \frac{\frac{P_1 V_1}{2} - P_1 V_1}{\gamma - 1} = \frac{-\frac{P_1 V_1}{2}}{\gamma - 1} = -\frac{RT}{2(\gamma - 1)}$.
કુલ કાર્ય $W_{net} = W_{AB} + W_{BC} + W_{CA} = RT \ln 2 + 0 - \frac{RT}{2(\gamma - 1)} = RT \left(\ln 2 - \frac{1}{2(\gamma - 1)}\right)$.

(A) પ્રગામી તરંગને $y = f(x \pm vt)$ સ્વરૂપના વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તરંગ પ્રગામી તરંગ હોય તે માટે,ચલ $x$ અને $t$ વિધેયની અંદર $(x \pm vt)$ ના સંયોજનમાં હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ માં,$y = A \sin (15 x - 2 t)$,જેને $y = A \sin [15(x - \frac{2}{15}t)]$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. આ $f(x - vt)$ સ્વરૂપ સાથે મેળ ખાય છે,જ્યાં $v = \frac{2}{15}$ છે.
વિકલ્પ $B$,$C$,અને $D$ પ્રગામી તરંગ દર્શાવતા નથી કારણ કે તેઓ $(x \pm vt)$ ના વિધેય હોવાની શરતનું પાલન કરતા નથી.

(C) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીની સમાન પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે.
ધારો કે $M_1$ એ $a$ ત્રિજ્યાની સંપૂર્ણ તકતીનું દળ છે અને $M_2$ એ $\frac{a}{2}$ ત્રિજ્યાના દૂર કરેલા વર્તુળાકાર કાણાનું દળ છે.
$M_1 = \sigma \pi a^2$,જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_1 = a$ પર છે.
$M_2 = \sigma \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\sigma \pi a^2}{4}$,જેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_2 = \frac{3a}{2}$ પર છે.
બાકી રહેલા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે મુજબ મળે છે:
$x_{COM} = \frac{M_1 x_1 - M_2 x_2}{M_1 - M_2}$
$x_{COM} = \frac{(\sigma \pi a^2)(a) - (\frac{\sigma \pi a^2}{4})(\frac{3a}{2})}{\sigma \pi a^2 - \frac{\sigma \pi a^2}{4}}$
$x_{COM} = \frac{a - \frac{3a}{8}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{5a}{8}}{\frac{3}{4}} = \frac{5a}{8} \times \frac{4}{3} = \frac{5a}{6}$

(A) આપેલ બળ $F = -\alpha x^{2}$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$ma = -\alpha x^{2}$,તેથી $a = -\frac{\alpha}{m} x^{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $v \frac{dv}{dx} = -\frac{\alpha}{m} x^{2}$.
ચલને અલગ કરતા,$v dv = -\frac{\alpha}{m} x^{2} dx$.
બંને બાજુ $v = v_{0}$ થી $v = 0$ અને $x = 0$ થી $x = x_{f}$ ની મર્યાદામાં સંકલન કરતા:
$\int_{v_{0}}^{0} v dv = -\frac{\alpha}{m} \int_{0}^{x_{f}} x^{2} dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$\left[ \frac{v^{2}}{2} \right]_{v_{0}}^{0} = -\frac{\alpha}{m} \left[ \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{x_{f}}$.
$0 - \frac{v_{0}^{2}}{2} = -\frac{\alpha}{m} \frac{x_{f}^{3}}{3}$.
$\frac{v_{0}^{2}}{2} = \frac{\alpha x_{f}^{3}}{3m}$.
$x_{f}$ માટે ઉકેલતા:
$x_{f}^{3} = \frac{3 m v_{0}^{2}}{2 \alpha}$.
$x_{f} = \left( \frac{3 m v_{0}^{2}}{2 \alpha} \right)^{\frac{1}{3}}$.

(B) ધ્રુવો પર પદાર્થનું વજન $W_p = mg = 49 \, N$ છે.
અહીં $g = 9.8 \, m/s^2$ હોવાથી,પદાર્થનું દળ $m = \frac{49}{9.8} = 5 \, kg$ થાય.
વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વપ્રવેગનું અસરકારક મૂલ્ય $g_e = g - R\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ પૃથ્વીની કોણીય ઝડપ છે.
કોણીય ઝડપ $\omega = \frac{2\pi}{T}$,જ્યાં $T = 24 \times 3600 \, s$ છે.
$R\omega^2 = R \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = 6.4 \times 10^6 \times \left(\frac{2 \times 3.14}{86400}\right)^2 \approx 0.0337 \, m/s^2$.
વિષુવવૃત્ત પર વજન $W_e = m(g - R\omega^2) = 5 \times (9.8 - 0.0337) = 5 \times 9.7663 = 48.8315 \, N$ થાય.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વજન $48.83 \, N$ મળે છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot \ell}{A \cdot \Delta \ell}$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta \ell$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta \ell = \frac{F \cdot \ell}{Y \cdot A}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ (જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે,જે વ્યાસ $D$ ના અડધા છે),તેથી $\Delta \ell = \frac{F \cdot \ell}{Y \cdot \pi r^2} = \frac{4 F \cdot \ell}{Y \cdot \pi D^2}$ થાય.
આ પરથી,$\Delta \ell \propto \frac{\ell}{D^2}$ મળે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_1$ અને પ્રારંભિક વ્યાસ $D_1$ છે. અંતિમ લંબાઈ $\ell_2 = 2\ell_1$ અને અંતિમ વ્યાસ $D_2 = 2D_1$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1} = \left( \frac{\ell_2}{\ell_1} \right) \left( \frac{D_1}{D_2} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta \ell_2}{\Delta \ell_1} = (2) \left( \frac{1}{2} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
અહીં $\Delta \ell_1 = 0.04\, m$ આપેલ છે,તેથી $\Delta \ell_2 = \frac{0.04}{2} = 0.02\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા,$\Delta \ell_2 = 2\, cm$ મળે છે.

(B) સળિયાની કુલ લંબાઈ $L = 2.4 \,m$ છે. તેને $6$ બાજુઓવાળા ષટ્કોણમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી દરેક બાજુની લંબાઈ $\ell = \frac{2.4}{6} = 0.4 \,m$ છે.
કુલ સળિયાનું દળ $M = 6 \,kg$ છે,તેથી દરેક બાજુનું દળ $m = \frac{6}{6} = 1 \,kg$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણ માટે,કેન્દ્રથી બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
એક બાજુની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{m \ell^2}{12}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,ષટ્કોણના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને એક બાજુની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = I_{cm} + m r^2 = \frac{m \ell^2}{12} + m \left(\frac{\ell \sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{m \ell^2}{12} + \frac{3 m \ell^2}{4} = \frac{m \ell^2 + 9 m \ell^2}{12} = \frac{10 m \ell^2}{12} = \frac{5}{6} m \ell^2$ થાય.
આવી $6$ બાજુઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 6 \times I_1 = 6 \times \frac{5}{6} m \ell^2 = 5 m \ell^2$ થાય.
$m = 1 \,kg$ અને $\ell = 0.4 \,m$ કિંમતો મૂકતા:
$I = 5 \times 1 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8 \,kg \cdot m^2$.
આમ,$I = 8 \times 10^{-1} \,kg \cdot m^2$ મળે છે.

(B) $m$ દળ અને $P$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા પદાર્થની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{P^2}{2m}$ છે.
અહીં બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ સમાન રેખીય વેગમાન ધરાવે છે,તેથી $P_A = P_B = P$.
આથી,ગતિઊર્જા એ દળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $K \propto \frac{1}{m}$.
$A$ અને $B$ ની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર લેતા,$\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{m_B}{m_A}$ મળે.
આપેલ છે કે $m_A = 1\, kg$ અને $m_B = 2\, kg$,તેથી કિંમતો મૂકતા: $\frac{(K.E.)_A}{(K.E.)_B} = \frac{2}{1}$.
આ ગુણોત્તરને $\frac{A}{1}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 2$ મળે છે.

(C) વાયુના અણુઓની રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ $(v_{rms})$ નું સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આપેલ વાયુ માટે $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
નોંધો કે $v_{rms}$ એ દબાણ પર આધારિત નથી.
અહીં $T_1 = 27^{\circ} C = 300\, K$ અને $(v_{rms})_1 = 200\, ms^{-1}$ છે.
અહીં $T_2 = 127^{\circ} C = 400\, K$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$(v_{rms})_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} \times (v_{rms})_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 200 = \frac{400}{\sqrt{3}}\, ms^{-1}$.
આને $\frac{x}{\sqrt{3}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 400$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: દરેક કારની ઝડપ $v_s = v_o = 7.2\, km/hr = 7.2 \times \frac{5}{18} = 2\, m/s$. હોર્નની આવૃત્તિ $f_0 = 676\, Hz$. ધ્વનિનો વેગ $v = 340\, m/s$.
દરેક ડ્રાઈવર બે અવાજ સાંભળે છે: એક સીધો બીજી કારમાંથી અને એક બીજી કાર પરથી પરાવર્તિત થઈને.
$1$. બીજી કારમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $(f_d)$:
$f_d = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 676 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right) = 684\, Hz$.
$2$. બીજી કાર પરથી પરાવર્તિત થતો અવાજ $(f_r)$:
બીજી કારમાંથી આવતો અવાજ ડ્રાઈવરની કાર સુધી પહોંચે છે,પરાવર્તિત થાય છે અને પાછો ફરે છે. અસરકારક રીતે,બીજી કાર ડ્રાઈવર તરફ ગતિ કરતા ઉદગમ તરીકે કામ કરે છે,અને ડ્રાઈવર અવાજને પાછો પરાવર્તિત કરનાર ઉદગમ તરીકે કામ કરે છે. પરાવર્તન પછી સંભળાતી આવૃત્તિ:
$f_r = f_0 \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) \left( \frac{v + v_o}{v - v_o} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right) \left( \frac{342}{338} \right) = 676 \left( \frac{342}{338} \right)^2 \approx 692\, Hz$.
બીટ આવૃત્તિ = $f_r - f_d = 692 - 684 = 8\, Hz$.

(D) પોલિટ્રોપિક પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{x} = \text{અચળ}$ છે.
અહીં આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ $PV^{1/2} = \text{અચળ}$ છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{1/2} = \text{અચળ}$
$T V^{-1} V^{1/2} = \text{અચળ}$
$T V^{-1/2} = \text{અચળ}$
આમ, $T_{1} V_{1}^{-1/2} = T_{2} V_{2}^{-1/2}$.
તાપમાનના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા:
$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{-1/2} = \left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{1/2}$.
આપેલ છે કે $V_{2} = 2V_{1}$, તેથી $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $\frac{T_{2}}{T_{1}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. પ્રથમ પથ્થરને ટોચ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે $(u=0)$.
જ્યારે તે $5 \, m$ નીચે પડે છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2gh = 0 + 2 \times 10 \times 5 = 100$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v = 10 \, m/s$.
પ્રથમ પથ્થરને $5 \, m$ પડવા માટે લાગતો સમય $t_1 = v/g = 10/10 = 1 \, s$ છે.
આ ક્ષણે,બીજો પથ્થર ટોચથી $25 \, m$ નીચેના બિંદુથી ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે પ્રથમ પથ્થરને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. તો બીજા પથ્થરને લાગતો સમય $(T - 1) \, s$ થશે.
પ્રથમ પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $H = \frac{1}{2} g T^2$ છે.
બીજા પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $H - 25 = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $H - (H - 25) = \frac{1}{2} g [T^2 - (T - 1)^2] \Rightarrow 25 = 5 [T^2 - (T^2 - 2T + 1)] \Rightarrow 25 = 5(2T - 1) \Rightarrow 5 = 2T - 1 \Rightarrow 2T = 6 \Rightarrow T = 3 \, s$.
$T = 3 \, s$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $H = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \, m$.

(B) સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વિક અણુ માટે,સ્થાનાંતરીય સ્વતંત્રતાના અંશ $3$ છે,તેથી સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિ ઉર્જા $E_{trans} = 3 \times (\frac{1}{2} k_B T) = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક અણુ માટે ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાના અંશ $2$ છે,તેથી સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા $E_{rot} = 2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ છે.
વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ભ્રમણીય ઉર્જા સ્તરો ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે અને તે સ્થાનાંતરીય ઉર્જાની જેમ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણનું પાલન કરતા નથી.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે $E_{rot} = k_B T$ અને $E_{trans} = \frac{3}{2} k_B T$ હોવાથી,તેઓ સમાન નથી.

(D) જ્યારે $m$ દળના બ્લોકને $k_1$ અને $k_2$ સ્પ્રિંગ અચળાંક ધરાવતી બે સ્પ્રિંગો સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = k_1 + k_2$ થાય છે.
આ પ્રશ્નમાં,બંને સ્પ્રિંગોનો સ્પ્રિંગ અચળાંક $2k$ છે.
તેથી,સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{eq} = 2k + 2k = 4k$ થશે.
સરળ આવર્ત દોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{eq}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{4k}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T = 2\pi \frac{1}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} = \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ થાય છે.

(A) ગોળાની કુલ પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}I\omega_0^2$ છે.
તે સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,$\omega_0 = \frac{v_0}{a}$ થાય.
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}ma^2$ છે.
આ કિંમતો ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $E_i = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}ma^2)(\frac{v_0}{a})^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + \frac{1}{5}mv_0^2 = \frac{7}{10}mv_0^2$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગોળો ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી તેની અંતિમ ગતિ ઉર્જા શૂન્ય થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$E_i = E_f = mgh$.
તેથી,$mgh = \frac{7}{10}mv_0^2$,જે આપણને $h = \frac{7v_0^2}{10g}$ આપે છે.
ઢાળ પર કાપેલું અંતર $d$ એ ઊંચાઈ $h$ સાથે $h = d \sin \theta$ સંબંધ ધરાવે છે.
આમ,$d \sin \theta = \frac{7v_0^2}{10g}$,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{7v_0^2}{10g \sin \theta}$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(C) સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t + \phi_{0})$ છે.
$t = 0$ સમયે,$Y = A \sin(\phi_{0}) = \frac{A}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin(\phi_{0}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\phi_{0}$ એ $\frac{\pi}{6}$ અથવા $\frac{5 \pi}{6}$ હોઈ શકે છે.
કણનો વેગ $v = \frac{dY}{dt} = A \omega \cos(\omega t + \phi_{0})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$v = A \omega \cos(\phi_{0})$.
કણ ઋણ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,$v < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(\phi_{0}) < 0$.
$\phi_{0} = \frac{\pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$.
$\phi_{0} = \frac{5 \pi}{6}$ માટે,$\cos(\frac{5 \pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$.
તેથી,પ્રારંભિક કળા કોણ $\phi_{0} = \frac{5 \pi}{6}$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $e$ વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આથી,$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[F r^{2}] = [M L T^{-2} \cdot L^{2}] = [M L^{3} T^{-2}]$ થાય.
ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે,તેથી $hc$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[E \lambda] = [M L^{2} T^{-2} \cdot L] = [M L^{3} T^{-2}]$ થાય.
આ બંને રાશિઓનો ભાગાકાર કરતા,પરિમાણો $\frac{[M L^{3} T^{-2}]}{[M L^{3} T^{-2}]} = [M^{0} L^{0} T^{0}]$ મળે છે.
આમ,આ રાશિ પરિમાણરહિત છે.

(D) આપેલ છે કે,બિંદુ $A$ એ $t = 0.1\, s$ સમયમાં $\theta = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \text{ રેડિયન}$ ખૂણો કાપે છે.
ઝડપ સમાન હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = \frac{\theta}{t} = \frac{\pi/6}{0.1} = \frac{\pi}{0.6} = \frac{5\pi}{3} \text{ rad/s}$ મળે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 0.36\, m$ છે,જે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $A_{amp}$ દર્શાવે છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા $m$ દળના કણ પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -m\omega^2 x$ છે,જ્યાં $x$ એ સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે $P$ એ $M$ ને સ્પર્શે,ત્યારે સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $R = 0.36\, m$ જેટલું હોય છે.
એકમ દળ દીઠ પુનઃસ્થાપક બળ $\frac{F}{m} = \omega^2 R$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F}{m} = \left(\frac{5\pi}{3}\right)^2 \times 0.36 = \frac{25\pi^2}{9} \times 0.36$.
$\pi^2 \approx 9.87$ લેતા,$\frac{F}{m} = \frac{25 \times 9.87}{9} \times 0.36 = 25 \times 9.87 \times 0.04 = 25 \times 0.3948 = 9.87\, N/kg$ મળે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી અને મહત્તમ ઊંચાઈ $h = 10 R$ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
સપાટી પરની કુલ ઉર્જા = $h$ ઊંચાઈ પરની કુલ ઉર્જા.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv_{i}^{2} = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
અહીં $h = 10R$ હોવાથી,કેન્દ્રથી કુલ અંતર $R + 10R = 11R$ થાય.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv_{i}^{2} = -\frac{GMm}{11R}$.
$\frac{1}{2}mv_{i}^{2} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{11R} \right) = GMm \left( \frac{10}{11R} \right)$.
$v_{i}^{2} = \frac{20GM}{11R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિષ્ક્રમણ વેગ $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,તેથી $v_{e}^{2} = \frac{2GM}{R}$.
આ કિંમત $v_{i}^{2}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{i}^{2} = \frac{10}{11} \times \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{10}{11} v_{e}^{2}$.
$v_{i} = \sqrt{\frac{x}{y}} v_{e}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x}{y} = \frac{10}{11}$ મળે છે.
આમ,$x = 10$.

(B) હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{1}{4} = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{3}{4}$,એટલે કે $T_2 = 0.75 T_1$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $52 \, K$ ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 2 \times \eta = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 52$ છે.
નવી સ્થિતિ માટે કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} = 1 - \frac{T_2 - 52}{T_1}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{T_2 - 52}{T_1} = \frac{1}{2}$,અથવા $T_2 - 52 = 0.5 T_1$ મળે છે.
$T_2 = 0.75 T_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $0.75 T_1 - 52 = 0.5 T_1$.
$0.25 T_1 = 52$,જે આપણને $T_1 = \frac{52}{0.25} = 208 \, K$ આપે છે.

(B) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln v = \frac{1}{2} \ln T - \frac{1}{2} \ln \mu$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર મળે છે: $\frac{\Delta v}{v} = \frac{1}{2} \frac{\Delta T}{T}$.
અહીં તણાવમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 4\, \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = \frac{1}{2} \times (4\, \%) = 2\, \%$.
તેથી,તરંગની ઝડપમાં થતો ટકાવારી વધારો $2\, \%$ છે.

(C) બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ (anti-commutative) હોય છે,એટલે કે $\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q } = -(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P })$.
આપેલ શરત $\overrightarrow{ P } \times \overrightarrow{ Q } = \overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }$ મુજબ,આપણે એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$-(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }) = \overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }$.
આનો અર્થ એ થાય કે $2(\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }) = 0$,તેથી $\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P } = 0$.
ક્રોસ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{ Q } \times \overrightarrow{ P }| = PQ \sin \theta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યાં $P$ અને $Q$ શૂન્યતર સદિશો હોવાથી,$\sin \theta = 0$ થાય.
$0^{\circ} < \theta < 360^{\circ}$ ની મર્યાદામાં,$\theta = 180^{\circ}$ માટે $\sin \theta = 0$ થાય છે (કારણ કે $0^{\circ}$ અને $360^{\circ}$ નો સમાવેશ થતો નથી).
તેથી,$\theta$ નું મૂલ્ય $180^{\circ}$ છે.

(A) $m$ દળ અને $p$ રેખીય વેગમાન ધરાવતા કણની ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
બંને કણોની ગતિઊર્જા સમાન હોવાથી,$K_1 = K_2$ થાય.
સૂત્ર મૂકતા,$\frac{p_1^2}{2m_1} = \frac{p_2^2}{2m_2}$ મળે.
અહીં $m_1 = 4\, g$ અને $m_2 = 16\, g$ આપેલ છે,તેથી $\frac{p_1^2}{2 \times 4} = \frac{p_2^2}{2 \times 16}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{p_1^2}{4} = \frac{p_2^2}{16}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{p_1^2}{p_2^2} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{p_1}{p_2} = \frac{1}{2}$ મળે.
આપણને આપેલ છે કે તેમના રેખીય વેગમાનના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $n : 2$ છે,તેથી $\frac{p_1}{p_2} = \frac{n}{2}$.
$\frac{n}{2} = \frac{1}{2}$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $n = 1$ મળે છે.

(C) હૂકનો નિયમ માન્ય છે તેમ ધારતા,તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $\Delta \ell = \ell - \ell_{0}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,જ્યાં $\ell_{0}$ એ મૂળ લંબાઈ છે.
$T = k(\ell - \ell_{0})$
આપેલ બે સ્થિતિઓ માટે:
$T_{1} = k(\ell_{1} - \ell_{0})$ --- $(1)$
$T_{2} = k(\ell_{2} - \ell_{0})$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_{1}}{T_{2}} = \frac{\ell_{1} - \ell_{0}}{\ell_{2} - \ell_{0}}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$T_{1}(\ell_{2} - \ell_{0}) = T_{2}(\ell_{1} - \ell_{0})$
$T_{1}\ell_{2} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{2}\ell_{0}$
$\ell_{0}$ માટે પદ ગોઠવતા:
$T_{2}\ell_{0} - T_{1}\ell_{0} = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0}(T_{2} - T_{1}) = T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}$
$\ell_{0} = \frac{T_{2}\ell_{1} - T_{1}\ell_{2}}{T_{2} - T_{1}}$

(C) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A$ છે. જાણીતા ફોર્કની આવૃત્તિ $f = 340 \, Hz$ છે.
પ્રારંભિક બીટ આવૃત્તિ $|f_A - 340| = 5 \, Hz$ છે,જેનો અર્થ છે કે $f_A = 345 \, Hz$ અથવા $f_A = 335 \, Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્કને ઘસવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ વધે છે.
કિસ્સો $1$: જો $f_A = 345 \, Hz$ હોય,તો ઘસવાથી આવૃત્તિ વધીને $f_A' > 345 \, Hz$ થાય. નવી બીટ આવૃત્તિ $|f_A' - 340| > 5 \, Hz$ થશે. આ આપેલી માહિતી સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે કે બીટ આવૃત્તિ ઘટીને $2 \, Hz$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જો $f_A = 335 \, Hz$ હોય,તો ઘસવાથી આવૃત્તિ વધીને $f_A' = 335 + \Delta f$ થાય. નવી બીટ આવૃત્તિ $|340 - (335 + \Delta f)| = |5 - \Delta f| = 2 \, Hz$ થાય.
આનાથી $5 - \Delta f = 2$ મળે છે,તેથી $\Delta f = 3 \, Hz$,જે શક્ય છે.
તેથી,ફોર્ક $A$ ની મૂળ આવૃત્તિ $335 \, Hz$ છે.

(A) આપેલ ગતિપથનું સમીકરણ $y = \alpha x - \beta x^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ સાથે સરખાવતા.
$x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = \alpha$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \tan^{-1} \alpha$.
$x^2$ ના સહગુણકોને સરખાવતા,આપણને $\beta = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$ મળે છે.
$u^2$ માટે ગોઠવતા,આપણને $u^2 = \frac{g}{2\beta \cos^2 \theta}$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$u^2$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $H = \frac{g}{2\beta \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4\beta}$.
કારણ કે $\tan \theta = \alpha$,તેથી $H = \frac{\alpha^2}{4\beta}$.

(B) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,વજનની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ તંત્રની કુલ ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે (પૈડાની ચાકગતિ ઉર્જા + વજનની સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા).
સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $mgh$
ગતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} mv^2$
દોરી સરકતી ન હોવાથી,વજનનો રેખીય વેગ $v$ અને પૈડાનો કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = \omega r$ છે.
ઉર્જાના સમીકરણમાં $v = \omega r$ મૂકતા:
$mgh = \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} m(\omega r)^2$
$mgh = \frac{1}{2} (I + mr^2) \omega^2$
$\omega^2$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{2 mgh}{I + mr^2}$

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
આપેલ સંબંધ $U = 3PV + 4$ ને સરખાવતા:
$\frac{f}{2} PV = 3PV + 4$
બંને બાજુ $PV$ વડે ભાગતા:
$\frac{f}{2} = 3 + \frac{4}{PV}$
$f = 6 + \frac{8}{PV}$
અહીં $\frac{8}{PV}$ પદ ધન હોવાથી,$f > 6$ મળે છે.
જે વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $f > 6$ હોય,તે બહુ-પરમાણ્વીય વાયુ છે.

(D) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{ F_{ext} }{ M_{total} }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બાહ્ય બળ $F$ છે અને કુલ દળ $M + M = 2M$ છે.
તેથી,$a_{cm} = \frac{ F }{ 2M }$.
વળી,$a_{cm} = \frac{ m_A a_A + m_B a_B }{ m_A + m_B }$,જ્યાં $a_A = a$ (દળ $A$ નો પ્રવેગ) અને $a_B$ એ દળ $B$ નો પ્રવેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{ F }{ 2M } = \frac{ M(a) + M(a_B) }{ 2M }$.
બંને બાજુથી $2M$ ને દૂર કરતા,આપણને $F = Ma + Ma_B$ મળે છે.
$a_B$ માટે ગોઠવતા,આપણને $Ma_B = F - Ma$ મળે છે.
તેથી,$a_B = \frac{ F - Ma }{ M }$.

(B) ધારો કે સ્કૂટર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલ મહત્તમ વેગ $v_{\max}$ છે.
પ્રવેગના તબક્કા દરમિયાન,અંતિમ વેગ $v_{\max} = 0 + a_{1}t_{1}$ છે,તેથી $t_{1} = \frac{v_{\max}}{a_{1}}$.
પ્રતિપ્રવેગના તબક્કા દરમિયાન,અંતિમ વેગ $0 = v_{\max} - a_{2}t_{2}$ છે,તેથી $t_{2} = \frac{v_{\max}}{a_{2}}$.
બંને સમયનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{v_{\max} / a_{1}}{v_{\max} / a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$.
વૈકલ્પિક રીતે,વેગ-સમયના આલેખનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગના ભાગનો ઢાળ $a_{1} = \tan \theta_{1} = \frac{v_{\max}}{t_{1}}$ છે અને પ્રતિપ્રવેગના ભાગના ઢાળનું મૂલ્ય $a_{2} = \tan \theta_{2} = \frac{v_{\max}}{t_{2}}$ છે.
આમ,$\frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{1}}$.

(B) સેકન્ડ લોલક એવું લોલક છે જેનો આવર્તકાળ $2 \, s$ હોય છે.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
એક અંતિમ સ્થાનથી બીજા અંતિમ સ્થાન સુધી જવા માટે લાગતો સમય એ આવર્તકાળના અડધા $(T/2)$ જેટલો હોય છે.
અહીં $T = 2 \, s$ હોવાથી,લાગતો સમય $2 \, s / 2 = 1 \, s$ થાય છે.
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(B) વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int P\,dV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$P = \frac{nRT}{V}$.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \int \frac{nRT}{V}\,dV$.
આપેલ સંબંધ $V = KT^{2/3}$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $dV = K \cdot \frac{2}{3} T^{-1/3}\,dT$.
$V$ અને $dV$ ની કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $W = \int_{T_1}^{T_2} \frac{nRT}{KT^{2/3}} \cdot \left( \frac{2}{3} K T^{-1/3} \right) dT$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $W = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} nR \cdot \frac{T \cdot T^{-1/3}}{T^{2/3}} \,dT = \int_{T_1}^{T_2} \frac{2}{3} nR \,dT$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે $W = \frac{2}{3} nR (T_2 - T_1)$.
અહીં $\Delta T = T_2 - T_1 = 90\,K$ અને $n = 1$ મોલ લેતા: $W = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot R \cdot 90 = 60R$.
આમ,$x = 60$.

(D) $S.H.M.$ માં $y$ સ્થાનાંતરે કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ ઝડપ $v_{\max} = a\omega$ છે.
આપેલ છે કે ઝડપ $v = \frac{v_{\max}}{2}$,તેથી $\frac{a\omega}{2} = \omega \sqrt{a^2 - y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{a^2}{4} = a^2 - y^2$.
સ્થાનાંતર $y$ માટે ગોઠવતા: $y^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$.
આમ,$y = \frac{\sqrt{3} a}{2}$.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{\sqrt{x} a}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ કરીને,કણ અંતિમ સ્થાન ($1/4$ દોલન) સુધી જાય છે,પાછો મધ્યમાન સ્થાન ($1/2$ દોલન) પર આવે છે,અને પછી બીજી બાજુ જાય છે.
$5/8$ દોલન એ $1/2 + 1/8$ દોલન જેટલું છે.
ફેઝ (કળા) ના સંદર્ભમાં,$1/2$ દોલન એ $\pi$ રેડિયનના ફેઝ ફેરફારને અનુરૂપ છે.
બાકીનું $1/8$ દોલન એ $\frac{1}{8} \times 2\pi = \frac{\pi}{4}$ રેડિયનના ફેઝ ફેરફારને અનુરૂપ છે.
જો કે,પ્રશ્ન $5/8$ ચક્રને અનુરૂપ સ્થાન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય પૂછે છે. સંદર્ભ વર્તુળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$.
$5/8$ ચક્ર માટે,ફેઝ એંગલ $\phi = \frac{5}{8} \times 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.
કણ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતો હોવાથી,આપણે મધ્યમાન સ્થાનના સંદર્ભમાં ફેઝ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
સમય $t$ એ $\omega t = \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
આમ,$t = \frac{\phi}{\omega} = \frac{5\pi/4}{2\pi/T} = \frac{5}{8} T$.
તેથી,$\alpha = 5$.

(C) ધારો કે $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે. બિંદુ $A$ એ પૃથ્વીની અંદર કેન્દ્ર $O$ થી $r$ અંતરે છે. બિંદુ $C$ એ સપાટી $B$ થી $h = 3200 \text{ km} = R/2$ ઊંચાઈ પર છે.
બિંદુ $A$ (પૃથ્વીની અંદર) પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_A = \frac{G M r}{R^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $C$ (પૃથ્વીની બહાર) પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g_C = \frac{G M}{(R + h)^2} = \frac{G M}{(R + R/2)^2} = \frac{G M}{(3R/2)^2} = \frac{4 G M}{9 R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $g_A = g_C$,તેથી આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{G M r}{R^3} = \frac{4 G M}{9 R^2}$
$r$ માટે ઉકેલતા:
$r = \frac{4 R}{9}$.
આમ,$OA = r = \frac{4 R}{9}$.
અંતર $AB = R - r = R - \frac{4 R}{9} = \frac{5 R}{9}$.
તેથી,ગુણોત્તર $OA : AB = \frac{4 R}{9} : \frac{5 R}{9} = 4 : 5$.
જેથી ગુણોત્તર $x : y = 4 : 5$ હોવાથી,$x$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W.$
આપેલ છે કે $W = Q/5,$ તેથી $Q = \Delta U + Q/5.$
માટે,$\Delta U = Q - Q/5 = 4Q/5.$
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે,જ્યાં $C_v = \frac{5}{2}R.$
વળી,$Q = n C \Delta T,$ જ્યાં $C$ એ મોલર ઉષ્માધારિતા છે.
આ કિંમતોને $\Delta U = \frac{4}{5}Q$ માં મૂકતા,આપણને મળે $n C_v \Delta T = \frac{4}{5} (n C \Delta T).$
$C_v = \frac{4}{5} C \implies C = \frac{5}{4} C_v.$
$C_v = \frac{5}{2}R$ મૂકતા,$C = \frac{5}{4} \times \frac{5}{2} R = \frac{25}{8} R.$
તેને $\frac{xR}{8}$ સાથે સરખાવતા,$x = 25$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક સદિશનું મૂલ્ય $\lambda$ છે.
$\overrightarrow{ OA } = \lambda (\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = \lambda (\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j})$
$\overrightarrow{ OB } = \lambda (\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j}) = \lambda (\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j})$
$\overrightarrow{ OC } = \lambda (\cos 45^{\circ} (-\hat{i}) + \sin 45^{\circ} \hat{j}) = \lambda (-\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j})$
હવે,$\overrightarrow{ R } = \overrightarrow{ OA } + \overrightarrow{ OB } - \overrightarrow{ OC }$ ની ગણતરી કરીએ.
$\overrightarrow{ R } = \lambda [(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})) \hat{i} + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j}]$
$\overrightarrow{ R } = \lambda [(\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{2}}{2}) \hat{i} + (\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}) \hat{j}]$
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{R_y}{R_x}$ દ્વારા મળે છે.
$\tan \theta = \frac{\frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{2}}{2}} = \frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
તેથી,$\theta = \tan ^{-1} \frac{1-\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક સમાન ગોલીય કવચ માટે,અંદરના કોઈપણ બિંદુએ $(r < R)$ ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર $E = -dV/dr$ હોવાથી,જો $E = 0$ હોય,તો સ્થિતિમાન $V$ સમગ્ર અંદરના ભાગમાં અચળ રહેવું જોઈએ.
આ અચળ સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય $V = -GM/R$ છે,જે શૂન્ય નથી.
તેથી,વિધાનો $(a), (c)$ અને $(d)$ સાચા છે,જ્યારે $(b)$ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ માત્ર $(a), (c)$ અને $(d)$ છે.

(B) સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે આવેલા બિંદુઓ $A$ અને $B$ પાસે દબાણ સમાન હોવું જોઈએ,તેથી $P_A = P_B$.
બંને ભુજાઓમાં મેનિસ્કસની બરાબર નીચેનું દબાણ અનુક્રમે $P_{atm} - \frac{2T}{r_1}$ અને $P_{atm} - \frac{2T}{r_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન સમક્ષિતિજ સ્તરે દબાણને સરખાવતા:
$P_{atm} - \frac{2T}{r_1} + \rho g(x + \Delta h) = P_{atm} - \frac{2T}{r_2} + \rho g x$
$\rho g \Delta h = 2T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
અહીં $r_1 = 2.5 \, mm = 2.5 \times 10^{-3} \, m$ અને $r_2 = 4.0 \, mm = 4.0 \times 10^{-3} \, m$ આપેલ છે.
$\Delta h = \frac{2T}{\rho g} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$
$\Delta h = \frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2}}{1.0 \times 10^3 \times 10} \left( \frac{1}{2.5 \times 10^{-3}} - \frac{1}{4.0 \times 10^{-3}} \right)$
$\Delta h = \frac{14.6 \times 10^{-2}}{10^4} \times 10^3 \left( \frac{1}{2.5} - \frac{1}{4.0} \right)$
$\Delta h = 14.6 \times 10^{-3} \times (0.4 - 0.25) = 14.6 \times 10^{-3} \times 0.15 = 2.19 \times 10^{-3} \, m = 2.19 \, mm$.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
આપેલ છે:
ઉષ્માનો દર $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{6000 \, J}{60 \, sec} = 100 \, W$.
સિસ્ટમ દ્વારા અપાતો પાવર $\frac{\Delta W}{\Delta t} = 90 \, W$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 2.5 \times 10^{3} \, J = 2500 \, J$.
પાવરના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{\Delta U}{\Delta t} + \frac{\Delta W}{\Delta t}$.
$100 = \frac{2500}{\Delta t} + 90$.
$100 - 90 = \frac{2500}{\Delta t}$.
$10 = \frac{2500}{\Delta t}$.
$\Delta t = \frac{2500}{10} = 250 \, sec$.

(A) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપનું સૂત્ર $V_{RMS} = \sqrt{\frac{3RT}{M_{W}}}$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે અને $M_{W}$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તમામ વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,$V_{RMS} \propto \frac{1}{\sqrt{M_{W}}}$ થાય.
મોલર દળ નીચે મુજબ છે: $M_{H} = 2 \ g/mol$,$M_{O} = 32 \ g/mol$ અને $M_{C} = 44 \ g/mol$.
અહીં $M_{H} < M_{O} < M_{C}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{M_{H}}} > \frac{1}{\sqrt{M_{O}}} > \frac{1}{\sqrt{M_{C}}}$ મળે.
તેથી,$V_{H} > V_{O} > V_{C}$ થાય.

(C) $1$. લઘુત્તમ માપશક્તિ $(LC)$ ની ગણતરી કરો: પિચ $0.5 \, mm$ છે અને વર્તુળાકાર સ્કેલના વિભાગોની સંખ્યા $50$ છે. તેથી,$LC = \frac{0.5 \, mm}{50} = 0.01 \, mm$.
$2$. શૂન્ય ત્રુટિ નક્કી કરો: જ્યારે રેચેટ બંધ હોય ત્યારે $5^{th}$ વિભાગ સંદર્ભ રેખા સાથે સુસંગત થાય છે. તેથી,શૂન્ય ત્રુટિ $= +5 \times LC = 5 \times 0.01 = 0.05 \, mm$.
$3$. અવલોકિત રીડિંગની ગણતરી કરો: અવલોકિત રીડિંગ = મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ + (વર્તુળાકાર સ્કેલ વિભાગ $\times LC$) = $5 \, mm + (20 \times 0.01 \, mm) = 5.20 \, mm$.
$4$. સાચું રીડિંગ ગણો: સાચું રીડિંગ = અવલોકિત રીડિંગ - શૂન્ય ત્રુટિ = $5.20 \, mm - 0.05 \, mm = 5.15 \, mm$.

(D) રોકેટ પર લાગતું થ્રસ્ટ બળ $F_{\text{thrust}} = \left(\frac{dm}{dt}\right) V_{\text{rel}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રોકેટ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = F_{\text{thrust}} - mg = ma$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 1000 \, \text{kg}$,$a = 20 \, \text{m s}^{-2}$,$V_{\text{rel}} = 500 \, \text{m s}^{-1}$,અને $g = 10 \, \text{m s}^{-2}$.
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 - (1000 \times 10) = 1000 \times 20$
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 - 10000 = 20000$
$\left(\frac{dm}{dt}\right) \times 500 = 30000$
$\frac{dm}{dt} = \frac{30000}{500} = 60 \, \text{kg s}^{-1}$.

(D) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$E = [ML^2 T^{-2}]$
$L = [ML^2 T^{-1}]$
$m = [M]$
$G = [M^{-1} L^3 T^{-2}]$
આપેલ સૂત્ર $P = E L^2 m^{-5} G^{-2}$ માં પારિમાણિક સૂત્રો મૂકતા:
$[P] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [ML^2 T^{-1}]^2 \cdot [M]^{-5} \cdot [M^{-1} L^3 T^{-2}]^{-2}$
$[P] = [ML^2 T^{-2}] \cdot [M^2 L^4 T^{-2}] \cdot [M^{-5}] \cdot [M^2 L^{-6} T^4]$
$[P] = [M^{1+2-5+2} L^{2+4-6} T^{-2-2+4}]$
$[P] = [M^0 L^0 T^0]$
આમ,$P$ એ પરિમાણરહિત રાશિ છે.

(A) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 3\, m$ અને કુલ દળ $M = 3\, kg$ છે. રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = M/L = 3/3 = 1\, kg/m$ છે.
શરૂઆતમાં,સાંકળનો $2\, m$ ભાગ ટેબલ પર છે અને $1\, m$ ભાગ લટકે છે. લટકતા ભાગનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $0.5\, m$ નીચે છે. ટેબલની સપાટીને સંદર્ભ સ્તર $(U = 0)$ તરીકે લેતા,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = -(m_{hanging})g(h_{cm}) = -(1\, kg)(10\, m/s^2)(0.5\, m) = -5\, J$ છે.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$ છે.
અંતમાં,જ્યારે સાંકળ સંપૂર્ણપણે સરકી જાય છે,ત્યારે $3\, m$ લંબાઈની આખી સાંકળ ઊભી લટકે છે. તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ટેબલની સપાટીથી $1.5\, m$ નીચે છે. અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = -(M)g(h_{cm}) = -(3\, kg)(10\, m/s^2)(1.5\, m) = -45\, J$ છે.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$K_i + U_i = K_f + U_f$.
$0 + (-5\, J) = K_f + (-45\, J)$.
$K_f = 45 - 5 = 40\, J$.
આમ,$k$ નું મૂલ્ય $40$ છે.

(C) આપેલ છે:
સ્ત્રોતની ઝડપ $V_S = 20 \, m/s$
અવલોકનકાર/ડિટેક્ટરની ઝડપ $V_O = 20 \, m/s$
હવામાં અવાજની ઝડપ $V = 340 \, m/s$
અનુભવાતી આવૃત્તિ $f' = 1800 \, Hz$
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર એકબીજાથી દૂર જાય છે,ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f' = f \left( \frac{V - V_O}{V + V_S} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$1800 = f \left( \frac{340 - 20}{340 + 20} \right)$
$1800 = f \left( \frac{320}{360} \right)$
$1800 = f \left( \frac{8}{9} \right)$
$f = \frac{1800 \times 9}{8}$
$f = 225 \times 9 = 2025 \, Hz$
તેથી,સ્ત્રોતની મૂળ આવૃત્તિ $2025 \, Hz$ છે.

(D) ધારો કે પ્રથમ દડો $t = 0$ સમયે અને બીજો દડો $t = 3 \, \text{s}$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે。
ધારો કે પ્રથમ દડો ફેંક્યા પછીનો સમય $t$ છે。
પ્રથમ દડાનું સ્થાન $y_1 = u t - \frac{1}{2} g t^2 = 35 t - 5 t^2$ છે。
બીજા દડાનું સ્થાન $y_2 = u(t - 3) - \frac{1}{2} g(t - 3)^2 = 35(t - 3) - 5(t - 3)^2$ છે。
અથડામણના બિંદુએ, $y_1 = y_2$ થાય。
$35 t - 5 t^2 = 35(t - 3) - 5(t^2 - 6 t + 9)$
$35 t - 5 t^2 = 35 t - 105 - 5 t^2 + 30 t - 45$
$0 = 30 t - 150$
$30 t = 150 \implies t = 5 \, \text{s}$.
$y_1$ ના સમીકરણમાં $t = 5 \, \text{s}$ મૂકતા:
$h = 35(5) - 5(5)^2 = 175 - 125 = 50 \, \text{m}$.
આમ, દડાઓ $50 \, \text{m}$ ની ઊંચાઈ પર અથડાય છે。

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{4S}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$r_1 = 6 \, cm$ ત્રિજ્યાના સાબુના પરપોટાની અંદર $r_2 = 3 \, cm$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવામાં આવે ત્યારે,નાના પરપોટાની અંદરનું વાતાવરણીય દબાણની સાપેક્ષમાં દબાણ એ નાના પરપોટાને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણ અને મોટા પરપોટાને કારણે ઉદ્ભવતું વધારાનું દબાણનો સરવાળો છે.
$\Delta P_{total} = \frac{4S}{r_2} + \frac{4S}{r_1}$
આપણે એક એવા સમતુલ્ય સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $R_{eq}$ શોધવા માંગીએ છીએ કે જેથી તેનું વધારાનું દબાણ $\Delta P_{total}$ જેટલું થાય:
$\frac{4S}{R_{eq}} = \frac{4S}{r_2} + \frac{4S}{r_1}$
બંને બાજુને $4S$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_1}$
આપેલ કિંમતો $r_1 = 6 \, cm$ અને $r_2 = 3 \, cm$ મૂકતા:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
તેથી,$R_{eq} = 2 \, cm$.

(B) નિસ્પંદ બિંદુ (node) માટે,સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
આપેલ સમીકરણ ${y} = 1.0 \, \text{mm} \cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x) \sin(78.5 \, \text{s}^{-1} t)$ માં,અવકાશી ભાગ $\cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x)$ છે.
અવકાશી ભાગને શૂન્ય લેતા: $\cos(1.57 \, \text{cm}^{-1} x) = 0$.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ નો એકી ગુણાંક હોય. ઉગમબિંદુની સૌથી નજીકના નિસ્પંદ બિંદુ $(x > 0)$ માટે,આપણે પ્રથમ ધન કિંમત લઈએ છીએ:
$1.57 \, \text{cm}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,આપણને મળે છે $1.57 \approx \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$x = \frac{\pi}{2 \times 1.57} \, \text{cm} = \frac{1.57}{1.57} \, \text{cm} = 1 \, \text{cm}$.

(D) ધારો કે હેન્ડલ $L = 6r$ લંબાઈનો સળિયો છે અને રીંગ $R = r$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળાકાર વલય છે. બંનેનું દળ $M$ છે.
$1$. તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી (તેને લંબ) અક્ષને અનુલક્ષીને હેન્ડલની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm, rod} = \frac{M(6r)^2}{12} = 3Mr^2$ છે.
આ અક્ષનું પરિભ્રમણ અક્ષથી અંતર $d_1 = (6r/2) - r/2 = 5r/2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{rod} = I_{cm, rod} + M(d_1)^2 = 3Mr^2 + M(5r/2)^2 = 3Mr^2 + 6.25Mr^2 = 9.25Mr^2$.
$2$. રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને $I_{cm, ring} = \frac{MR^2}{2} = \frac{Mr^2}{2} = 0.5Mr^2$ છે.
રીંગના કેન્દ્રનું પરિભ્રમણ અક્ષથી અંતર $d_2 = 6r - r/2 + r = 6.5r = 13r/2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{ring} = I_{cm, ring} + M(d_2)^2 = 0.5Mr^2 + M(13r/2)^2 = 0.5Mr^2 + 42.25Mr^2 = 42.75Mr^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{rod} + I_{ring} = 9.25Mr^2 + 42.75Mr^2 = 52Mr^2$.

(D) માઇક્રોવેવ આવૃત્તિનો સ્ત્રોત મેગ્નેટ્રોન છે.
$(b)$ ઇન્ફ્રારેડ આવૃત્તિનો સ્ત્રોત અણુઓ અને પરમાણુઓનું કંપન છે.
$(c)$ ગેમા કિરણોનો સ્ત્રોત ન્યુક્લિયસનો રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય છે.
$(d)$ $X$-કિરણોનો સ્ત્રોત આંતરિક કક્ષાના ઇલેક્ટ્રોનનું સંક્રમણ છે.
તેથી,સાચી જોડ $(a)-(ii), (b)-(iv), (c)-(i), (d)-(iii)$ છે.

(A) આપેલ છે:
વાહકતા $\sigma = 5 \times 10^{7} \, S/m$
ત્રિજ્યા $r = 0.5 \, mm = 5 \times 10^{-4} \, m$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 10 \, mV/m = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 10^{-2} \, V/m$
ઓહ્મના નિયમના સૂક્ષ્મ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ ઘનતા $J = \sigma E$:
$J = (5 \times 10^{7}) \times (10^{-2}) = 5 \times 10^{5} \, A/m^{2}$
પ્રવાહ $i = J \times A = J \times (\pi r^{2})$:
$i = (5 \times 10^{5}) \times \pi \times (5 \times 10^{-4})^{2}$
$i = 5 \times 10^{5} \times \pi \times 25 \times 10^{-8}$
$i = 125 \times 10^{-3} \, \pi \, A$
$i = 125 \, \pi \, mA$
આપેલ છે કે $i = x^{3} \, \pi \, mA$,તેથી:
$x^{3} = 125$
$x = \sqrt[3]{125} = 5$

(C) વિદ્યુતભાર $a = 12 \,cm$ બાજુવાળા ચોરસના કેન્દ્રથી $a/2 = 6 \,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે.
આ ચોરસને $a = 12 \,cm$ બાજુવાળા સમઘનની એક બાજુ તરીકે ગણતા,વિદ્યુતભાર આ સમઘનના કેન્દ્ર પર છે.
ગોસના નિયમ મુજબ,સમગ્ર સમઘનમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
સમઘનને $6$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,એક બાજુ (ચોરસ) માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{6} \frac{q}{\varepsilon_{0}}$ થશે.
અહીં $q = 12 \times 10^{-6} \,C$ અને $\varepsilon_{0} = 8.854 \times 10^{-12} \,C^{2}/Nm^{2}$ આપેલ છે.
$\phi = \frac{12 \times 10^{-6}}{6 \times 8.854 \times 10^{-12}} = \frac{2 \times 10^{-6}}{8.854 \times 10^{-12}} \approx 0.2259 \times 10^{6} \,Nm^{2}/C$.
$\phi \approx 226 \times 10^{3} \,Nm^{2}/C$.

(D) કેબલમાં કુલ એટેન્યુએશન નીચે મુજબ મળે છે: $\text{Total Attenuation} = (\text{Attenuation per km}) \times (\text{Length}) = -5 \, dB/km \times 20 \, km = -100 \, dB$.
$dB$ માં ગેઈનનું સૂત્ર છે: $\text{Gain} = 10 \log_{10}(\frac{P_0}{P_i})$.
અહીં,$\text{Gain} = -100 \, dB$,$P_i = 0.1 \, kW = 100 \, W = 10^2 \, W$.
કિંમતો મૂકતા: $-100 = 10 \log_{10}(\frac{P_0}{10^2})$.
$-10 = \log_{10}(\frac{P_0}{10^2})$.
$10^{-10} = \frac{P_0}{10^2}$.
$P_0 = 10^{-10} \times 10^2 = 10^{-8} \, W$.
$P_0 = 10^{-8} \, W$ ને $10^{-x} \, W$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ મળે છે.

(D) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે સર્કિટનો કુલ ઈમ્પિડન્સ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે,એટલે કે $Z = R$ થાય છે.
અનુનાદ સમયે $LCR$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{V^{2}}{R}$
આપેલ મૂલ્યો છે:
$P = 16 \, W$
$V = 120 \, V$
$R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{V^{2}}{P}$
મૂલ્યો મૂકતા:
$R = \frac{(120)^{2}}{16}$
$R = \frac{14400}{16}$
$R = 900 \, \Omega$
આમ,અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $900 \, \Omega$ છે.

(A) તરંગની આવૃત્તિ $f = 3 \, GHz = 3 \times 10^9 \, Hz$ છે.
શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8 \, m/s}{3 \times 10^9 \, Hz} = 0.1 \, m = 10 \, cm$ છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \sqrt{\epsilon_r \mu_r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. માધ્યમ અચુંબકીય છે તેમ ધારતા,$\mu_r = 1$ મળે.
તેથી,$n = \sqrt{2.25} = 1.5$ થાય.
માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{n} = \frac{10 \, cm}{1.5} = \frac{100}{15} \, cm = 6.666... \, cm \approx 6.67 \, cm$ મળે.
આને $x \times 10^{-2} \, cm$ સ્વરૂપમાં લખતા,$6.67 \, cm = 667 \times 10^{-2} \, cm$ મળે.

(B) $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ફર્મી લેવલ $E_F$ એ કન્ડક્શન બેન્ડ $E_C$ ની નીચે હોય છે. જેમ ડોપિંગ સાંદ્રતા $N_D$ વધે છે,તેમ ફર્મી લેવલ કન્ડક્શન બેન્ડની નજીક જાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઉપરની તરફ ખસે છે.
$p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ફર્મી લેવલ $E_F$ એ વેલેન્સ બેન્ડ $E_V$ ની ઉપર હોય છે. જેમ ડોપિંગ સાંદ્રતા $N_A$ વધે છે,તેમ ફર્મી લેવલ વેલેન્સ બેન્ડની નજીક જાય છે,જેનો અર્થ છે કે તે નીચેની તરફ ખસે છે.
તેથી,$p$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરની ફર્મી લેવલ નીચે જાય છે અને $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરની ફર્મી લેવલ ઉપર જાય છે.

(D) ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થમાં,ક્યુરી તાપમાનની નીચે,પરમાણુઓ આપમેળે મેક્રોસ્કોપિક કદમાં એક સામાન્ય દિશામાં ગોઠવાય છે. આ વિસ્તારને મેગ્નેટિક ડોમેન કહેવામાં આવે છે. દરેક ડોમેનની અંદર,મેગ્નેટિક ડાયપોલ એક જ દિશામાં ગોઠવાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે તે ચોક્કસ વિસ્તાર માટે સેચ્યુરેશન મેગ્નેટાઇઝેશન પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી,ડોમેન એ સેચ્યુરેશન મેગ્નેટાઇઝેશન ધરાવતો મેક્રોસ્કોપિક વિસ્તાર છે.

(D) જ્યારે મેસેજ સિગ્નલને કેરિયર સિગ્નલ સાથે એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિણામી મોડ્યુલેટેડ તરંગમાં કેરિયર આવૃત્તિ $f_{c}$ અને સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $(f_{c} + f_{m})$ અને $(f_{c} - f_{m})$ હોય છે.
જો કે,કેરિયર સિગ્નલ એ મુખ્ય ઘટક છે જે માહિતી લઈ જવા માટે એન્ટેના દ્વારા પ્રસારિત થાય છે.
પ્રસારિત સિગ્નલની તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ કેરિયર આવૃત્તિ $f_{c}$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે $\lambda = \frac{c}{f_{c}}$ છે,જ્યાં $c$ એ હવામાં પ્રકાશની ગતિ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\frac{q}{\varepsilon_{0}}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ ને ઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણ રીતે આવરી લેવા માટે આવા $8$ સમાન ઘન દ્વારા વહેંચાય છે.
તેથી,ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{cube}} = \frac{q}{8\varepsilon_{0}}$ છે.
ઘનની જે ત્રણ સપાટીઓ ખૂણા પર મળે છે જ્યાં વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે,તેમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓ આ સપાટીઓને સમાંતર છે.
બાકીની ત્રણ સપાટીઓ વિદ્યુતભારની સાપેક્ષમાં સંમિત છે,તેથી આ ત્રણ સપાટીઓમાંથી દરેકમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન છે.
ધારો કે છાયાંકિત ભાગ એ આ સપાટીઓમાંથી એક છે. છાયાંકિત ભાગમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_{\text{shaded}} = \frac{1}{3} \times \phi_{\text{cube}} = \frac{1}{3} \times \frac{q}{8\varepsilon_{0}} = \frac{q}{24\varepsilon_{0}}$ થાય.

(D) ઉત્સર્જિત વિકિરણની તરંગલંબાઇ માટે રિડબર્ગ સૂત્ર $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ છે, જ્યાં $R \approx 1.097 \times 10^7 \, m^{-1}$ એ રિડબર્ગ અચળાંક છે。
$n_i = 2$ થી $n_f = 1$ ના સંક્રમણ માટે:
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right)$
$\frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( 1 - 0.25 \right) = 1.097 \times 10^7 \times 0.75$
$\frac{1}{\lambda} = 0.82275 \times 10^7 \, m^{-1}$
$\lambda = \frac{1}{0.82275 \times 10^7} \approx 1.215 \times 10^{-7} \, m = 121.5 \, nm$.
$R$ ના ચોક્કસ મૂલ્ય અને ઉર્જા સ્તરોનો ઉપયોગ કરતા, પ્રમાણિત મૂલ્ય આશરે $121.8 \, nm$ મળે છે。

(D) આપેલ છે: $R = 110 \, \Omega$,$V = 220 \, V$,$\omega = 300 \, rad/s$.
જ્યારે કેપેસિટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LR$ સર્કિટ બને છે. ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $45^{\circ}$ પાછળ રહેતો હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{R} = 1$,તેથી $X_L = R$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RC$ સર્કિટ બને છે. ફેઝ એંગલ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. પ્રવાહ $45^{\circ}$ આગળ રહેતો હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{R} = 1$,તેથી $X_C = R$.
$X_L = R$ અને $X_C = R$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $X_L = X_C$.
$LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે $X_L = X_C$ હોય,ત્યારે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે.
rms પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{R} = \frac{220}{110} = 2 \, A$.

(A) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ એ દળ છે અને $v$ એ ઝડપ છે.
આપેલ છે કે બંને કણો સમાન ઝડપ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેથી તેમની તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{\frac{h}{m_{e}v}}{\frac{h}{m_{p}v}} = \frac{m_{p}}{m_{e}}$.
આપેલ સંબંધ $m_{p} = 1836 m_{e}$ મૂકતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{1836 m_{e}}{m_{e}} = 1836$.

(B) જ્યારે ઈલેક્ટ્રોન સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે,ત્યારે વિદ્યુતબળ માત્ર પ્લેટોને લંબ દિશામાં (શિરોલંબ દિશામાં) લાગે છે.
તેથી,પ્લેટોને સમાંતર દિશામાં (સમક્ષિતિજ દિશામાં) કોઈ બળ લાગતું નથી.
પરિણામે,પ્લેટોને સમાંતર વેગનો ઘટક ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
ધારો કે $v_{1}$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $v_{2}$ એ અંતિમ વેગ છે.
પ્રવેશ સમયે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{1} \cos \alpha$ છે.
બહાર નીકળતી વખતે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{2} \cos \beta$ છે.
સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ હોવાથી,આપણી પાસે છે: $v_{1} \cos \alpha = v_{2} \cos \beta$.
આનો અર્થ એ થાય કે: $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{\cos \beta}{\cos \alpha}$.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર છે: $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \left(\frac{v_{1}}{v_{2}}\right)^{2}$.
વેગનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{K_{1}}{K_{2}} = \left(\frac{\cos \beta}{\cos \alpha}\right)^{2} = \frac{\cos^{2} \beta}{\cos^{2} \alpha}$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં બે $AND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ (આઉટપુટ પર $NOR$ ગેટ બનાવે છે) છે. પ્રથમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $\bar{B}$ છે. બીજા $AND$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $B$ છે.
$OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B)$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Y$ આનું ઇન્વર્ઝન છે,તેથી $Y = \overline{(A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B)}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$Y = \overline{(A \cdot \bar{B})} \cdot \overline{(\bar{A} \cdot B)} = (\bar{A} + B) \cdot (A + \bar{B})$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$Y = \bar{A} \cdot A + \bar{A} \cdot \bar{B} + B \cdot A + B \cdot \bar{B} = 0 + \bar{A} \cdot \bar{B} + A \cdot B + 0 = A \cdot B + \bar{A} \cdot \bar{B}$.
આ $XNOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$1$
$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$
$1$	$1$	$1$

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $\frac{hc}{\lambda} = \phi + eV_s$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $V_s$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{1240}{491} = \phi + 0.71 \implies 2.525 = \phi + 0.71 \implies \phi = 1.815\, eV$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{1240}{\lambda} = \phi + 1.43$.
$\phi = 1.815\, eV$ મૂકતા: $\frac{1240}{\lambda} = 1.815 + 1.43 = 3.245\, eV$.
તેથી,$\lambda = \frac{1240}{3.245} \approx 382\, nm$.

(A) રેક્ટિફાયર: એક ઉપકરણ જેનો ઉપયોગ $a.c.$ (અલ્ટરનેટિંગ કરંટ) ને $d.c.$ (ડાયરેક્ટ કરંટ) માં રૂપાંતરિત કરવા માટે થાય છે। તેથી,$(a)-(ii)$.
$(b)$ સ્ટેબિલાઇઝર: એક ઉપકરણ જેનો ઉપયોગ ઇનપુટ વોલ્ટેજ અથવા લોડ કરંટ બદલાય તો પણ સતત આઉટપુટ વોલ્ટેજ જાળવવા માટે થાય છે। તેથી,$(b)-(iv)$.
$(c)$ ટ્રાન્સફોર્મર: એક ઉપકરણ જેનો ઉપયોગ $a.c.$ વોલ્ટેજને સ્ટેપ-અપ અથવા સ્ટેપ-ડાઉન કરવા માટે થાય છે। તેથી,$(c)-(i)$.
$(d)$ ફિલ્ટર: એક સર્કિટ જેનો ઉપયોગ રેક્ટિફાઇડ આઉટપુટ વોલ્ટેજમાં રહેલી રિપલ (અસ્થિરતા) ને દૂર કરવા માટે થાય છે જેથી વધુ સરળ $d.c.$ આઉટપુટ મળી શકે। તેથી,$(d)-(iii)$.
આમ,સાચી જોડી $(a)-(ii), (b)-(iv), (c)-(i), (d)-(iii)$ છે।

(D) વર્તુળાકાર છિદ્ર માટે મધ્યસ્થ વિવર્તન મહત્તમની કોણીય પહોળાઈ $\theta \approx \frac{1.22 \lambda}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પિનહોલનો વ્યાસ છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
જેમ પિનહોલનો વ્યાસ $D$ વધે છે,તેમ કોણીય પહોળાઈ $\theta$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે વિવર્તન ભાતનું કદ ઘટે છે.
જેમ પિનહોલનું ક્ષેત્રફળ વધે છે (ક્ષેત્રફળ $\propto D^2$),તેમ પિનહોલમાંથી પસાર થતા પ્રકાશનો કુલ જથ્થો વધે છે,અને આ પ્રકાશ હવે નાના વિસ્તારમાં કેન્દ્રિત થતો હોવાથી,વિવર્તન ભાતની તીવ્રતા વધે છે.
તેથી,કદ ઘટે છે અને તીવ્રતા વધે છે.

(D) બલ્બનો પાવર $P = 80\, W$ છે. કાર્યક્ષમતા $10\, \%$ હોવાથી,ઉત્સર્જિત પાવર $P_{rad} = 80 \times 0.10 = 8\, W$ થશે.
તે બિંદુવત ઉદગમ હોવાથી,$r = 10\, m$ અંતરે તીવ્રતા $I = \frac{P_{rad}}{4 \pi r^{2}} = \frac{8}{4 \pi (10)^{2}} = \frac{8}{400 \pi} = \frac{1}{50 \pi} \, W/m^{2}$ મળે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા અને મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = \frac{1}{2} c \epsilon_{0} E_{0}^{2}$ છે.
$\epsilon_{0} = \frac{1}{\mu_{0} c^{2}}$ મૂકતા,$I = \frac{1}{2} c \left( \frac{1}{\mu_{0} c^{2}} \right) E_{0}^{2} = \frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c}$ મળે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{E_{0}^{2}}{2 \mu_{0} c} = \frac{1}{50 \pi}$.
$E_{0}^{2} = \frac{2 \mu_{0} c}{50 \pi} = \frac{\mu_{0} c}{25 \pi}$.
$E_{0} = \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{25 \pi}} = \frac{1}{5} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}} = \frac{2}{10} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}}$.
આને $\frac{x}{10} \sqrt{\frac{\mu_{0} c}{\pi}}$ સાથે સરખાવતા,$x = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $m = 10 \, mg = 10 \times 10^{-6} \, kg$,$L = 0.5 \, m$,$r = 0.2 \, m$,અને $g = 10 \, ms^{-2}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$,અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{r^2}$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{r/2}{L} = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$. તેથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96}$.
બળોનું વિભાજન કરતા: $T \cos \theta = mg$ અને $T \sin \theta = F_e$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{r^2 mg}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{0.2}{\sqrt{0.96}} = \frac{0.2}{0.9798} \approx 0.204$.
$q^2 = \frac{r^2 mg \tan \theta}{k} = \frac{(0.2)^2 \times (10^{-5}) \times (0.204)}{9 \times 10^9} = \frac{0.04 \times 10^{-5} \times 0.204}{9 \times 10^9} \approx 9.06 \times 10^{-17} \, C^2$.
$q \approx 9.52 \times 10^{-9} \, C = 0.952 \times 10^{-8} \, C$.
આપેલ છે કે $q = \frac{a}{21} \times 10^{-8} \, C$,તેથી $\frac{a}{21} = 0.952 \implies a = 0.952 \times 21 \approx 20$.

(C) $X$-ray ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમાન ઉર્જા ધરાવતા કાલ્પનિક કણનું દળ $m$ એ $E = mc^2$ દ્વારા મળે છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{hc}{\lambda} = mc^2$.
$m$ માટે ઉકેલતા: $m = \frac{h}{c\lambda}$.
અહીં $\lambda = 10 \, \mathring{A} = 10 \times 10^{-10} \, \text{m} = 10^{-9} \, \text{m}$ આપેલ છે.
$c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$ ની કિંમત મૂકતા:
$m = \frac{h}{(3 \times 10^8) \times 10^{-9}} = \frac{h}{3 \times 10^{-1}} = \frac{h}{0.3} = \frac{10h}{3}$.
આને આપેલ પદ $\frac{x}{3} h$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 10$ મળે છે.

(C) જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 2.1 \, nC + (-0.1 \, nC) = 2.0 \, nC$.
સંપર્ક પછી દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{2} = \frac{2.0 \, nC}{2} = 1.0 \, nC = 1.0 \times 10^{-9} \, C$.
ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $r = 0.5 \, m$ છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (9 \times 10^{9}) \times \frac{(1.0 \times 10^{-9}) \times (1.0 \times 10^{-9})}{(0.5)^{2}}$.
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-18}}{0.25} = \frac{9 \times 10^{-9}}{0.25} = 36 \times 10^{-9} \, N$.
આમ,બળ $36 \times 10^{-9} \, N$ છે.

(A) પરિપથમાં બિંદુ $P$ અને $R$ વચ્ચે બે સમાંતર શાખાઓ જોડાયેલી છે.
શાખા $1$ માં $PQ$ અને $QR$ તાર શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનો અવરોધ $R_1 = 2 \,\Omega + 2 \,\Omega = 4 \,\Omega$ છે.
શાખા $2$ માં સીધો $PR$ તાર છે,જેનો અવરોધ $R_2 = 2 \,\Omega$ છે.
કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 6 \, A$ આ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે.
કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,શાખા $PQ$ (અને ત્યારબાદ $QR$) માંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ નીચે મુજબ છે:
$i_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2}$
$i_1 = 6 \times \frac{2}{4 + 2} = 6 \times \frac{2}{6} = 2 \, A$.
આમ,વિદ્યુતપ્રવાહ $i_1$ નું મૂલ્ય $2 \, A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\lambda = \frac{C}{V}$.
કેમ કે $C = \frac{Q}{V}$,તેથી $\lambda = \frac{Q}{V^{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = \frac{W}{Q}$,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
$\lambda$ ના સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda = \frac{Q}{(W/Q)^{2}} = \frac{Q^{3}}{W^{2}}$.
પરિમાણીય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $[Q] = [IT]$,$[W] = [ML^{2}T^{-2}]$.
$\lambda = \frac{[IT]^{3}}{[ML^{2}T^{-2}]^{2}} = \frac{[I^{3}T^{3}]}{[M^{2}L^{4}T^{-4}]}$.
$\lambda = [M^{-2} L^{-4} I^{3} T^{3 - (-4)}] = [M^{-2} L^{-4} I^{3} T^{7}]$.

(A) પાંખોમાં પ્રેરિત ગતિકીય $EMF$ $\epsilon = B_v \cdot v \cdot l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_v$ એ પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો શિરોલંબ ઘટક છે.
આપેલ છે: $l = 10 \, m$,$v = 180 \, km/h = 50 \, m/s$,$B = 2.5 \times 10^{-4} \, T$,અને ડીપનો ખૂણો $\delta = 60^{\circ}$.
શિરોલંબ ઘટક $B_v = B \sin \delta = 2.5 \times 10^{-4} \times \sin 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = (2.5 \times 10^{-4} \times \sin 60^{\circ}) \times 50 \times 10$.
$\epsilon = 2.5 \times 10^{-4} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times 500$.
$\epsilon = 2.5 \times 10^{-4} \times 0.866 \times 500 = 0.10825 \, V$.
$mV$ માં ફેરવતા: $\epsilon = 0.10825 \times 1000 = 108.25 \, mV$.

(C) વિધાન $A$ સાચું છે. સાદા માઇક્રોસ્કોપમાં,બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતું આભાસી પ્રતિબિંબ આંખ પર તેટલો જ ખૂણો આંતરે છે જેટલો વસ્તુ પોતે આંતરે છે,કારણ કે વસ્તુમાંથી આવતા કિરણો પ્રતિબિંબના સ્થાન પરથી આવતા હોય તેવું લાગે છે.
કારણ $R$ પણ સાચું છે. સાદું માઇક્રોસ્કોપ (બહિર્ગોળ લેન્સ) વસ્તુને $u_0$ અંતરે રાખવાની મંજૂરી આપે છે જે સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતર $(D = 25\, cm)$ કરતા ઓછું હોય છે.
કોણીય મોટવણી $m = \frac{\theta^{\prime}}{\theta} = \frac{D}{u_0}$ હોવાથી,અને $u_0 < D$ હોવાથી,આપણને $m > 1$ મળે છે. કારણ સમજાવે છે કે આપણને મોટવણી શા માટે મળે છે,જે માઇક્રોસ્કોપનો હેતુ છે,અને તે કોણીય કદ અંગેના વિધાનને યોગ્ય રીતે ન્યાયી ઠેરવે છે.
તેથી,$A$ અને $R$ બંને સાચા છે અને $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) વિધાન $I$ નું વિશ્લેષણ: ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વિદ્યુત ડાયપોલ માટે,કુલ વિદ્યુતભાર $q_{in} = +q + (-q) = 0$ થાય છે. તેથી,ફ્લક્સ $\phi = 0$ છે. જો કે,ડાયપોલને કારણે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ ગોળાની અંદર દરેક બિંદુએ શૂન્યતર (non-zero) હોય છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$ નું વિશ્લેષણ: $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના નક્કર ધાતુના ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે. $r < R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કોઈપણ ગૌસિયન સપાટી માટે,ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{in} = 0$ છે. ગૌસના નિયમ મુજબ,વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{in}}{\varepsilon_0} = 0$ થાય. ઉપરાંત,વાહકની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ શૂન્ય હોય છે. વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે ફ્લક્સ શૂન્ય નથી,જે ખોટું છે. તેથી,વિધાન $II$ ખોટું છે.
નિષ્કર્ષ: વિધાન $I$ સાચું છે અને વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n = 5$ થી $n = 1$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે મુક્ત થતી ઉર્જા:
$\Delta E = E_5 - E_1 = -0.54 \, eV - (-13.6 \, eV) = 13.06 \, eV$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પરમાણુનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે,તેથી પરમાણુનું અંતિમ વેગમાન ઉત્સર્જિત ફોટોનના વેગમાન જેટલું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ:
$P_{\text{atom}} = P_{\text{photon}} = \frac{h}{\lambda}$.
ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ હોવાથી,$\frac{1}{\lambda} = \frac{\Delta E}{hc}$ મળે.
આ કિંમત વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા,પરમાણુનું રિકોઇલ વેગમાન $Mv = \frac{\Delta E}{c}$ મળે,જ્યાં $M$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુનું દળ $(M \approx 1.67 \times 10^{-27} \, kg)$ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \, m/s)$ છે.
રિકોઇલ વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે:
$v = \frac{\Delta E}{Mc} = \frac{13.06 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J}{1.67 \times 10^{-27} \, kg \times 3 \times 10^8 \, m/s} \approx 4.17 \, m/s$.

(A) આપેલ છે: $L = 100 \, mH = 0.1 \, H$,$C = 100 \, \mu F = 10^{-4} \, F$,$R = 120 \, \Omega$,$V = 30 \sin(100t) \, V$.
વોલ્ટેજ સમીકરણ પરથી,મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 30 \, V$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \, rad/s$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100 \times 0.1 = 10 \, \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-4}} = \frac{1}{0.01} = 100 \, \Omega$.
ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{120^2 + (10 - 100)^2} = \sqrt{120^2 + (-90)^2} = \sqrt{14400 + 8100} = \sqrt{22500} = 150 \, \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{30}{150} = 0.2 \, A$.
અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{0.1 \times 10^{-4}}} = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-5}}} \approx 50 \, Hz$.

(D) પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $(mg)$,લંબબળ $(N)$,વિદ્યુતબળ $(F_e = qE)$ અને ઘર્ષણ $(f = \mu N)$ છે.
$F_e = (5 \times 10^{-3} \, C) \times (200 \, N/C) = 1 \, N$.
ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$N = mg \cos 30^{\circ} + F_e \sin 30^{\circ} = (1 \times 9.8 \times 0.866) + (1 \times 0.5) = 8.487 + 0.5 = 8.987 \, N \approx 9 \, N$.
ઢળતા સમતલને સમાંતર દિશામાં બળોનું વિભાજન કરતા:
$F_{net} = mg \sin 30^{\circ} + F_e \cos 30^{\circ} - \mu N = (1 \times 9.8 \times 0.5) + (1 \times 0.866) - (0.2 \times 9) = 4.9 + 0.866 - 1.8 = 3.966 \, N$.
પ્રવેગ $a = F_{net} / m = 3.966 / 1 = 3.966 \, m/s^2$.
ઢળતા સમતલની લંબાઈ $L = h / \sin 30^{\circ} = 1 / 0.5 = 2 \, m$.
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(u = 0)$:
$2 = 0 + \frac{1}{2} \times 3.966 \times t^2 \implies t^2 = 4 / 3.966 \approx 1.008 \implies t \approx 1 \, s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનો જવાબ $1.3 \, s$ છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં એક $NAND$ ગેટ,એક $OR$ ગેટ અને એક $NOT$ ગેટ છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A \cdot A} = \overline{A}$ છે.
આ આઉટપુટ $\overline{A}$ અને ઇનપુટ $B$ ને $OR$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે,જે મધ્યવર્તી આઉટપુટ $Z = \overline{A} + B$ આપે છે.
અંતે,આને $NOT$ ગેટમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે જેથી અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Z} = \overline{\overline{A} + B}$ મળે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{\overline{A} + B} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{B} = A \cdot \overline{B}$.
હવે,$Y = A \cdot \overline{B}$ માટે ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ:
- $t = 0$ થી $1$ s માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1 \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$.
- $t = 1$ થી $2$ s માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
- $t = 2$ થી $3$ s માટે: $A=0, B=0 \implies Y = 0 \cdot \overline{0} = 0 \cdot 1 = 0$.
- $t = 3$ થી $4$ s માટે: $A=1, B=1 \implies Y = 1 \cdot \overline{1} = 1 \cdot 0 = 0$.
- $t = 4$ થી $5$ s માટે: $A=1, B=0 \implies Y = 1 \cdot \overline{0} = 1 \cdot 1 = 1$.
આમ,આઉટપુટ $Y$ એ $t = 0$ થી $1$ s અને $t = 4$ થી $5$ s દરમિયાન હાઈ $(1)$ છે,અને બાકીના સમયમાં લો $(0)$ છે. આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ સિગ્નલ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની $t$ સમયે એક્ટિવિટી $A(t) = A_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t_{1}$ પર,$A = A_{0} e^{-\lambda t_{1}}$ ... $(i)$
સમય $t_{2}$ પર,$\frac{A}{5} = A_{0} e^{-\lambda t_{2}}$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A}{A/5} = \frac{A_{0} e^{-\lambda t_{1}}}{A_{0} e^{-\lambda t_{2}}}$
$5 = e^{\lambda(t_{2}-t_{1})}$
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા:
$\ln 5 = \lambda(t_{2}-t_{1})$
$\lambda = \frac{\ln 5}{t_{2}-t_{1}}$
સરેરાશ આયુષ્ય $\tau$ એ ક્ષય અચળાંક $\lambda$ નો વ્યસ્ત છે:
$\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{t_{2}-t_{1}}{\ln 5}$

(A) પ્રારંભિક અવરોધ $R_{0} = 1\, \Omega$ અને પ્રારંભિક લંબાઈ $\ell_{0} = 1\, m$ છે.
જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. ધારો કે નવી લંબાઈ $\ell_{1}$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $25\, \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\ell_{1} = \ell_{0} + 0.25\ell_{0} = 1.25\ell_{0} = 1.25\, m$.
કદ $V = A \ell$ અચળ હોવાથી,$A_{0}\ell_{0} = A_{1}\ell_{1}$,જેનો અર્થ છે કે $A_{1} = A_{0}(\ell_{0} / \ell_{1})$.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{\ell}{A}$ છે.
તેથી,નવો અવરોધ $R_{1} = \rho \frac{\ell_{1}}{A_{1}} = \rho \frac{\ell_{1}}{A_{0}(\ell_{0} / \ell_{1})} = \rho \frac{\ell_{1}^{2}}{A_{0}\ell_{0}} = R_{0} \left( \frac{\ell_{1}}{\ell_{0}} \right)^{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $R_{1} = 1 \times (1.25)^{2} = 1.5625\, \Omega$.
અવરોધમાં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $\frac{R_{1} - R_{0}}{R_{0}} \times 100\, \% = \frac{1.5625 - 1}{1} \times 100\, \% = 56.25\, \%$ છે.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,પ્રતિશત ફેરફાર $56\, \%$ થાય.

(C) પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોય છે,અને આપાત કિરણ,પરાવર્તિત કિરણ અને લંબ એક જ સમતલમાં હોય છે.
ધારો કે લંબ સદિશ $\overrightarrow{ c }$ છે. આપાત કિરણ $\overrightarrow{ a }$ નો લંબની દિશામાં ઘટક $(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$ છે.
લંબને લંબરૂપે $\overrightarrow{ a }$ નો ઘટક $\overrightarrow{ a } - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$ છે.
પરાવર્તિત કિરણ $\overrightarrow{ b }$ માટે લંબને લંબરૂપે ઘટક સમાન રહે છે પરંતુ લંબની દિશામાં ઘટક વિરુદ્ધ થાય છે,તેથી:
$\overrightarrow{ b } = (\overrightarrow{ a } - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }) - (\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$
$\overrightarrow{ b } = \overrightarrow{ a } - 2(\overrightarrow{ a } \cdot \overrightarrow{ c }) \overrightarrow{ c }$

(B) એક $AM$ બ્રોડકાસ્ટ સ્ટેશન માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થ એ મહત્તમ મોડ્યુલેટિંગ આવૃત્તિના બમણા જેટલી હોય છે.
સ્ટેશન દીઠ બેન્ડવિડ્થ $= 2 \times f_m = 2 \times 5\, kHz = 10\, kHz$.
$90\, kHz$ ની કુલ બેન્ડવિડ્થમાં કેટલા સ્ટેશનો સમાવી શકાય તે શોધવા માટે,આપણે કુલ બેન્ડવિડ્થને સ્ટેશન દીઠ બેન્ડવિડ્થ વડે ભાગીશું.
સ્ટેશનોની સંખ્યા $= \frac{\text{કુલ બેન્ડવિડ્થ}}{\text{સ્ટેશન દીઠ બેન્ડવિડ્થ}} = \frac{90\, kHz}{10\, kHz} = 9$.
તેથી,$9$ સ્ટેશનો સમાવી શકાય છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $KE_{\max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $KE_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $v = \sqrt{\frac{2(h\nu - \phi)}{m}}$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$h\nu_1 = 2\phi$. તેથી,$v_1 = \sqrt{\frac{2(2\phi - \phi)}{m}} = \sqrt{\frac{2\phi}{m}}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$h\nu_2 = 10\phi$. તેથી,$v_2 = \sqrt{\frac{2(10\phi - \phi)}{m}} = \sqrt{\frac{18\phi}{m}}$.
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2\phi}{18\phi}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$ છે.
આપેલ ગુણોત્તર $x:y = 1:3$ હોવાથી,$x$ નું મૂલ્ય $1$ છે.

(C) ધારો કે અરીસો $y$-અક્ષ પર છે અને તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે. અરીસો $y = -25 \,cm$ થી $y = +25 \,cm$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
પ્રકાશનો સ્ત્રોત $S$ એ $(60 \,cm, 0)$ પર છે.
સમતલ અરીસામાં સ્ત્રોત $S$ નું પ્રતિબિંબ $S'$ એ $(-60 \,cm, 0)$ પર રચાય છે.
માણસ અરીસાથી $1.2 \,m = 120 \,cm$ ના અંતરે ચાલે છે.
પ્રતિબિંબ $S'$ માંથી નીકળતા કિરણો જે દ્રષ્ટિ ક્ષેત્ર નક્કી કરે છે તે અરીસાની ધાર $y = 25 \,cm$ અને $y = -25 \,cm$ માંથી પસાર થાય છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોનો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ અને પ્રતિબિંબ $S'$ થી અંતરનો ગુણોત્તર અચળ રહે છે:
$\frac{y_{edge}}{distance_{S'}} = \frac{x}{distance_{S'} + distance_{man}}$
અહીં,અરીસાથી પ્રતિબિંબ $S'$ નું અંતર $60 \,cm$ છે. અરીસાથી માણસનું અંતર $120 \,cm$ છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ $S'$ થી માણસનું કુલ અંતર $60 \,cm + 120 \,cm = 180 \,cm$ છે.
સમરૂપ ત્રિકોણોના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{25 \,cm}{60 \,cm} = \frac{x}{180 \,cm}$
$x = \frac{25 \times 180}{60} = 25 \times 3 = 75 \,cm$.
આ $x$ એ મધ્ય અક્ષથી એક બાજુના અંતિમ બિંદુ સુધીનું અંતર છે.
બંને અંતિમ બિંદુઓ વચ્ચેનું કુલ અંતર $2x = 2 \times 75 \,cm = 150 \,cm$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 27r^3$,એટલે કે $R = 3r$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપા પરનો વીજભાર $q$ છે. મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = 27q$ થશે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વીજભાર ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U_1 = \frac{3}{5} \frac{kq^2}{r}$ છે.
મોટા ટીપાની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{3}{5} \frac{kQ^2}{R}$ છે.
$Q = 27q$ અને $R = 3r$ ની કિંમત $U$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$U = \frac{3}{5} \frac{k(27q)^2}{3r} = \frac{3}{5} \frac{k \cdot 729q^2}{3r} = \frac{729}{3} \left( \frac{3}{5} \frac{kq^2}{r} \right)$.
$U = 243 U_1$.
તેથી,મોટા ટીપાની સ્થિતિઊર્જા નાના ટીપાની સ્થિતિઊર્જા કરતા $243$ ગણી છે.

(B) કુલ સપ્લાય વોલ્ટેજ $V_{in} = 90\, V$ છે અને શ્રેણી અવરોધ $R_{s} = 4\, k\Omega = 4000\, \Omega$ છે.
ઝેનર ડાયોડ તેની આસપાસ $V_{z} = 30\, V$ નો અચળ વોલ્ટેજ જાળવી રાખે છે.
શ્રેણી અવરોધ $R_{s}$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R} = V_{in} - V_{z} = 90\, V - 30\, V = 60\, V$ છે.
સ્ત્રોતમાંથી શ્રેણી અવરોધ દ્વારા વહેતો કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V_{R}}{R_{s}} = \frac{60\, V}{4000\, \Omega} = 0.015\, A = 15\, mA$ છે.
લોડ અવરોધ $R_{L} = 5\, k\Omega = 5000\, \Omega$ છે. લોડ અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_{1} = \frac{V_{z}}{R_{L}} = \frac{30\, V}{5000\, \Omega} = 0.006\, A = 6\, mA$ છે.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_{z} = i - i_{1} = 15\, mA - 6\, mA = 9\, mA$ મળે છે.

(D) ત્રિજ્યા ધરાવતી પ્રવાહધારિત કોઈલની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{axis}} = \frac{\mu_{0} i a^{2}}{2(a^{2} + r^{2})^{3/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{\text{centre}} = \frac{\mu_{0} i}{2a}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{B_{\text{centre}} - B_{\text{axis}}}{B_{\text{centre}}} = 1 - \frac{B_{\text{axis}}}{B_{\text{centre}}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પદો મૂકતા: $1 - \frac{\frac{\mu_{0} i a^{2}}{2(a^{2} + r^{2})^{3/2}}}{\frac{\mu_{0} i}{2a}} = 1 - \frac{a^{3}}{(a^{2} + r^{2})^{3/2}} = 1 - \left(1 + \frac{r^{2}}{a^{2}}\right)^{-3/2}$.
દ્વિપદી અંદાજ $(1 + x)^{n} \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = \frac{r^{2}}{a^{2}}$ અને $n = -3/2$:
$1 - (1 - \frac{3}{2} \frac{r^{2}}{a^{2}}) = \frac{3}{2} \frac{r^{2}}{a^{2}}$.

(D) કારમાં રિયર-વ્યુ મિરર તરીકે બહિર્ગોળ અરીસાનો ઉપયોગ થાય છે.
ગોલીય અરીસા માટે,અરીસાની સાપેક્ષ પ્રતિબિંબનો વેગ $V_{I/m} = -m^2 V_{O/m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ મોટવણી છે અને $V_{O/m}$ એ અરીસાની સાપેક્ષ વસ્તુનો વેગ છે.
આપેલ છે:
કાર $A$ ની સાપેક્ષ કાર $B$ ની સાપેક્ષ ઝડપ $V_{O/m} = 40 \, ms^{-1}$ છે.
બહિર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = +10 \, cm = +0.1 \, m$.
વસ્તુ અંતર $u = -1.9 \, m$.
મોટવણી $m = \frac{f}{f - u}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{0.1}{0.1 - (-1.9)} = \frac{0.1}{2.0} = \frac{1}{20}$.
હવે,પ્રતિબિંબનો વેગ ગણો:
$V_{I/m} = -m^2 V_{O/m} = -(\frac{1}{20})^2 \times 40 = -\frac{1}{400} \times 40 = -0.1 \, ms^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ અરીસાની સાપેક્ષ વસ્તુની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. પ્રતિબિંબની ઝડપ $0.1 \, ms^{-1}$ છે.

(D) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} L i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $U = 64 \, J$ અને $i = 8 \, A$,તેથી $64 = \frac{1}{2} \times L \times (8)^2$. આનું સાદું રૂપ આપતા $64 = 32L$ મળે,તેથી $L = 2 \, H$.
ઉર્જા વ્યયનો દર (પાવર) $P = i^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $P = 640 \, W$ અને $i = 8 \, A$,તેથી $640 = (8)^2 \times R$. આનું સાદું રૂપ આપતા $640 = 64R$ મળે,તેથી $R = 10 \, \Omega$.
$LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કિંમતો મૂકતા,$\tau = \frac{2}{10} = 0.2 \, s$.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર મહત્તમ કરવા માટે, સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_{L} = X_{C}$.
આપેલ છે કે $X_{L} = 250 \pi \, \Omega$ અને આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $250 \pi = \frac{1}{2 \pi (50) C}$.
$250 \pi = \frac{1}{100 \pi C}$.
$C = \frac{1}{250 \pi \times 100 \pi} = \frac{1}{25000 \pi^{2}}$.
આપેલ છે કે $\pi^{2} = 10$, તેથી $C = \frac{1}{25000 \times 10} = \frac{1}{250000} \, F$.
$C = 4 \times 10^{-6} \, F = 4 \, \mu F$.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $NAND$ ગેટ છે જેના ઇનપુટ્સ એકસાથે જોડાયેલા છે,જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે,ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે.
ધારો કે ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે.
બે $NOT$ ગેટના આઉટપુટ $X = \overline{A}$ અને $Y = \overline{B}$ છે.
અંતિમ આઉટપુટ $Z$ એ $X$ અને $Y$ નું $AND$ ઓપરેશન છે:
$Z = X \cdot Y = \overline{A} \cdot \overline{B}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{A} \cdot \overline{B} = \overline{A + B}$.
આ $NOR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A, B$	$X, Y$	$Z$
$0, 0$	$1, 1$	$1$
$0, 1$	$1, 0$	$0$
$1, 0$	$0, 1$	$0$
$1, 1$	$0, 0$	$0$

(D) હાઇડ્રોજન જેવા આયનમાં ઉત્સર્જિત વિકિરણની આવૃત્તિ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $f = R c Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$,જ્યાં $k = R c Z^2$ એ ચોક્કસ આયન માટે અચળાંક છે.
$n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે: $f_1 = k \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = k \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = k \left( \frac{8}{9} \right) = 2.92 \times 10^{15} \text{ Hz}$.
$n=2$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ માટે: $f_2 = k \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = k \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = k \left( \frac{3}{4} \right)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{k(8/9)}{k(3/4)} = \frac{8}{9} \times \frac{4}{3} = \frac{32}{27}$.
તેથી,$f_2 = f_1 \times \frac{27}{32} = 2.92 \times 10^{15} \times \frac{27}{32} \approx 2.46 \times 10^{15} \text{ Hz}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનનું ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ $KE_{\max} = eV_S = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda_1 = 280 \, nm$ માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_1 = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{280 \, nm} \approx 4.43 \, eV$ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S1} = \frac{E_1 - \phi}{e} = 4.43 - 2.5 = 1.93 \, V$ મળે છે.
$\lambda_2 = 400 \, nm$ માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E_2 = \frac{1240 \, eV \cdot nm}{400 \, nm} = 3.10 \, eV$ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{S2} = \frac{E_2 - \phi}{e} = 3.10 - 2.5 = 0.60 \, V$ મળે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_{S1} - V_{S2} = 1.93 - 0.60 = 1.33 \, V \approx 1.3 \, V$ છે.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,ચાર અવરોધો બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે. અવરોધોના મૂલ્યો $4 \, \Omega, 8 \, \Omega, 12 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ છે.
સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{R_{eq}} = \frac{6 + 3 + 2 + 4}{24} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \, \Omega^{-1}$
$R_{eq} = \frac{8}{5} = 1.6 \, \Omega$
આંતરિક અવરોધ $r = 0.6 \, \Omega$ ને સમાવતો પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_T$:
$R_T = R_{eq} + r = 1.6 + 0.6 = 2.2 \, \Omega$
સમગ્ર પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{E^2}{R_T}$ સૂત્ર દ્વારા મળે,જ્યાં $E = 2.2 \, V$ એ કોષનું $emf$ છે:
$P = \frac{(2.2)^2}{2.2} = 2.2 \, W$
આમ,સમગ્ર પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $2.2 \, W$ છે.

(A) $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના નક્કર ધાતુના ગોળાને $a$ આંતરિક ત્રિજ્યા અને $b$ બાહ્ય ત્રિજ્યા ધરાવતી વાહક ગોળીય કવચની અંદર મૂકવામાં આવે ત્યારે:
$1$. $r < R$ માટે: વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 0$ હોય છે.
$2$. $R \leq r < a$ માટે: વિદ્યુતક્ષેત્ર કેન્દ્રીય ગોળાને કારણે હોય છે,તેથી $E = \frac{k q}{r^2}$.
$3$. $a \leq r < b$ માટે: આ વિસ્તાર વાહક કવચના દ્રવ્યની અંદર છે. આંતરિક સપાટી $a$ પર પ્રેરિત થતો $-q$ વિદ્યુતભાર કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર $q$ ના ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે,તેથી $E = 0$.
$4$. $r \geq b$ માટે: કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q + 0 = q$ છે (ધારી લઈએ કે કવચ તટસ્થ છે),તેથી $E = \frac{k q}{r^2}$.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $r < R$ માટે શૂન્ય છે,$R \leq r < a$ માટે $1/r^2$ મુજબ બદલાય છે,$a \leq r < b$ માટે શૂન્ય છે અને $r \geq b$ માટે $1/r^2$ મુજબ બદલાય છે.

(B) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{L}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\rho$ અવરોધકતા છે, $L$ લંબાઈ છે અને $A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે。
વ્યાસ $d = 2 \; mm = 2 \times 10^{-3} \; m$, તેથી ત્રિજ્યા $r = 1 \times 10^{-3} \; m$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \; m^2$.
લોખંડની અવરોધકતા $\rho_1 = 12 \; \mu\Omega \cdot cm = 1.2 \times 10^{-7} \; \Omega \cdot m$.
મિશ્રધાતુની અવરોધકતા $\rho_2 = 51 \; \mu\Omega \cdot cm = 5.1 \times 10^{-7} \; \Omega \cdot m$.
સમાંતર જોડાણ માટે, $R_{eq} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = 3 \; \Omega$.
$R_1 = \frac{\rho_1 L}{A}$ અને $R_2 = \frac{\rho_2 L}{A}$.
$R_{eq} = \frac{\rho_1 \rho_2 L}{A(\rho_1 + \rho_2)} = 3$.
$L = \frac{3 A (\rho_1 + \rho_2)}{\rho_1 \rho_2} = \frac{3 \times \pi \times 10^{-6} \times (6.3 \times 10^{-7})}{6.12 \times 10^{-14}} \approx 97 \; m$.

(C) આપેલ છે: અવરોધકતા $\rho = 200 \, \Omega \, m$,કેપેસિટન્સ $C = 2 \times 10^{-12} \, F$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 40 \, V$,સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $K = 50$.
પ્લેટો વચ્ચેના ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થનો અવરોધ $R = \frac{\rho d}{A}$ દ્વારા અને કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = \left( \frac{\rho d}{A} \right) \left( \frac{K \varepsilon_0 A}{d} \right) = \rho K \varepsilon_0$ મળે છે.
લીકેજ પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ $I = \frac{V}{R}$ છે.
$R = \frac{\rho d}{A}$ અને $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d} \implies \frac{A}{d} = \frac{C}{K \varepsilon_0}$ મૂકતા,આપણને $R = \frac{\rho K \varepsilon_0}{C}$ મળે છે.
આમ,$I = \frac{V}{R} = \frac{VC}{\rho K \varepsilon_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $I = \frac{40 \times 2 \times 10^{-12}}{200 \times 50 \times 8.854 \times 10^{-12}}$.
$I = \frac{80 \times 10^{-12}}{10000 \times 8.854 \times 10^{-12}} = \frac{80}{88540} \approx 0.000903 \, A = 0.903 \, mA$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,લીકેજ પ્રવાહ $0.9 \, mA$ છે.