JEE Main 2021 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ આદર્શ વાયુના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PV = nRT$
જ્યાં $P$ એ દબાણ છે,$V$ એ કદ છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ વાયુના જથ્થા માટે $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$PV \propto T$
આ સૂચવે છે કે $PV$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવો જોઈએ,કારણ કે $PV$ એ $T$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો અને $T$ ની સાપેક્ષમાં $PV$ નો રેખીય વધારો દર્શાવે છે.

(D) $PV$ આલેખમાં દર્શાવેલ પ્રક્રિયા સમતાપી પ્રક્રિયા છે કારણ કે વક્ર $PV = \text{constant}$ સંબંધને અનુસરે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્યનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = nRT \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 1 \, \text{mole}$
$T = 27^{\circ} {C} = 27 + 273 = 300 \, {K}$
$R = 8.3 \, {J} / \text{mole} \cdot {K}$
$V_1 = 2 \, {m}^3, V_2 = 4 \, {m}^3$
$\ln 2 = 0.6931$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 1 \times 8.3 \times 300 \times \ln \left( \frac{4}{2} \right)$
$W = 2490 \times \ln 2$
$W = 2490 \times 0.6931$
$W = 1725.819 \, {J}$
આને $...... \times 10^{-1} \, {J}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે:
$W = 17258.19 \times 10^{-1} \, {J}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $17258 \times 10^{-1} \, {J}$ મળે છે.

(B) $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર ગબડતા પદાર્થ માટે,ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ $mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ થાય.
$v = R\omega$ હોવાથી,$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2(1 + \frac{I}{mR^2})$ મળે.
રીંગ માટે,$I = mR^2$,તેથી $mgh = \frac{1}{2}mv_R^2(1 + 1) = mv_R^2$. આમ,$v_R = \sqrt{gh}$.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$,તેથી $mgh = \frac{1}{2}mv_c^2(1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}mv_c^2$. આમ,$v_c = \sqrt{\frac{4gh}{3}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_R}{v_c} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{4gh/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ થાય.
આને $\frac{\sqrt{x}}{2}$ સાથે સરખાવતા,$x = 3$ મળે.

(C) ધારો કે ઉપર જવાનો સમય $t_a$ અને નીચે આવવાનો સમય $t_d$ છે. આપેલ છે કે $t_a = \frac{1}{2} t_d$,જેનો અર્થ છે કે $t_d = 2 t_a$.
કાપેલું અંતર $s$ સમાન હોવાથી,$s = \frac{1}{2} a_a t_a^2 = \frac{1}{2} a_d t_d^2$.
$t_d = 2 t_a$ મૂકતા,$a_a t_a^2 = a_d (2 t_a)^2$,તેથી $a_a = 4 a_d$.
ઉપર જતી વખતે પ્રવેગ $a_a = g \sin \theta + \mu g \cos \theta = g \sin 30^{\circ} + \mu g \cos 30^{\circ} = \frac{g}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g$.
નીચે આવતી વખતે પ્રવેગ $a_d = g \sin \theta - \mu g \cos \theta = g \sin 30^{\circ} - \mu g \cos 30^{\circ} = \frac{g}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g$.
$a_a = 4 a_d$ માં આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{g}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g = 4 (\frac{g}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \mu g)$.
$g$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mu = 2 - 2\sqrt{3} \mu$.
$\frac{5\sqrt{3}}{2} \mu = \frac{3}{2} \implies \mu = \frac{3}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5}$.
$\mu = \frac{\sqrt{3}}{5}$ ની સરખામણી $\frac{\sqrt{x}}{5}$ સાથે કરતા,$x = 3$ મળે છે.

(D) પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 600 \, rpm = 10 \, rev/s$.
અંતિમ કોણીય ઝડપ,$\omega_f = 1800 \, rpm = 30 \, rev/s$.
લાગતો સમય,$t = 10 \, s$.
પ્રવેગ સમાન હોવાથી,સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\omega_{avg} = \frac{\omega_0 + \omega_f}{2} = \frac{10 + 30}{2} = 20 \, rev/s$ થાય.
કુલ પરિભ્રમણોની સંખ્યા $\theta = \omega_{avg} \times t$ છે.
$\theta = 20 \, rev/s \times 10 \, s = 200 \, rev$.

(D) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પદાર્થ પર થયેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સૂટકેસ અચળ વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K.E. = 0$ છે.
તેથી,તમામ બળો દ્વારા થયેલ કુલ કાર્ય $W_{\text{Porter}} + W_{\text{gravity}} = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $W_{\text{Porter}} = -W_{\text{gravity}}$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mgh$ છે,જ્યાં $h$ એ સ્થાનાંતર છે.
અહીં,$m = 80\, \text{kg}$,$g = 9.8\, \text{m/s}^2$,અને $h = 80\, \text{cm} = 0.8\, \text{m}$.
કુલી સૂટકેસને નીચે ઉતારી રહ્યો હોવાથી,કુલી દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ ઉપરની તરફ છે જ્યારે સ્થાનાંતર નીચેની તરફ છે.
$W_{\text{Porter}} = -mgh = -(80) \times (9.8) \times (0.8) = -627.2\, \text{J}$.

(B) સદિશ $\vec{A}$ નો સદિશ $\vec{B}$ પરનો પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \left( \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|} \right) \hat{B}$,જ્યાં $\hat{B}$ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1 + 1 = 2$.
ત્યારબાદ,$\vec{B}$ નું માન શોધો: $|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
હવે,એકમ સદિશ $\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$.
અંતે,આ કિંમતોને પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Proj}_{\vec{B}} \vec{A} = \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) = \sqrt{2} \cdot \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{j}$.

(A) ઢળતી સપાટી પર ગબડતી વસ્તુનો પ્રવેગ $a = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{I}{mR^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વસ્તુઓ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે: $I_{\text{ring}} = mR^2$,$I_{\text{cylinder}} = \frac{1}{2}mR^2$,અને $I_{\text{sphere}} = \frac{2}{5}mR^2$.
જડત્વની ચાકમાત્રાની સરખામણી કરતા: $I_{\text{ring}} > I_{\text{cylinder}} > I_{\text{sphere}}$.
જેમ કે $a$ એ $(1 + \frac{I}{mR^2})$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી પ્રવેગનો ક્રમ: $a_{\text{ring}} < a_{\text{cylinder}} < a_{\text{sphere}}$ થશે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,અંતિમ વેગ $v = \sqrt{2as}$ એ પ્રવેગના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,સપાટીના તળિયે અંતિમ વેગનો ક્રમ: $v_{\text{ring}} < v_{\text{cylinder}} < v_{\text{sphere}}$ થશે.
આમ,ગોળાનો વેગ સૌથી વધુ અને રીંગનો વેગ સૌથી ઓછો હોય છે.

(D) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$.
$t = 0$ પર,$x(0) = A \sin(0) + B \cos(0) = B$. તેથી,$B = x(0)$.
વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos \omega t - B \omega \sin \omega t$.
$t = 0$ પર,$v(0) = A \omega \cos(0) - B \omega \sin(0) = A \omega$. તેથી,$A = \frac{v(0)}{\omega}$.
આપણે $x(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t$ ને $x(t) = C \cos(\omega t - \phi) = C \cos \omega t \cos \phi + C \sin \omega t \sin \phi$ સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માંગીએ છીએ.
$\sin \omega t$ અને $\cos \omega t$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A = C \sin \phi$ અને $B = C \cos \phi$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા: $A^2 + B^2 = C^2 (\sin^2 \phi + \cos^2 \phi) = C^2$.
આમ,$C = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{\left( \frac{v(0)}{\omega} \right)^2 + x(0)^2} = \sqrt{\frac{v(0)^2}{\omega^2} + x(0)^2}$.
સહગુણકોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{A}{B} = \frac{C \sin \phi}{C \cos \phi} = \tan \phi$.
તેથી,$\tan \phi = \frac{A}{B} = \frac{v(0) / \omega}{x(0)} = \frac{v(0)}{x(0) \omega}$,જેનો અર્થ છે કે $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{v(0)}{x(0) \omega} \right)$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આવર્તકાળ $T_{0} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
જ્યારે લંબાઈ ઘટાડીને $\ell' = \frac{\ell}{16}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ થાય છે:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell'}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell / 16}{g}}$.
$T' = \frac{1}{\sqrt{16}} \times (2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}})$.
$T' = \frac{1}{4} T_{0}$.

(A) પદાર્થને નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ સાથે ફેંકવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર અને પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0$ (કારણ કે નિષ્ક્રમણ વેગ માટે કુલ ઉર્જા શૂન્ય હોય છે).
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \frac{dr}{dt}$.
ચલને અલગ કરતા: $dt = \frac{dr}{\sqrt{2GM}} \cdot \sqrt{r}$.
$r=R_e$ પર $t=0$ થી $r=R_e+h$ પર સમય $t$ સુધી સંકલન કરતા:
$t = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \int_{R_e}^{R_e+h} r^{1/2} dr = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \cdot \frac{2}{3} [r^{3/2}]_{R_e}^{R_e+h}$.
$t = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} [ (R_e+h)^{3/2} - R_e^{3/2} ] = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} R_e^{3/2} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.
$GM = gR_e^2$ હોવાથી,$\sqrt{GM} = \sqrt{g}R_e$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા: $t = \frac{2 R_e^{3/2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{g} R_e} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ] = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2R_e}{g}} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.

(C) આપેલ છે:
ગોળીનું દળ,$m = 4 \, g = 4 \times 10^{-3} \, kg$
બંદૂકનું દળ,$M = 4 \, kg$
જમીનની સાપેક્ષમાં ગોળીનો વેગ,$v_b = 50 \, ms^{-1}$
ધારો કે બંદૂકનો રિકોઈલ વેગ $V$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
$M V + m v_b = 0$
$4 \times V + (4 \times 10^{-3}) \times 50 = 0$
$4 V = -0.2$
$V = -0.05 \, ms^{-1}$
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય $0.05 \, ms^{-1}$ છે.
બંદૂકને આપવામાં આવેલ આઘાત એ બંદૂકના વેગમાનમાં થતા ફેરફાર જેટલો હોય છે:
$J = |M \Delta V| = |4 \times (-0.05) - 0| = 0.2 \, kg \, ms^{-1}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સમાન અર્ધ-વર્તુળાકાર તારનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ સંમિતિની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $\frac{2R}{\pi}$ અંતરે આવેલું હોય છે.
આપેલ છે કે $COM$ નું સ્થાન $\left(0, \frac{x R}{\pi}\right)$ છે.
$y$-યામની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{x R}{\pi} = \frac{2 R}{\pi}$ મળે છે.
તેથી,$x = 2$.
$|x|$ નું મૂલ્ય $2$ છે.

(B) એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $u = \frac{1}{2} \times \text{યંગ મોડ્યુલસ} \times (\text{વિકૃતિ})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેક જકડાયેલ હોવાથી,ઉષ્મીય વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = \alpha \Delta T$ થાય.
અહીં $\alpha = 10^{-5} /^{\circ}C$ અને $\Delta T = 10^{\circ}C$ આપેલ છે,તેથી વિકૃતિ $\text{વિકૃતિ} = 10^{-5} \times 10 = 10^{-4}$ મળે.
એકમ લંબાઈ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = u \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} Y (\text{વિકૃતિ})^2 \times A$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 10^{11} \times (10^{-4})^2 \times 0.01$.
$U = 0.5 \times 10^{11} \times 10^{-8} \times 10^{-2} = 0.5 \times 10^1 = 5\, J/m$.

(C) સાદા લોલકના સમયગાળાનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
વર્ગ કરતા અને પુનઃગોઠવતા,આપણને $g = \frac{4\pi^2 \ell}{T^2}$ મળે છે.
$g$ માં સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta T}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,સમયગાળો $T$ એ $T = \frac{t}{n}$ તરીકે ગણવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ કુલ સમય છે અને $n$ એ દોલનોની સંખ્યા છે.
સમયગાળામાં ભૂલ $\Delta T = \frac{\Delta t}{n}$ છે,જ્યાં $\Delta t$ એ સ્ટોપવોચનું લઘુત્તમ માપ છે.
આ કિંમત મૂકતા,સાપેક્ષ ભૂલ $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta t}{n \cdot T} = \frac{\Delta \ell}{\ell} + 2 \frac{\Delta t}{t}$ બને છે.
બધા વિદ્યાર્થીઓ માટે $\Delta \ell = 0.1 \, cm$ અને $\Delta t = 0.1 \, s$ આપેલ છે:
વિદ્યાર્થી $1$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2 \frac{0.1}{128.0} = 0.00156 + 0.00156 = 0.00312$.
વિદ્યાર્થી $2$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{64.0} + 2 \frac{0.1}{64.0} = 0.00156 + 0.00312 = 0.00468$.
વિદ્યાર્થી $3$ માટે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{0.1}{20.0} + 2 \frac{0.1}{36.0} = 0.005 + 0.0055 = 0.0105$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,લઘુત્તમ ભૂલ વિદ્યાર્થી $1$ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે.

(D) કણ $P$ ની ગતિની દિશા સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે. તેથી,એકમ સદિશ $\hat{v}_1 = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{A} \times \vec{B} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\hat{v}_1 = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.
કણ $Q$ ની ગતિની દિશા સદિશ $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે. તેથી,$\hat{v}_2 = \pm \frac{\vec{A} \times \vec{C}}{|\vec{A} \times \vec{C}|}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{A} \times \vec{C} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{j}) = 2\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{A} \times \vec{C}| = 2$ છે.
તેથી,$\hat{v}_2 = \pm \hat{k}$.
$\hat{v}_1$ અને $\hat{v}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = |\hat{v}_1 \cdot \hat{v}_2| = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $5\, \text{minutes}$ માટે:
$\frac{75 - 65}{5} = k \left( \frac{75 + 65}{2} - 25 \right)$
$\frac{10}{5} = k (70 - 25)$
$2 = k(45) \implies k = \frac{2}{45} \, \text{min}^{-1}$.
આગામી $5\, \text{minutes}$ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T$ છે:
$\frac{65 - T}{5} = k \left( \frac{65 + T}{2} - 25 \right)$
$\frac{65 - T}{5} = \frac{2}{45} \left( \frac{65 + T - 50}{2} \right)$
$\frac{65 - T}{5} = \frac{1}{45} (T + 15)$
$9(65 - T) = T + 15$
$585 - 9T = T + 15$
$10T = 570$
$T = 57^{\circ} \text{C}$.

(B) સરક્યા વિના ગબડતા પૈડા માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{0} = \omega R$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ પૈડાની ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્રની સપાટીએ રીમ પર રહેલા કણ માટે,વેગના બે ઘટકો છે:
$1$. સ્થાનાંતરિત વેગ $v_{0}$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં છે.
$2$. સ્પર્શક વેગ $v_{t} = \omega R$ જે શિરોલંબ દિશામાં છે (બાજુના આધારે નીચે અથવા ઉપર).
કારણ કે $v_{0} = \omega R$,પરિણામી વેગ $v$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{t}^{2}} = \sqrt{v_{0}^{2} + (\omega R)^{2}}$
$v = \sqrt{v_{0}^{2} + v_{0}^{2}} = \sqrt{2 v_{0}^{2}} = \sqrt{2} \, v_{0}$
આને આપેલ પદ $\sqrt{x} \, v_{0}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\sqrt{x} = \sqrt{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.

(B) આપેલ છે કે પદાર્થોને સમાન દરે ગરમ કરવામાં આવે છે,તેથી ઉષ્મા આપવાનો દર અચળ છે,એટલે કે $\left(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)_{A} = \left(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\right)_{B}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta Q = mc\Delta T$,તેથી $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = mc\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)$.
અહીં દળ $m$ સમાન હોવાથી,$c_{A}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{A} = c_{B}\left(\frac{\Delta T}{\Delta t}\right)_{B}$ થાય.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\frac{c_{A}}{c_{B}} = \frac{(\Delta T / \Delta t)_{B}}{(\Delta T / \Delta t)_{A}}$ થશે.
આલેખ પરથી,પદાર્થ $A$ માટે ઢાળ $(\Delta T / \Delta t) = \frac{120 - 0}{3 - 0} = 40 \ ^{\circ}\text{C/s}$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે ઢાળ $(\Delta T / \Delta t) = \frac{90 - 0}{6 - 0} = 15 \ ^{\circ}\text{C/s}$ છે.
આમ,$\frac{c_{A}}{c_{B}} = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}$.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $T$ છે।
$t = 4 \, s$ સમયે, પ્રથમ ટીપું $4 \, s$ માટે પડ્યું છે। પ્રથમ ટીપા દ્વારા કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2} g (4)^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16 = 78.4 \, m$ છે।
બીજું ટીપું પ્રથમ ટીપાના $T$ સેકન્ડ પછી છોડવામાં આવ્યું હતું, તેથી તેનો પડવાનો સમય $(4 - T) \, s$ છે।
બીજા ટીપા દ્વારા કાપેલું અંતર $h_2 = \frac{1}{2} g (4 - T)^2$ છે।
બે ટીપાં વચ્ચેનું અંતર $h_1 - h_2 = 34.3 \, m$ આપેલું છે।
કિંમતો મૂકતા: $78.4 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4 - T)^2 = 34.3$.
$78.4 - 4.9(4 - T)^2 = 34.3$.
$4.9(4 - T)^2 = 44.1$.
$(4 - T)^2 = 9$.
$4 - T = 3 \Rightarrow T = 1 \, s$.
ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $1 \, s$ હોવાથી, દર $1 \, \text{ટીપું/સેકન્ડ}$ છે।

(B) લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,વર્તુળાકાર તકતી જેવા સમતલીય પદાર્થ માટે,$I_{z} = I_{x} + I_{y}$ થાય છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K$ એ $I = MK^{2}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ પદાર્થનું દળ છે.
આને પ્રમેયમાં મૂકતા: $MK_{z}^{2} = MK_{x}^{2} + MK_{y}^{2}$,જેનું સાદું રૂપ $K_{z}^{2} = K_{x}^{2} + K_{y}^{2}$ થાય છે.
કારણ કે $K_{z}^{2} = K_{x}^{2} + K_{y}^{2}$,તેથી ત્રણેય અક્ષોને અનુલક્ષીને ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા સમાન હોઈ શકે નહીં. આમ,વિધાન $A$ ખોટું છે.
કારણ $R$ જણાવે છે કે દ્રઢ પદાર્થનું દળ અને આકાર નિશ્ચિત હોય છે,જે ચાકગતિમાં દ્રઢ પદાર્થની સાચી વ્યાખ્યા છે. તેથી,$A$ ખોટું છે પરંતુ $R$ સાચું છે.

(A) સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જો બે સદિશોને ત્રિકોણની બે બાજુઓ દ્વારા ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે,તો તેમનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ દ્વારા વિરુદ્ધ ક્રમમાં દર્શાવવામાં આવે છે.
$(a)$ $\vec{C} - \vec{A} - \vec{B} = 0 \implies \vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$. આ આકૃતિ (iv) ને અનુરૂપ છે જ્યાં $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ ક્રમમાં છે અને $\vec{C}$ એ વિરુદ્ધ ક્રમમાં પરિણામી સદિશ છે.
$(b)$ $\vec{A} - \vec{C} - \vec{B} = 0 \implies \vec{A} = \vec{B} + \vec{C}$. આ આકૃતિ $(i)$ ને અનુરૂપ છે જ્યાં $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ક્રમમાં છે અને $\vec{A}$ એ પરિણામી સદિશ છે.
$(c)$ $\vec{B} - \vec{A} - \vec{C} = 0 \implies \vec{B} = \vec{A} + \vec{C}$. આ આકૃતિ (ii) ને અનુરૂપ છે જ્યાં $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ ક્રમમાં છે અને $\vec{B}$ એ પરિણામી સદિશ છે.
$(d)$ $\vec{A} + \vec{B} = -\vec{C} \implies \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$. આ આકૃતિ (iii) ને અનુરૂપ છે જ્યાં બધા સદિશો ચક્રીય ક્રમમાં છે.
આમ,સાચી જોડ $(a) \rightarrow (iv), (b) \rightarrow (i), (c) \rightarrow (iii), (d) \rightarrow (ii)$ છે.

(B) આઘાત $J$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta p$ જેટલો હોય છે. દીવાલ દ્વારા આપવામાં આવેલ આઘાત દીવાલને લંબ ( $X$-દિશામાં) હોય છે.
બોલ $(a)$ માટે, વેગ દીવાલને લંબ છે. પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = mu$ (દીવાલ તરફ), અંતિમ વેગમાન $p_f = -mu$ (દીવાલથી દૂર). વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p_a = |p_f - p_i| = |-mu - mu| = 2mu = J_1$ છે.
બોલ $(b)$ માટે, વેગ લંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. દીવાલને લંબ વેગનો ઘટક $u \cos 45^{\circ}$ છે. લંબ દિશામાં વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta p_b = |(-mu \cos 45^{\circ}) - (mu \cos 45^{\circ})| = 2mu \cos 45^{\circ} = J_2$ છે.
આઘાતના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\frac{J_1}{J_2} = \frac{2mu}{2mu \cos 45^{\circ}} = \frac{1}{\cos 45^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ થાય છે.

(C) શ્રેણી જોડાણમાં,કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ વ્યક્તિગત વધારાના સરવાળા જેટલો હોય છે: $\Delta l = \Delta l_{1} + \Delta l_{2}$.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$,તેથી $\Delta l = \frac{Fl}{AY}$.
તાર શ્રેણીમાં હોવાથી,બંને તાર માટે બળ $F$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન રહેશે.
$2l$ લંબાઈ અને $Y$ યંગ મોડ્યુલસ ધરાવતા સમતુલ્ય તાર માટે,કુલ વધારો $\Delta l = \frac{F(2l)}{AY}$ થશે.
$\Delta l, \Delta l_{1}$ અને $\Delta l_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F(2l)}{AY} = \frac{Fl}{AY_{1}} + \frac{Fl}{AY_{2}}$.
બંને બાજુ $Fl/A$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{Y} = \frac{1}{Y_{1}} + \frac{1}{Y_{2}}$.
$\frac{2}{Y} = \frac{Y_{1} + Y_{2}}{Y_{1} Y_{2}}$.
તેથી,$Y = \frac{2 Y_{1} Y_{2}}{Y_{1} + Y_{2}}$.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની ભ્રમણકક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
$L = mvr \sin(\theta)$
પેરિહેલિયન (લઘુત્તમ અંતર $x_{1}$) અને એફેલિયન (મહત્તમ અંતર $x_{2}$) પર,વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\sin(\theta) = 1$.
આમ,$m v_{max} x_{1} = m v_{min} x_{2}$.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ ઝડપ $v_{0}$ છે (જે મહત્તમ અંતર $x_{2}$ પર જોવા મળે છે),તેથી $v_{min} = v_{0}$.
આ કિંમતોને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{max} x_{1} = v_{0} x_{2}$
$v_{max} = \frac{v_{0} x_{2}}{x_{1}}$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,સંબંધ $C_{p} - C_{V} = R$ સાચો છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
અવસ્થા $P$ માં,$C_{p} - C_{V} = R$ છે,જે દર્શાવે છે કે વાયુ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
અવસ્થા $Q$ માં,$C_{p} - C_{V} = 1.10 R$ છે,જે $R$ કરતા વધારે છે. આ દર્શાવે છે કે વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થઈ રહ્યો છે,જે સામાન્ય રીતે નીચા તાપમાને થાય છે.
અવસ્થા $P$ આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે અને અવસ્થા $Q$ બિન-આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે,તેથી તેનો અર્થ એ છે કે અવસ્થા $P$ નું તાપમાન અવસ્થા $Q$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$T_{P} > T_{Q}$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થનું દળ $m_1 = 2 \, \text{kg}$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 4 \, \text{m/s}$ છે.
ધારો કે બીજા પદાર્થનું દળ $m_2$ અને તેનો પ્રારંભિક વેગ $u_2 = 0 \, \text{m/s}$ છે.
અથડામણ પછી,પ્રથમ પદાર્થ $v_1 = \frac{1}{4} \times 4 = 1 \, \text{m/s}$ ના વેગથી ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$.
$2 \times 4 + m_2 \times 0 = 2 \times 1 + m_2 v_2 \implies 8 = 2 + m_2 v_2 \implies m_2 v_2 = 6$.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે,રેસ્ટિટ્યુશનનો ગુણાંક $e = 1 = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$.
$1 = \frac{v_2 - 1}{4 - 0} \implies v_2 - 1 = 4 \implies v_2 = 5 \, \text{m/s}$.
$v_2$ ની કિંમત વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $m_2 \times 5 = 6 \implies m_2 = 1.2 \, \text{kg}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$ છે.
$v_{cm} = \frac{2 \times 1 + 1.2 \times 5}{2 + 1.2} = \frac{2 + 6}{3.2} = \frac{8}{3.2} = \frac{80}{32} = 2.5 \, \text{m/s}$.
આપેલ છે કે $v_{cm} = \frac{x}{10} \, \text{m/s}$,તેથી $\frac{x}{10} = 2.5 \implies x = 25$.

(A) સ્ક્રૂ ગેજનું લઘુત્તમ માપ $(LC)$ નીચે મુજબ છે:
$LC = \frac{\text{Pitch}}{\text{Total circular divisions}} = \frac{0.1 \, \text{cm}}{100} = 0.001 \, \text{cm}$.
વિદ્યાર્થી $A$ માટે:
શૂન્ય ત્રુટિ $= +5 \times LC = +0.005 \, \text{cm}$.
અવલોકિત રીડિંગ $= \text{MSR} + (\text{CSR} \times LC) = 0.322 \, \text{cm}$.
ધારો કે મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ $(MSR)$ $0.300 \, \text{cm}$ છે,તો:
$0.300 + (\text{CSR}_A \times 0.001) - 0.005 = 0.322 \implies \text{CSR}_A \times 0.001 = 0.027 \implies \text{CSR}_A = 27$.
વિદ્યાર્થી $B$ માટે:
શૂન્ય ત્રુટિ $= -8 \times LC = -0.008 \, \text{cm}$ (કારણ કે $92$ સંરેખિત છે,ત્રુટિ $92-100 = -8$ છે).
ધારો કે મુખ્ય સ્કેલ રીડિંગ $(MSR)$ $0.300 \, \text{cm}$ છે,તો:
$0.300 + (\text{CSR}_B \times 0.001) - (-0.008) = 0.322 \implies \text{CSR}_B \times 0.001 = 0.014 \implies \text{CSR}_B = 14$.
વર્તુળાકાર સ્કેલ રીડિંગ્સમાં તફાવત $= |27 - 14| = 13$.

(B) સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = 10 \alpha t^2 \hat{i} + 5 \beta (t - 5) \hat{j}$ છે.
વેગ સદિશ $\overrightarrow{v} = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 20 \alpha t \hat{i} + 5 \beta \hat{j}$ છે.
કોણીય વેગમાન $\overrightarrow{L} = m (\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\overrightarrow{L} = m [10 \alpha t^2 \hat{i} + 5 \beta (t - 5) \hat{j}] \times [20 \alpha t \hat{i} + 5 \beta \hat{j}]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{L} = m [ (10 \alpha t^2)(5 \beta) \hat{k} - (5 \beta (t - 5))(20 \alpha t) \hat{k} ]$.
$\overrightarrow{L} = m [ 50 \alpha \beta t^2 - 100 \alpha \beta t (t - 5) ] \hat{k}$.
$t = 0$ સમયે,$\overrightarrow{L} = m [ 0 - 0 ] \hat{k} = 0$.
આપણે $t > 0$ સમયે $\overrightarrow{L} = 0$ જોઈએ છે:
$50 \alpha \beta t^2 - 100 \alpha \beta t (t - 5) = 0$.
$50 \alpha \beta t$ વડે ભાગતા (કારણ કે $t \neq 0$):
$t - 2(t - 5) = 0$.
$t - 2t + 10 = 0 \implies -t = -10 \implies t = 10 \text{ સેકન્ડ}$.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ છે, લોલકની લંબાઈ $l = 0.5 \, m$ છે, અને સૌથી નીચલા બિંદુએ પ્રારંભિક ઝડપ $u = 3 \, m/s$ છે।
સૌથી નીચલા બિંદુ $(A)$ અને જ્યાં દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે તે બિંદુ $(B)$ વચ્ચે યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$A$ પાસે કુલ ઉર્જા = $B$ પાસે કુલ ઉર્જા
$\frac{1}{2} mu^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mgh$
જ્યાં $h$ એ ગોળા દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી શિરોલંબ ઊંચાઈ છે, જે $h = l(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m(3)^2 = \frac{1}{2} mv^2 + mg(0.5)(1 - \cos 60^{\circ})$
$9 = v^2 + 2(10)(0.5)(1 - 0.5)$
$9 = v^2 + 10(0.5)$
$9 = v^2 + 5$
$v^2 = 4$
$v = 2 \, m/s$.

(C) બે-પદાર્થ સ્પ્રિંગ-દળ સિસ્ટમની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \sqrt{\frac{k_{\text{eq}}}{\mu}}$ છે,જ્યાં $k_{\text{eq}}$ એ સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $\mu$ એ રિડ્યુસ્ડ માસ (ઘટાડેલું દળ) છે.
$1$. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $k_{\text{eq}}$ ની ગણતરી:
સ્પ્રિંગ શ્રેણીમાં જોડાયેલી છે. તેથી,$k_{\text{eq}} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.
અહીં $k_1 = k$ અને $k_2 = 4k$ આપેલ છે,તેથી:
$k_{\text{eq}} = \frac{k \times 4k}{k + 4k} = \frac{4k^2}{5k} = \frac{4k}{5}$.
$k = 20 \, N/m$ મૂકતા:
$k_{\text{eq}} = \frac{4 \times 20}{5} = 16 \, N/m$.
$2$. રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu$ ની ગણતરી:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$.
અહીં $m_1 = 200 \, g = 0.2 \, kg$ અને $m_2 = 800 \, g = 0.8 \, kg$ આપેલ છે:
$\mu = \frac{0.2 \times 0.8}{0.2 + 0.8} = \frac{0.16}{1.0} = 0.16 \, kg$.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી:
$\omega = \sqrt{\frac{16}{0.16}} = \sqrt{100} = 10 \, rad/s$.

(B) ધારો કે સદિશોના મૂલ્યો $X = Y = A$ છે.
તફાવત સદિશનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Y}| = \sqrt{A^2 + A^2 - 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 - \cos \theta)}$ થાય.
સરવાળા સદિશનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{X} + \overrightarrow{Y}| = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta} = \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,$|\overrightarrow{X} - \overrightarrow{Y}| = n |\overrightarrow{X} + \overrightarrow{Y}|$.
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2A^2(1 - \cos \theta)} = n \sqrt{2A^2(1 + \cos \theta)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2A^2(1 - \cos \theta) = n^2 \cdot 2A^2(1 + \cos \theta)$.
$1 - \cos \theta = n^2(1 + \cos \theta)$.
$1 - \cos \theta = n^2 + n^2 \cos \theta$.
$1 - n^2 = \cos \theta(1 + n^2)$.
$\cos \theta = \frac{1 - n^2}{1 + n^2} = \frac{n^2 - 1}{-n^2 - 1}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{n^2 - 1}{-n^2 - 1}\right)$.

(A) પદાર્થ ફુગ્ગામાંથી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ ફુગ્ગાના વેગ જેટલો જ $u = 10 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) હશે.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,પદાર્થ જ્યારે જમીન પર પડે ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -75 \, m$ થાય.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $a = -g = -10 \, m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-75 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 5 \, s$.
આ સમય દરમિયાન,ફુગ્ગો $10 \, m/s$ ના સમાન વેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$5 \, s$ માં ફુગ્ગા દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v \times t = 10 \times 5 = 50 \, m$ છે.
જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય ત્યારે ફુગ્ગાની જમીનથી ઊંચાઈ $H = 75 + 50 = 125 \, m$ હશે.

(B) આપેલ છે: બળ $\vec{F} = (40 \hat{i} + 10 \hat{j}) \, N$,દળ $m = 5 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,સમય $t = 10 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{40 \hat{i} + 10 \hat{j}}{5} = (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) \, m/s^2$.
પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,$t$ સમયે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ માટેનું ગતિનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ છે.
$\vec{u} = 0$,$\vec{a} = (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) \, m/s^2$,અને $t = 10 \, s$ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) (10)^2$
$\vec{r} = \frac{1}{2} (8 \hat{i} + 2 \hat{j}) (100)$
$\vec{r} = (4 \hat{i} + 1 \hat{j}) (100) = (400 \hat{i} + 100 \hat{j}) \, m$.

(B) આપેલ સંબંધ: $t = m x^{2} + n x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = 2mx + n$.
વેગ $v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$\frac{1}{v} = \frac{dt}{dx} = 2mx + n$.
તેથી,$v = (2mx + n)^{-1}$.
હવે,પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$.
$\frac{dv}{dx} = -1(2mx + n)^{-2} \cdot (2m) = -2m(2mx + n)^{-2}$.
કારણ કે $(2mx + n) = \frac{1}{v}$,તેથી $(2mx + n)^{-2} = v^{2}$.
તેથી,$a = v \cdot (-2m \cdot v^{2}) = -2mv^{3}$.
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ $= 2mv^{3}$.

(A) ત્રિકોણમિતીય વિધેયો જેવા કે $\cos$ અને $\sin$ નો ખૂણો પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
$\cos(Bx)$ માટે,પદ $Bx$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[B] = [x]^{-1} = [L^{-1}]$.
$\sin(Dt)$ માટે,પદ $Dt$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ,તેથી $[D] = [t]^{-1} = [T^{-1}]$.
કારણ કે $F = A \cos(Bx) + C \sin(Dt)$,તેથી $A$ ના પરિમાણ બળ $F$ ના પરિમાણ જેટલા હોવા જોઈએ,એટલે કે $[A] = [MLT^{-2}]$.
હવે,આપણે $\frac{AD}{B}$ ના પરિમાણની ગણતરી કરીએ:
$[\frac{AD}{B}] = \frac{[A][D]}{[B]} = \frac{[MLT^{-2}][T^{-1}]}{[L^{-1}]}$.
$[\frac{AD}{B}] = [MLT^{-3}][L] = [ML^{2}T^{-3}]$.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાન $x$ પર,ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - x^{2})$ છે.
કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ ની વચ્ચે છે,તેથી $x = \frac{A}{2}$ થાય.
ગતિ ઉર્જાના સૂત્રમાં $x = \frac{A}{2}$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - (\frac{A}{2})^{2})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - \frac{A^{2}}{4})$
$K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (\frac{3A^{2}}{4})$
$K = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2})$
અહીં $E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ હોવાથી,$K = \frac{3}{4} E$ મળે.
આમ,કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનો $3/4$ ભાગ ગતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં હોય છે.

(D) આપેલ છે કે ગ્રહની ઘનતા પૃથ્વીની ઘનતા જેટલી છે,$\rho_p = \rho_e$.
ઘનતા $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{M_p}{R_p^3} = \frac{M_e}{R_e^3}$ છે.
આ સૂચવે છે કે $\frac{R_p}{R_e} = \left(\frac{M_p}{M_e}\right)^{1/3}$.
$M_p = 2 M_e$ આપેલ હોવાથી,આપણને $\frac{R_p}{R_e} = 2^{1/3}$ મળે છે.
પદાર્થનું વજન $W = mg = m \frac{GM}{R^2}$ છે.
તેથી,$\frac{W_p}{W_e} = \frac{M_p}{M_e} \left(\frac{R_e}{R_p}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{W_p}{W_e} = 2 \times \left(\frac{1}{2^{1/3}}\right)^2 = 2 \times 2^{-2/3} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
આમ,$W_p = 2^{1/3} W$.

(D) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 20 \, \text{cm} = 0.2 \, \text{m}$,દળ $M = 10 \, \text{kg}$,પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 600 \, \text{rpm} = \frac{600 \times 2\pi}{60} \, \text{rad/s} = 20\pi \, \text{rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \, \text{rad/s}$,સમય $\Delta t = 10 \, \text{s}$.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.2)^2 = 5 \times 0.04 = 0.2 \, \text{kg m}^2$ છે.
જરૂરી ટોર્ક $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{I(\omega_f - \omega_i)}{\Delta t}$ છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $|\tau| = \frac{0.2 \times (20\pi - 0)}{10} = \frac{4\pi}{10} = 0.4\pi = 4\pi \times 10^{-1} \, \text{Nm}$ મળે.
$x\pi \times 10^{-1} \, \text{Nm}$ સાથે સરખાવતા,$x = 4$ મળે છે.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
આપેલ છે કે અણુઓ $A$ અને $B$ બંને માટે સંખ્યા ઘનતા $n$ સમાન છે,તેથી તેમના સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{d_B^2}{d_A^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $d_A = 10 \, \mathring{A}$ અને $d_B = 5 \, \mathring{A}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
આને જરૂરી સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,$0.25 = 25 \times 10^{-2}$.
આમ,ગુણોત્તર $25 \times 10^{-2}$ છે.

(D) $y$-અક્ષ પર લાગતા ચલ બળ $F$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int_{y_1}^{y_2} F_y \, dy$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = (5y + 20) \hat{j} \, N$,તેથી સ્થાનાંતરની દિશામાં બળનો ઘટક $F_y = (5y + 20) \, N$ છે.
સંકલનની સીમાઓ $y_1 = 0 \, m$ થી $y_2 = 10 \, m$ છે.
$W = \int_{0}^{10} (5y + 20) \, dy$
$W = \left[ \frac{5y^2}{2} + 20y \right]_{0}^{10}$
$W = \left( \frac{5(10)^2}{2} + 20(10) \right) - (0 + 0)$
$W = \left( \frac{5 \times 100}{2} + 200 \right)$
$W = 250 + 200 = 450 \, J$.

(C) ધારો કે $\sigma$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ (પૃષ્ઠ દળ ઘનતા) છે. બંને તક્તિઓ માટે $\sigma$ સમાન હોવાથી:
મોટી તક્તિનું દળ,$M = \sigma \pi R^{2}$
નાની તક્તિનું દળ,$m = \sigma \pi r^{2}$
મોટી તક્તિની અક્ષ $AB$ (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} MR^{2} = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^{2}) R^{2} = \frac{1}{2} \sigma \pi R^{4}$ છે.
નાની તક્તિની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2} = \frac{1}{4} mr^{2} = \frac{1}{4} (\sigma \pi r^{2}) r^{2} = \frac{1}{4} \sigma \pi r^{4}$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{\frac{1}{2} \sigma \pi R^{4}}{\frac{1}{4} \sigma \pi r^{4}} = \frac{1/2}{1/4} \cdot \frac{R^{4}}{r^{4}} = 2 \frac{R^{4}}{r^{4}}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $2R^{4}:r^{4}$ છે.

(C) આપેલ છે:
કદ $V = 1 \, L = 10^{-3} \, m^3$
તાપમાન $T = 300 \, K$
દબાણ $P = 2 \, atm = 2 \times 1.013 \times 10^5 \, Pa \approx 2.026 \times 10^5 \, Pa$
અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar{E} = 2 \times 10^{-9} \, J$
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = NkT$ પરથી,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $(1.38 \times 10^{-23} \, J/K)$ છે.
આપણને અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $\bar{E} = \frac{3}{2}kT$ આપેલ છે. તેથી,$kT = \frac{2}{3}\bar{E}$.
આ કિંમતને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$N = \frac{PV}{kT} = \frac{PV}{\frac{2}{3}\bar{E}} = \frac{3PV}{2\bar{E}}$
$N = \frac{3 \times (2.026 \times 10^5) \times 10^{-3}}{2 \times (2 \times 10^{-9})}$
$N = \frac{6.078 \times 10^2}{4 \times 10^{-9}} \approx 1.5195 \times 10^{11}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1.5 \times 10^{11}$ છે.

(A) ધારો કે $A$ નો પ્રારંભિક વેગ $u_A = 9 \ m/s$ અને $B$ નો વેગ $u_B = 0$ છે. $A$ અને $B$ વચ્ચેની સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી,ધારો કે તેમના વેગ $v_A$ અને $v_B$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $m(9) + 2m(0) = m v_A + 2m v_B \Rightarrow 9 = v_A + 2v_B$ (સમીકરણ $1$).
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ માટે પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $(e=1)$ નો ઉપયોગ કરતા: $v_B - v_A = e(u_A - u_B) = 1(9 - 0) = 9 \Rightarrow v_B - v_A = 9$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા: $3v_B = 18 \Rightarrow v_B = 6 \ m/s$.
હવે,$B$ એ $C$ (જે શરૂઆતમાં સ્થિર છે) સાથે સંપૂર્ણ અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કરે છે. ધારો કે સંયુક્ત દળ $(B+C)$ નો અંતિમ વેગ $v_C$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા: $2m(v_B) + 2m(0) = (2m + 2m)v_C$.
$2m(6) = 4m v_C \Rightarrow 12m = 4m v_C \Rightarrow v_C = 3 \ m/s$.

(C) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{\Delta T}{\Delta t} = K(T_{avg} - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{avg}$ એ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન છે અને $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\frac{61 - 59}{4} = K \left( \frac{61 + 59}{2} - 30 \right)$
$\frac{2}{4} = K(60 - 30)$
$0.5 = K(30) \implies K = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$.
બીજા કિસ્સા માટે,ધારો કે લાગતો સમય $t$ છે:
$\frac{51 - 49}{t} = K \left( \frac{51 + 49}{2} - 30 \right)$
$\frac{2}{t} = K(50 - 30)$
$\frac{2}{t} = K(20)$.
$K$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2}{t} = \frac{1}{60} \times 20$
$\frac{2}{t} = \frac{1}{3}$
$t = 6\, \text{min}$.

(D) આપેલ છે કે $A, B, C, D$ એ $O$ કેન્દ્ર ધરાવતા અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ પરના બિંદુઓ છે. $O$ કેન્દ્ર હોવાથી,$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = |\overrightarrow{OC}| = |\overrightarrow{OD}| = R$ (ત્રિજ્યા).
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OC}$
$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OD}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$
$A, O, D$ એકરેખસ્થ છે અને $O$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે (કારણ કે $AD$ એ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે),તેથી $\overrightarrow{OD} = -\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AO}$ થાય.
આમ,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{AO} = 4\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ અંગે: બહુકોણનો નિયમ જણાવે છે કે બંધ બહુકોણ બનાવતા સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે. સમીકરણ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}$ એ બહુકોણના નિયમનું પ્રમાણિત પરિણામ નથી અને આપેલ ભૂમિતિ માટે ગાણિતિક રીતે ખોટું છે. તેથી,કારણ $R$ ખોટું છે.
આમ,$A$ સાચું છે પરંતુ $R$ સાચું નથી.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $BC$ માટે,વાયુનું તાપમાન $T_1$ ($B$ પર) થી $T_2$ ($C$ પર) થાય છે. તેથી,$W_{BC} = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા $DA$ માટે,વાયુનું તાપમાન $T_2$ ($D$ પર) થી $T_1$ ($A$ પર) થાય છે. તેથી,$W_{DA} = \frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1} = -\frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
અહીં,સમોષ્મી પ્રક્રિયાઓમાં થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય સમાન છે પરંતુ ચિહ્ન વિરુદ્ધ છે. જો પ્રશ્ન મૂલ્ય (magnitude) વિશે હોય,તો $W_{AD} = W_{BC}$ સાચો વિકલ્પ છે.

(A) દળ $M$ અને લંબાઈ $L$ ધરાવતા સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રા $(MI)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. સળિયાને લંબ અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને: $I = \frac{ML^2}{12}$.
$2$. સળિયાને લંબ અને એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને: $I = \frac{ML^2}{3}$.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$(a)$ દળ $M$,લંબાઈ $L$,મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{ML^2}{12}$ ($iii$ સાથે સુસંગત છે).
$(b)$ દળ $2M$,લંબાઈ $L$,છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{(2M)L^2}{3} = \frac{2ML^2}{3}$ ($iv$ સાથે સુસંગત છે).
$(c)$ દળ $M$,લંબાઈ $2L$,મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{M(2L)^2}{12} = \frac{4ML^2}{12} = \frac{ML^2}{3}$ ($ii$ સાથે સુસંગત છે).
$(d)$ દળ $2M$,લંબાઈ $2L$,છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ: $I = \frac{(2M)(2L)^2}{3} = \frac{2M(4L^2)}{3} = \frac{8ML^2}{3}$ ($i$ સાથે સુસંગત છે).
આમ,સાચી જોડ $(a)-(iii), (b)-(iv), (c)-(ii), (d)-(i)$ છે.

(B) સ્ક્રૂ ગેજની પિચ એટલે વર્તુળાકાર સ્કેલના એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ દીઠ સ્પિન્ડલ દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર.
આપેલ છે કે $5$ પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં મુખ્ય સ્કેલ પર કાપેલું અંતર $5 \, mm$ છે.
તેથી,પિચ $= \frac{5 \, mm}{5} = 1 \, mm$.
લઘુત્તમ માપશક્તિ (Least Count) ની વ્યાખ્યા: $\text{Least Count} = \frac{\text{Pitch}}{\text{Total divisions on circular scale}}$.
કુલ વિભાગો $= 50$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{Least Count} = \frac{1 \, mm}{50} = 0.02 \, mm$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતરિત કરતા: $0.02 \, mm = 0.002 \, cm$.
ગણતરી કરેલ લઘુત્તમ માપશક્તિ $0.002 \, cm$ છે અને વિધાનમાં $0.001 \, cm$ આપેલ છે,તેથી વિધાન $A$ ખોટું છે.
કારણ $R$ એ સ્ક્રૂ ગેજની લઘુત્તમ માપશક્તિની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે સાચી છે.

(A) ધારો કે પાત્રમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ છે. ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ બહાર નીકળતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
બહાર નીકળતા પ્રવાહી દ્વારા પાત્ર પર લાગતું બળ (થ્રસ્ટ ફોર્સ) $F_{thrust} = \rho a v^2 = \rho a (2gh) = 2 \rho agh$ છે.
પાત્ર સરકે નહીં તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ આ થ્રસ્ટ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ. તેથી,$f \geq F_{thrust}$.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N$ છે,જ્યાં $N$ એ સપાટી દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા છે. પાત્ર હલકું હોવાથી (દળ નગણ્ય છે),લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ પ્રવાહીના વજન જેટલી થાય,$N = mg = (\rho A h) g$.
તેથી,$\mu (\rho A h g) \geq 2 \rho a g h$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\mu \geq \frac{2a}{A}$ મળે છે.
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ ઘર્ષણાંક $\frac{2a}{A}$ છે.

(A) પ્રથમ કિસ્સામાં,પાવર વ્યય $P_1 = \frac{V^2}{R} = \frac{(240)^2}{36} \, W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે વાયરને બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનો અવરોધ $R' = \frac{R}{2} = \frac{36}{2} = 18 \, \Omega$ થાય છે.
બીજા કિસ્સામાં,દરેક અડધા ભાગ પર અલગથી $240 \, V$ નો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ કરવામાં આવે છે. દરેક ભાગમાં વ્યય થતો પાવર $P_{half} = \frac{V^2}{R'} = \frac{(240)^2}{18} \, W$ છે.
બીજા કિસ્સામાં કુલ પાવર વ્યય $P_2 = P_{half} + P_{half} = 2 \times \frac{(240)^2}{18} = \frac{(240)^2}{9} \, W$ છે.
પાવર વ્યયનો ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{(240)^2 / 36}{(240)^2 / 9} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ છે.
આને $1:x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(A) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનો મહત્તમ કંપનવિસ્તાર $A_{\max} = A_c + A_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_c$ એ કેરિયરનો કંપનવિસ્તાર છે અને $A_m$ એ સિગ્નલનો કંપનવિસ્તાર છે.
$A_{\max} = 250 + 150 = 400\, \text{V}$.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ તરંગનો ન્યૂનતમ કંપનવિસ્તાર $A_{\min} = A_c - A_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$A_{\min} = 250 - 150 = 100\, \text{V}$.
ન્યૂનતમ કંપનવિસ્તાર અને મહત્તમ કંપનવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_{\min}}{A_{\max}} = \frac{100}{400} = \frac{1}{4}$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $50:x$ છે,તેથી $\frac{50}{x} = \frac{1}{4}$.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 50 \times 4 = 200$ મળે છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં $3 \rightarrow 2$ સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times \frac{5}{36} \approx 1.89 \, eV$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(K.E.)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં તેમના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $r = \frac{mv}{qB}$ છે,જ્યાં $p = mv = qBr$.
તેથી,$K.E. = \frac{p^2}{2m} = \frac{(qBr)^2}{2m}$.
આપેલ છે કે $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$B = 5 \times 10^{-4} \, T$,અને $r = 7 \times 10^{-3} \, m$:
$p = (1.6 \times 10^{-19}) \times (7 \times 10^{-3}) \times (5 \times 10^{-4}) = 5.6 \times 10^{-25} \, kg \cdot m/s$.
$K.E. = \frac{(5.6 \times 10^{-25})^2}{2 \times 9.1 \times 10^{-31}} = \frac{31.36 \times 10^{-50}}{18.2 \times 10^{-31}} \approx 1.723 \times 10^{-19} \, J$.
$eV$ માં રૂપાંતર કરતા: $K.E. = \frac{1.723 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 1.077 \, eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\Phi = E_{photon} - K.E._{max} = 1.89 \, eV - 1.077 \, eV = 0.813 \, eV \approx 0.82 \, eV$.

(D) ધારો કે જંકશન પરનું પોટેન્શિયલ $V$ છે. આ જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V-0}{6} + \frac{V-90}{5} + \frac{V-140}{20} = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $60$ વડે ગુણતા:
$10V + 12(V-90) + 3(V-140) = 0$
$10V + 12V - 1080 + 3V - 420 = 0$
$25V - 1500 = 0$
$25V = 1500$
$V = 60 \, V$
તેથી,$6 \,\Omega$ અવરોધમાં પ્રવાહ $I = \frac{V-0}{6} = \frac{60}{6} = 10 \, A$ થશે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ,$K$ એ ગતિઊર્જા,$q$ એ વિદ્યુતભાર અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે બંને કણોની ગતિઊર્જા $K$ સમાન છે અને તેઓ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં દાખલ થાય છે,તેથી તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_{d}}{r_{\alpha}} = \frac{\sqrt{2m_{d}K} / (q_{d}B)}{\sqrt{2m_{\alpha}K} / (q_{\alpha}B)} = \sqrt{\frac{m_{d}}{m_{\alpha}}} \cdot \frac{q_{\alpha}}{q_{d}}$ થાય.
ડ્યુટેરોન માટે,દળ $m_{d} = 2m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{d} = e$ છે. આલ્ફા કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{\alpha} = 2e$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{r_{d}}{r_{\alpha}} = \sqrt{\frac{2m_{p}}{4m_{p}}} \cdot \frac{2e}{e} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 = \sqrt{2}$.

(C) આપેલ અર્ધ-આયુષ્ય $T_1 = 1400 \, \text{વર્ષ}$ અને $T_2 = 700 \, \text{વર્ષ}$ છે.
ક્ષય અચળાંકો $\lambda_1 = \frac{\ln 2}{1400} \, year^{-1}$ અને $\lambda_2 = \frac{\ln 2}{700} \, year^{-1}$ છે.
કુલ ક્ષય અચળાંક $\lambda_{net} = \lambda_1 + \lambda_2 = \ln 2 \left( \frac{1}{1400} + \frac{1}{700} \right) = \ln 2 \left( \frac{1+2}{1400} \right) = \frac{3 \ln 2}{1400} \, year^{-1}$ છે.
ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે. આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $N(t) = \frac{N_0}{3}$ થાય.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ $N(t) = N_0 e^{-\lambda_{net} t}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $\frac{N_0}{3} = N_0 e^{-\lambda_{net} t}$.
$\frac{1}{3} = e^{-\lambda_{net} t} \implies \ln(3) = \lambda_{net} t$.
કિંમતો મૂકતા: $1.1 = \left( \frac{3 \times 0.693}{1400} \right) t$.
$t = \frac{1.1 \times 1400}{3 \times 0.693} \approx \frac{1540}{2.079} \approx 740.7 \, \text{વર્ષ}$.
આમ, સમય આશરે $740 \, \text{વર્ષ}$ છે.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $(Q-q)$ એકબીજાથી $r$ અંતરે રહેલા છે. તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુતીય બળ $F$ કુલંબના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{k q(Q-q)}{r^2}$
મહત્તમ બળ માટેની શરત મેળવવા માટે,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{k}{r^2} (Q - 2q) = 0$
અહીં $k$ અને $r$ અચળાંક છે અને શૂન્ય નથી,તેથી:
$Q - 2q = 0$
$Q = 2q$
આમ,મહત્તમ અપાકર્ષણ માટે વિદ્યુતભાર $Q$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવો જોઈએ.

(A) $1$. ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$: જેમ સળિયો $x=0$ થી $x=b$ સુધી ગતિ કરે છે,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદરનું ક્ષેત્રફળ રેખીય રીતે વધે છે,તેથી ફ્લક્સ વધે છે. $x=b$ થી $x=2b$ સુધી,સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રની બહાર છે,તેથી ફ્લક્સ અચળ રહે છે. $x=2b$ થી $x=b$ સુધીની પરત મુસાફરીમાં,ફ્લક્સ અચળ રહે છે,અને $x=b$ થી $x=0$ સુધી,તે રેખીય રીતે ઘટે છે. આ વક્ર $A$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. પ્રેરિત $EMF$ $(e)$: પ્રેરિત $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt} = -Blv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ સળિયો $x=0$ થી $x=b$ સુધી ગતિ કરે છે,$e$ અચળ અને ઋણ હોય છે. $x=b$ થી $x=2b$ સુધી,$e=0$ છે. $x=b$ થી $x=0$ સુધીની પરત મુસાફરીમાં,વેગ ઉલટાય છે,તેથી $e$ ધન અને અચળ બને છે. આ વક્ર $B$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. પાવર વ્યય $(P)$: પાવર વ્યય $P = \frac{e^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $P \propto e^2$ હોવાથી,તે ફક્ત ત્યારે જ શૂન્યતર હોય છે જ્યારે સળિયો ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ($0$ થી $b$) હોય. આ વક્ર $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) શ્રેણી અવરોધ ${R}_{s} = 1000 \, \Omega$ પરનો કુલ વોલ્ટેજ $V_{R} = V_{i} - V_{z} = 100 \, V - 50 \, V = 50 \, V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણી અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V_{R}}{R_{s}} = \frac{50 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.05 \, A = 50 \, mA$ છે.
લોડ અવરોધ $R = 2000 \, \Omega$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{L} = \frac{V_{z}}{R} = \frac{50 \, V}{2000 \, \Omega} = 0.025 \, A = 25 \, mA$ છે.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ઝેનર પ્રવાહ $I_{z}$ એ $I_{z} = I - I_{L} = 50 \, mA - 25 \, mA = 25 \, mA$ થાય છે.

(B) $\gamma$-કિરણ ફોટોનની ઉર્જા $E_{\gamma} = h\nu$ છે.
$\gamma$-કિરણ ફોટોનનું વેગમાન $p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વેગમાન $p_N = p_{\gamma} = \frac{h\nu}{c}$ સાથે પાછા ફરવું (recoil) જોઈએ.
પાછા ફરતા ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જા $K_N = \frac{p_N^2}{2M} = \frac{(h\nu/c)^2}{2M} = \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2}$ છે.
ન્યુક્લિયસની આંતરિક ઉર્જામાં થતો કુલ ઘટાડો એ ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા અને પાછા ફરતા ન્યુક્લિયસની ગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે:
$\Delta E = E_{\gamma} + K_N = h\nu + \frac{(h\nu)^2}{2Mc^2} = h\nu \left[1 + \frac{h\nu}{2Mc^2}\right]$.

(C) ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવન માટેનું સૂત્ર: $\frac{\mu_{2}}{v} - \frac{\mu_{1}}{u} = \frac{\mu_{2} - \mu_{1}}{R}$ છે.
આપેલ છે:
$\mu_{1} = 1.25$ (વિસ્તાર $I$ નો વક્રીભવનાંક)
$\mu_{2} = 1.4$ (વિસ્તાર $II$ નો વક્રીભવનાંક)
$u = -40\, \text{cm}$ (વસ્તુ અંતર, સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ)
$R = -25\, \text{cm}$ (વક્રતા ત્રિજ્યા, કારણ કે વક્રતા કેન્દ્ર વિસ્તાર $I$ માં છે)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.4}{v} - \frac{1.25}{-40} = \frac{1.4 - 1.25}{-25}$
$\frac{1.4}{v} + \frac{1.25}{40} = \frac{0.15}{-25}$
$\frac{1.4}{v} = -\frac{0.15}{25} - \frac{1.25}{40}$
$\frac{1.4}{v} = -0.006 - 0.03125 = -0.03725$
$v = \frac{1.4}{-0.03725} \approx -37.58\, \text{cm}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ વિસ્તાર $I$ માં સપાટીથી $37.58\, \text{cm}$ ના અંતરે રચાય છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1}{2 \times 10^{-3}} = 4.425 \times 10^{-9} \, F$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100 \pi \, rad/s$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0$ એ $I_0 = V_0 \omega C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = 20 \times (100 \pi) \times (4.425 \times 10^{-9})$.
$I_0 = 2000 \times 3.14159 \times 4.425 \times 10^{-9} \approx 27.79 \times 10^{-6} \, A$.
તેથી,સ્થાનાંતર પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $27.79 \, \mu A$ છે.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ ઘનતા $\vec{J}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ના અદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $I = \vec{J} \cdot \vec{A} = J A \cos(\theta)$.
અહીં $I = 5\; A$,$A = 0.04\; m^2$ અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $5 = J \times 0.04 \times \cos(60^{\circ})$.
$\cos(60^{\circ}) = 0.5$ હોવાથી,$5 = J \times 0.04 \times 0.5 = J \times 0.02$.
તેથી,$J = \frac{5}{0.02} = 250\; A/m^2$.
ઓમના નિયમ મુજબ,$\vec{E} = \rho \vec{J}$,તેથી મૂલ્ય $E = \rho J$ થશે.
$E = (44 \times 10^{-8}) \times 250 = 11000 \times 10^{-8} = 11 \times 10^{-5}\; V/m$.

(B) વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 8\,\mu \text{C/g} = 8 \times 10^{-6} \text{ C} / 10^{-3} \text{ kg} = 8 \times 10^{-3} \text{ C/kg}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે પદાર્થ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
પદાર્થનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m} = \left(\frac{q}{m}\right)E$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (8 \times 10^{-3} \text{ C/kg}) \times (100 \text{ V/m}) = 0.8 \text{ m/s}^2$.
$d = 10\,\text{cm} = 0.1\,\text{m}$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2d}{a}}$ છે.
$t = \sqrt{\frac{2 \times 0.1}{0.8}} = \sqrt{\frac{0.2}{0.8}} = \sqrt{0.25} = 0.5\,\text{s}$.
અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,પદાર્થ તેટલી જ ઝડપે પાછો ફરશે અને બીજા $0.5\,\text{s}$ માં તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો આવશે.
તેથી,ગતિનો કુલ આવર્તકાળ $T = 2t = 2 \times 0.5 = 1.0\,\text{s}$ થશે.

(D) સાદા માઇક્રોસ્કોપ માટે,મોટવણી $m = 1 + \frac{D}{f_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $m = 6$ અને $D = 25 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $6 = 1 + \frac{25}{f_0}$,જેનો અર્થ છે કે $5 = \frac{25}{f_0}$,એટલે કે $f_0 = 5 \, cm$.
સંયુક્ત માઇક્રોસ્કોપ માટે,અનંત અંતરે મળતા પ્રતિબિંબ માટે કુલ મોટવણી $M = \frac{L \cdot D}{f_0 \cdot f_e}$ છે,જ્યાં $L$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે.
અહીં $M = 2 \times 6 = 12$,$L = 0.6 \, m = 60 \, cm$,$D = 25 \, cm$,અને $f_0 = 5 \, cm$ આપેલ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$12 = \frac{60 \times 25}{5 \times f_e}$.
$12 = \frac{1500}{5 \times f_e} = \frac{300}{f_e}$.
$f_e = \frac{300}{12} = 25 \, cm$.

(A) $LCR$ પરિપથમાં ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આગળ હોય,ત્યારે પરિપથ કેપેસિટિવ હોય છે અને ફેઝ એંગલ $\phi = 45^{\circ}$ લેવામાં આવે છે (જ્યારે $X_C > X_L$ હોય).
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C - X_L}{R} \implies 1 = \frac{X_C - X_L}{R}$.
આથી $X_C - X_L = R$.
અહીં $L = 30 \, {mH} = 0.03 \, {H}$,$R = 1 \, \Omega$,અને $\omega = 300 \, {rad/s}$ છે.
$X_L = \omega L = 300 \times 0.03 = 9 \, \Omega$.
કિંમતો મૂકતા: $X_C - 9 = 1 \implies X_C = 10 \, \Omega$.
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ હોવાથી,$\frac{1}{300 \times C} = 10$.
$C = \frac{1}{3000} = \frac{1}{3} \times 10^{-3} \, {F}$.
તેથી,$x = 3$.

(C) એમ્પ્લિટ્યુડ-મોડ્યુલેટેડ વેવનો મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_{\max} = A_{c} + A_{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_{c}$ એ કેરિયર વેવનો એમ્પ્લિટ્યુડ છે અને $A_{m}$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ છે.
આપેલ છે કે,$A_{c} = 160 \text{ V}$ અને $V_{\max} = 200 \text{ V}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$200 = 160 + A_{m}$
$A_{m} = 200 - 160$
$A_{m} = 40 \text{ V}$.
વૈકલ્પિક રીતે,ન્યૂનતમ વોલ્ટેજના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $V_{\min} = A_{c} - A_{m}$.
$120 = 160 - A_{m}$
$A_{m} = 160 - 120 = 40 \text{ V}$.
આમ,મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $40 \text{ V}$ છે.

(D) આપેલ છે: $R=100\,\Omega$,$L=0.5\,mH = 0.5 \times 10^{-3}\,H$,$C=0.1\,pF = 0.1 \times 10^{-12}\,F$,$f=50\,Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 50 = 100\pi\,rad/s$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 100\pi \times 0.5 \times 10^{-3} = 0.05\pi\,\Omega \approx 0.157\,\Omega$.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 0.1 \times 10^{-12}} = \frac{10^{11}}{10\pi} = \frac{10^{10}}{\pi}\,\Omega \approx 3.18 \times 10^9\,\Omega$.
અહીં $X_C \gg X_L$ અને $X_C \gg R$ હોવાથી,સર્કિટ મુખ્યત્વે કેપેસિટીવ છે.
ફેઝ એંગલ $\phi$ માટેનું સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ છે.
$X_C$ એ $R$ અને $X_L$ ની સરખામણીમાં ખૂબ મોટું હોવાથી,$\tan \phi \approx -\infty$,જેનો અર્થ છે કે $\phi \approx -90^{\circ}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા આશરે $90^{\circ}$ આગળ છે,જે સાબિત કરે છે કે સર્કિટ મુખ્યત્વે કેપેસિટીવ છે.

(B) સાચા ડીપ $(\delta)$ અને ચુંબકીય મેરિડિયન સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા આભાસી ડીપ $(\delta^{\prime})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\tan \delta^{\prime} = \frac{\tan \delta}{\cos \theta}$.
સાચા ડીપ માટે સૂત્ર: $\tan \delta = \tan \delta^{\prime} \cos \theta$.
આપેલ છે: $\delta^{\prime} = 45^{\circ}$ અને $\theta = 30^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \delta = \tan 45^{\circ} \cos 30^{\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી: $\tan \delta = 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,સાચો ડીપ $\delta = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $\ln R = \ln R_0 - \lambda t$ મળે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ $y = mx + c$ છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\lambda$ છે.
આલેખ પરથી,રેખા $(0, 6)$ અને $(40, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે.
તેથી ઢાળ $= \frac{0 - 6}{40 - 0} = -\frac{6}{40} = -0.15$ થાય.
આમ,$-\lambda = -0.15$,જે ક્ષય અચળાંક $\lambda = 0.15 \, \text{sec}^{-1}$ આપે છે.
અર્ધ-આયુષ્ય $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0.693}{0.15} = 4.62 \, \text{sec}$ થાય છે.

(C) નિરપેક્ષ પરમિયેબિલિટી $\mu$ નું સૂત્ર: $\mu = \mu_0(1 + \chi_m)$ છે,જ્યાં $\mu_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિયેબિલિટી છે અને $\chi_m$ એ મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી છે.
આપેલ છે: $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}$ અને $\chi_m = 499$.
કિંમતો મૂકતા:
$\mu = 4\pi \times 10^{-7} \times (1 + 499)$
$\mu = 4\pi \times 10^{-7} \times 500$
$\mu = 4\pi \times 10^{-7} \times 5 \times 10^2$
$\mu = 20\pi \times 10^{-5} \text{ H/m}$
$\mu = 2\pi \times 10^{-4} \text{ H/m}$.
આ કિંમતને આપેલ ફોર્મેટ $....\pi \times 10^{-4} \text{ H/m}$ સાથે સરખાવતા,ખૂટતી કિંમત $2$ છે.

(C) પ્રકાશ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{v}{c}$ છે,જ્યાં $\Delta \lambda$ એ તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર છે,$\lambda$ એ મૂળ તરંગલંબાઇ છે,$v$ એ સાપેક્ષ વેગ છે અને $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે: $\lambda = 5890 \ \mathring{A}$,અવલોકિત તરંગલંબાઇ $\lambda' = 5896 \ \mathring{A}$.
તરંગલંબાઇમાં ફેરફાર $\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 5896 - 5890 = 6 \ \mathring{A}$.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \ \text{m/s} = 3 \times 10^5 \ \text{km/s}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $v = c \times \frac{\Delta \lambda}{\lambda}$.
$v = (3 \times 10^5 \ \text{km/s}) \times \frac{6 \ \mathring{A}}{5890 \ \mathring{A}}$.
$v = \frac{18 \times 10^5}{5890} \ \text{km/s} \approx 305.6 \ \text{km/s}$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,ઝડપ આશરે $306 \ \text{km/s}$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગના પ્રસરણની દિશા પોઈન્ટિંગ સદિશની દિશા દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $\vec{E} \times \vec{B}$ ને સમાંતર હોય છે.
અહીં $\vec{E} = E_{0} \hat{i}$ અને $\vec{B} = B_{0} \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રસરણની દિશા $\hat{i} \times \hat{k}$ છે.
એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના નિયમો મુજબ: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
ક્રમ ઉલટો હોવાથી,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ થાય.
તેથી,પ્રસરણની દિશા $-\hat{j}$ છે.

(A) રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની સક્રિયતા $A = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n$ સંબંધને અનુસરે છે,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે સક્રિયતા તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{1}{16}$ ભાગ સુધી ઘટે છે,તેથી $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
કારણ કે $\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^4$,તેથી આપણને $n = 4$ મળે છે.
કુલ સમય $T = n \times t_{1/2}$ છે,જ્યાં $t_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
$T = 80\, days$ આપેલ હોવાથી,$80 = 4 \times t_{1/2}$ થાય.
તેથી,$t_{1/2} = \frac{80}{4} = 20\, days$.

(B) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,તેથી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે.
$Z = R = 5 \, \Omega$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ એ $I_{\text{rms}} = \frac{V}{Z} = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે વ્યય થતો પાવર $P = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V}{R}\right)^2 R = \frac{V^2}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{250 \times 250}{5} = \frac{62500}{5} = 12500 \, \text{W}$.
આને $..... \times 10^2 \, \text{W}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,આપણને $125 \times 10^2 \, \text{W}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ઝેનર ડાયોડનું પાવર ડિસિપેશન રેટિંગ $P = V_z \cdot I_z$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_z = 8\, V$ અને $P = 0.5\, W$ છે.
ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો મહત્તમ પ્રવાહ $I_z$ ગણતા:
$I_z = \frac{P}{V_z} = \frac{0.5}{8} = \frac{1}{16}\, A$.
પરિપથમાં,કુલ વોલ્ટેજ $E = 20\, V$ એ પ્રોટેક્ટિવ અવરોધ $R_p$ અને ઝેનર ડાયોડ વચ્ચે વહેંચાય છે.
પ્રોટેક્ટિવ અવરોધ $R_p$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{R_p} = E - V_z = 20\, V - 8\, V = 12\, V$ છે.
પ્રોટેક્ટિવ અવરોધ $R_p = \frac{V_{R_p}}{I_z}$ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$R_p = \frac{12}{1/16} = 12 \times 16 = 192\, \Omega$.

(A) ડાયનેમિક અવરોધ $R_{d}$ ને $I-V$ લાક્ષણિકતા વક્રના ઢાળના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$R_{d} = \frac{\Delta V}{\Delta I} = \frac{1}{\text{ઢાળ}} = \frac{1}{\frac{\Delta I}{\Delta V}}$
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે $I_{D} = 3 \, \text{mA}$ ની આસપાસ વક્રના રેખીય ભાગ પર બે બિંદુઓ પસંદ કરીએ છીએ.
$I_{D1} = 1 \, \text{mA}$ પર,$V_{D1} = 0.65 \, \text{V}$.
$I_{D2} = 5 \, \text{mA}$ પર,$V_{D2} = 0.75 \, \text{V}$.
પ્રવાહ અને વોલ્ટેજમાં ફેરફારની ગણતરી કરતા:
$\Delta I = (5 - 1) \, \text{mA} = 4 \times 10^{-3} \, \text{A}$
$\Delta V = 0.75 \, \text{V} - 0.65 \, \text{V} = 0.10 \, \text{V}$
તેથી,$R_{d} = \frac{\Delta V}{\Delta I} = \frac{0.10}{4 \times 10^{-3}} = \frac{100}{4} = 25 \, \Omega$.

(C) જ્યારે સ્વીચો $S_{1}$ અને $S_{2}$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ ત્રણ સમાંતર જોડાણોમાં વિભાજિત થાય છે જે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
$1$. પ્રથમ ભાગમાં $12 \, \Omega$ અને $6 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{1} = \frac{12 \times 6}{12 + 6} = \frac{72}{18} = 4 \, \Omega$ છે.
$2$. મધ્ય ભાગમાં $4 \, \Omega$ અને $4 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{2} = \frac{4 \times 4}{4 + 4} = \frac{16}{8} = 2 \, \Omega$ છે.
$3$. ત્રીજા ભાગમાં $6 \, \Omega$ અને $12 \, \Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે. સમતુલ્ય અવરોધ $R_{3} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4 \, \Omega$ છે.
આ ત્રણેય જોડાણો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = R_{1} + R_{2} + R_{3} = 4 + 2 + 4 = 10 \, \Omega$ થાય.

(D) બંને સળિયા બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સળિયાનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાંબાના સળિયા માટે: $R_{Cu} = \frac{1.7 \times 10^{-8} \times 0.25}{3 \times 10^{-6}} = \frac{1.7 \times 0.25}{3} \times 10^{-2} \approx 0.1417 \times 10^{-2} \, \Omega = 1.417 \, m\Omega$.
એલ્યુમિનિયમના સળિયા માટે: $R_{Al} = \frac{2.6 \times 10^{-8} \times 0.25}{3 \times 10^{-6}} = \frac{2.6 \times 0.25}{3} \times 10^{-2} \approx 0.2167 \times 10^{-2} \, \Omega = 2.167 \, m\Omega$.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_{Cu}} + \frac{1}{R_{Al}}$ દ્વારા મળે છે.
$R_{eq} = \frac{R_{Cu} \times R_{Al}}{R_{Cu} + R_{Al}} = \frac{1.417 \times 2.167}{1.417 + 2.167} \, m\Omega = \frac{3.0706}{3.584} \, m\Omega \approx 0.8567 \, m\Omega$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય $0.858 \, m\Omega$ છે.

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $\Delta V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણની ગતિઊર્જા $K$ એ $K = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંને સમાન વિદ્યુતભાર $e$ ધરાવતા હોવાથી,તેમની ગતિઊર્જા સમાન છે: $K_{e} = K_{p} = e \Delta V$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$\lambda_{e} = \frac{h}{\sqrt{2m_{e}(e \Delta V)}}$.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_{p} = \frac{h}{\sqrt{2m_{p}(e \Delta V)}}$.
બંને તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{\frac{h}{\sqrt{2m_{e}(e \Delta V)}}}{\frac{h}{\sqrt{2m_{p}(e \Delta V)}}} = \sqrt{\frac{m_{p}}{m_{e}}}$.

(A) એન્ટેના દ્વારા આવરી લેવાયેલી ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2 R_e H_T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r = 150 \, km = 1.5 \times 10^5 \, m$ અને $R_e = 6.5 \times 10^6 \, m$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^2 = 2 R_e H_T$.
$H_T = \frac{r^2}{2 R_e} = \frac{(1.5 \times 10^5)^2}{2 \times 6.5 \times 10^6} = \frac{2.25 \times 10^{10}}{13 \times 10^6} \approx 1730.76 \, m \approx 1731 \, m$.
આવરી લેવાયેલી વસ્તી એ આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર અને વસ્તી ગીચતાનો ગુણાકાર છે.
વિસ્તાર $= \pi r^2 = 3.14 \times (150 \, km)^2 = 3.14 \times 22500 \, km^2 = 70650 \, km^2$.
વસ્તી $= \text{વિસ્તાર} \times \text{ગીચતા} = 70650 \, km^2 \times 2000 \, / km^2 = 141300000 = 1413 \times 10^5$.

(A) શુદ્ધ કેપેસિટિવ સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I_{C}$ એ કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ $V_{C}$ કરતા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન $(90^{\circ})$ જેટલો આગળ (lead) હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો $V_{C} = V_{0} \sin \omega t$ હોય,તો $I_{C} = I_{0} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રવાહ $I_{C}$ દર્શાવતો ફેઝર,વોલ્ટેજ $V_{C}$ દર્શાવતા ફેઝરની સાપેક્ષમાં $90^{\circ}$ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (counter-clockwise) હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,સાચો ફેઝર ડાયાગ્રામ તે છે જેમાં $I_{C}$ એ $V_{C}$ થી $90^{\circ}$ આગળ છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તીવ્રતા $I$ અને મહત્તમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_0$ વચ્ચેનો સંબંધ: $I = \frac{B_0^2 c}{2 \mu_0}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$,તેથી $\frac{1}{\mu_0} = \epsilon_0 c^2$.
આ કિંમત તીવ્રતાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{B_0^2 c}{2} (\epsilon_0 c^2) = \frac{1}{2} \epsilon_0 c^3 B_0^2$.
$B_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $B_0 = \sqrt{\frac{2I}{\epsilon_0 c^3}}$.
અહીં $I = 0.092 \, W/m^2$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે:
$B_0 = \sqrt{\frac{2 \times 0.092}{8.85 \times 10^{-12} \times (3 \times 10^8)^3}}$.
ગણતરી કરતા: $B_0 \approx 2.77 \times 10^{-8} \, T$.

(A) વિધાન $I$ સાચું છે: ફેરોમેગ્નેટિઝમ તાપમાન પર આધારિત છે. જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઉષ્મીય આંદોલનો ડોમેન્સમાં ચુંબકીય મોમેન્ટ્સની ગોઠવણીને અસ્તવ્યસ્ત કરે છે. ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ ની ઉપર,ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટ તરીકે વર્તે છે.
વિધાન $II$ ખોટું છે: જેમ જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ ઉષ્મીય ઉર્જાને કારણે ચુંબકીય ડોમેન્સ સંકોચાય છે અને અંતે અદ્રશ્ય થઈ જાય છે. ડોમેન માળખું અસ્થિર બને છે,અને ડોમેન દીવાલનું ક્ષેત્રફળ વધતું નથી; તેના બદલે,જેમ પદાર્થ પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં ફેરવાય છે તેમ ડોમેન સીમાઓ અદ્રશ્ય થઈ જાય છે.

(B) સાચો ડીપ $(\phi)$ ચુંબકીય મેરિડિયનમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,જ્યાં પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ છે. આ સંબંધ $\tan \phi = \frac{B_V}{B_H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_V$ એ શિરોલંબ ઘટક છે.
જ્યારે ડીપ સર્કલને ચુંબકીય મેરિડિયનથી $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H \cos \alpha$ બને છે,જ્યારે શિરોલંબ ઘટક $B_V$ અપરિવર્તિત રહે છે.
તેથી આભાસી ડીપ $(\phi^{\prime})$ એ $\tan \phi^{\prime} = \frac{B_V}{B_H \cos \alpha} = \frac{\tan \phi}{\cos \alpha}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ કે $\cos \alpha \leq 1$,તેથી $\tan \phi^{\prime} \geq \tan \phi$ થાય છે. ટેન્જેન્ટ વિધેય $[0, \pi/2]$ ની રેન્જમાં વધતું હોવાથી,આપણને $\phi^{\prime} \geq \phi$ મળે છે.
તેથી,સાચો ડીપ $(\phi)$ હંમેશા આભાસી ડીપ $(\phi^{\prime})$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે.

(C) હોલ-ઇલેક્ટ્રોન જોડીઓ ઉત્પન્ન કરવા માટે આપાત ફોટોનની ઉર્જા બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $(E_g)$ જેટલી અથવા તેનાથી વધુ હોવી જોઈએ.
અહીં થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_0 = 621 \, nm$ આપેલી છે.
બેન્ડ ગેપ ઉર્જા નીચેના સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
$E_g = \frac{hc}{\lambda_0}$
$hc \approx 1242 \, eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E_g = \frac{1242 \, eV \cdot nm}{621 \, nm} = 2 \, eV$.
તેથી,બેન્ડ ગેપ $2 \, eV$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ જ્યારે $\omega L > \frac{1}{\omega C}$, એટલે કે $X_L > X_C$, ત્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ હોય છે। વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ લાગુ પાડેલ $emf$ કરતા પાછળ રહે છે. તેથી, $(a) - (ii)$.
$(b)$ જ્યારે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$, એટલે કે $X_L = X_C$, ત્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં હોય છે। ઈમ્પિડન્સ લઘુત્તમ $(Z = R)$ હોય છે, અને પ્રવાહ લાગુ પાડેલ $emf$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. તેથી, $(b) - (i)$.
$(c)$ જ્યારે $\omega L < \frac{1}{\omega C}$, એટલે કે $X_L < X_C$, ત્યારે પરિપથ કેપેસિટીવ હોય છે। પ્રવાહ વોલ્ટેજ $(emf)$ કરતા આગળ હોય છે. તેથી, $(c) - (iv)$.
$(d)$ અનુનાદ આવૃત્તિ પર, $X_L = X_C$ હોય છે, ઈમ્પિડન્સ લઘુત્તમ હોય છે, જેના પરિણામે મહત્તમ પ્રવાહ મળે છે. તેથી, $(d) - (iii)$.
આમ, સાચી જોડ $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ છે.

(D) અનંત રેખીય વીજભારને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{2k\lambda}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r_1 = 10 \, mm = 10^{-2} \, m$ અને $r_2 = 12 \, mm = 12 \times 10^{-3} \, m$ છે.
ધન વીજભાર પર લાગતું બળ $F_1 = qE_1 = q \left( \frac{2k\lambda}{r_1} \right)$ (રેખીય વીજભારથી દૂરની દિશામાં).
ઋણ વીજભાર પર લાગતું બળ $F_2 = qE_2 = q \left( \frac{2k\lambda}{r_2} \right)$ (રેખીય વીજભાર તરફની દિશામાં).
કુલ બળ $F_{net} = F_1 - F_2 = 2k\lambda q \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 = 2 \times (9 \times 10^9) \times (3.0 \times 10^{-6}) \times q \times \left( \frac{1}{10 \times 10^{-3}} - \frac{1}{12 \times 10^{-3}} \right)$.
$4 = 54 \times 10^3 \times q \times (100 - 83.33) = 54 \times 10^3 \times q \times (16.67)$.
$4 = 900180 \times q \Rightarrow q \approx 4.44 \times 10^{-6} \, C = 4.44 \, \mu C$.

(D) ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $M = 184$ છે. પુત્રી ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $M' = 180$ છે અને $\alpha$-કણનો દળ ક્રમાંક $m_{\alpha} = 4$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$p_{\alpha} = p_{d}$,જ્યાં $p_{\alpha}$ એ $\alpha$-કણનું વેગમાન છે અને $p_{d}$ એ પુત્રી ન્યુક્લિયસનું વેગમાન છે.
$K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $K_{\alpha}$ અને પુત્રી ન્યુક્લિયસની ગતિઊર્જા $K_{d}$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{d} = K_{\alpha} \cdot \frac{m_{\alpha}}{M'} = K_{\alpha} \cdot \frac{4}{180} = \frac{K_{\alpha}}{45}$ છે.
કુલ $Q$ મૂલ્ય એ ગતિઊર્જાઓનો સરવાળો છે: $Q = K_{\alpha} + K_{d} = K_{\alpha} + \frac{K_{\alpha}}{45} = K_{\alpha} \left(1 + \frac{1}{45}\right) = K_{\alpha} \left(\frac{46}{45}\right)$.
આપેલ છે કે $Q = 5.5\, \text{MeV}$,તેથી $5.5 = K_{\alpha} \cdot \frac{46}{45}$.
આમ,$K_{\alpha} = 5.5 \cdot \frac{45}{46} \approx 5.38\, \text{MeV}$.

(B) લોડ અવરોધ $R$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ એ સૂત્ર $V = \frac{E \cdot R}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ $emf$ છે અને $r$ એ કોષનો આંતરિક અવરોધ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $1.25 = \frac{E \cdot 5}{5 + r} \implies 1.25(5 + r) = 5E \implies 6.25 + 1.25r = 5E \implies 1.25 + 0.25r = E \dots (i)$
બીજા કિસ્સા માટે: $1 = \frac{E \cdot 2}{2 + r} \implies 2 + r = 2E \implies 1 + 0.5r = E \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$1.25 + 0.25r = 1 + 0.5r$
$0.25 = 0.25r \implies r = 1\, \Omega$
સમીકરણ $(ii)$ માં $r = 1$ મૂકતા:
$E = 1 + 0.5(1) = 1.5\, V$
આપેલ છે કે $E = \frac{x}{10}\, V$,તેથી:
$1.5 = \frac{x}{10} \implies x = 15$.

(C) ઝેનર ડાયોડ લોડ અવરોધ $R_L$ સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલ છે. ઝેનર ડાયોડ પરનો વોલ્ટેજ $V_Z = 5 \,V$ અચળ રહે છે.
શ્રેણી અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_R = V_i - V_Z = 50 \,V - 5 \,V = 45 \,V$ છે.
શ્રેણી અવરોધ $R$ માંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ એ ઝેનર પ્રવાહ $I_Z$ અને લોડ પ્રવાહ $I_L$ નો સરવાળો છે,તેથી $I = I_Z + I_L$.
$R$ નું લઘુત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે $R = \frac{V_R}{I}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. $V_R$ અચળ હોવાથી,જ્યારે કુલ પ્રવાહ $I$ મહત્તમ હોય ત્યારે $R$ લઘુત્તમ હોય છે.
જ્યારે ઝેનર પ્રવાહ $I_Z$ તેના મહત્તમ મૂલ્ય $(90 \,mA)$ પર હોય અને લોડ પ્રવાહ $I_L$ શૂન્ય હોય (જે ત્યારે થાય છે જ્યારે લોડ ડિસ્કનેક્ટ થયેલ હોય અથવા $R_L \rightarrow \infty$),ત્યારે પ્રવાહ $I$ મહત્તમ હોય છે.
આમ,$I_{max} = I_{Z,max} + 0 = 90 \,mA = 90 \times 10^{-3} \,A$.
તેથી,$R_{min} = \frac{45 \,V}{90 \times 10^{-3} \,A} = \frac{45000}{90} \,\Omega = 500 \,\Omega$.

(D) લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,વક્રીભવનકોણ $r_1 = r_2 = r = \frac{A}{2}$ થાય છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ વક્રીભવનકોણ $r$ કરતા બમણો છે,તેથી $i = 2r = A$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$1 \cdot \sin i = \mu \cdot \sin r$.
કિંમતો મૂકતા,$\sin A = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} = \sqrt{3} \sin \frac{A}{2}$ મળે.
$\sin \frac{A}{2} \neq 0$ હોવાથી,$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$,તેથી $A = 60^{\circ}$.

(A) ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ વિદ્યુત ફ્લક્સ ઘનતા $\vec{D}$ ના ડાયવર્જન્સ (divergence) દ્વારા મળે છે:
$\rho = \nabla \cdot \vec{D}$
આપેલ છે કે $\vec{D} = e^{-x} \sin y \hat{i} - e^{-x} \cos y \hat{j} + 2z \hat{k}$.
ડાયવર્જન્સની ગણતરી કરતા:
$\rho = \frac{\partial}{\partial x}(e^{-x} \sin y) + \frac{\partial}{\partial y}(-e^{-x} \cos y) + \frac{\partial}{\partial z}(2z)$
$\rho = -e^{-x} \sin y + e^{-x} \sin y + 2$
$\rho = 2 \, C/m^{3}$.
કદ સૂક્ષ્મ છે અને ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર સ્થિત હોવાથી,વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ એ $2 \, C/m^{3}$ જેટલી અચળ રહે છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \rho \times \Delta V$ દ્વારા મળે છે.
$Q = 2 \, C/m^{3} \times (2 \times 10^{-9} \, m^{3}) = 4 \times 10^{-9} \, C$.
$1 \, nC = 10^{-9} \, C$ હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $4 \, nC$ થાય.

(B) ડાબી પ્લેટથી $x$ $(x < d/2)$ અંતરે $dx$ પહોળાઈનો એક ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકનું વિકલનીય કેપેસીટન્સ $dC = \frac{\varepsilon(x) A}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરના પ્રથમ અડધા ભાગ ($0$ થી $d/2$) માટે,કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_1} = \int_{0}^{d/2} \frac{1}{dC} = \frac{1}{A} \int_{0}^{d/2} \frac{dx}{\varepsilon_{0} + kx}$
આનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{kA} [\ln(\varepsilon_{0} + kx)]_{0}^{d/2} = \frac{1}{kA} \ln\left(\frac{\varepsilon_{0} + kd/2}{\varepsilon_{0}}\right) = \frac{1}{kA} \ln\left(\frac{2\varepsilon_{0} + kd}{2\varepsilon_{0}}\right)$
તેથી,$C_1 = \frac{kA}{\ln\left(\frac{2\varepsilon_{0} + kd}{2\varepsilon_{0}}\right)}$.
સમાનતાને કારણે,બીજા અડધા ભાગનું કેપેસીટન્સ $(C_2)$ એ $C_1$ જેટલું જ છે. કારણ કે બંને ભાગો શ્રેણીમાં છે,તેથી કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ છે:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1}{2} = \frac{kA}{2 \ln \left(\frac{2\varepsilon_{0} + kd}{2\varepsilon_{0}}\right)}$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,શરૂઆતમાં $4M$ દળનો કણ સ્થિર હોવાથી,કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $0$ છે.
જ્યારે તે $M$ અને $3M$ દળના બે કણોમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કુલ વેગમાન શૂન્ય જાળવી રાખવા માટે તેમના અંતિમ વેગમાન મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
ધારો કે $M$ દળના કણનું વેગમાન $p_1$ છે અને $3M$ દળના કણનું વેગમાન $p_2$ છે. તેથી,$|p_1| = |p_2| = p$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{h}{p}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
બંને કણો પાસે વેગમાનનું મૂલ્ય $p$ સમાન હોવાથી,તેમની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈઓ સમાન હશે:
$\lambda_1 = \frac{h}{p}$ અને $\lambda_2 = \frac{h}{p}$.
તેથી,તેમની તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h/p}{h/p} = 1:1$ થશે.

(A) મેસેજ સિગ્નલ $V_{m}(t) = 10 \sin(2 \pi \times 10^{5} t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $V_{m}(t) = A_{m} \sin(2 \pi f_{m} t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મેસેજ સિગ્નલની ફ્રીક્વન્સી $f_{m} = 10^{5} \text{ Hz} = 100 \text{ kHz}$ મળે છે.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલમાં કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $f_{c}$,લોઅર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $(f_{c} - f_{m})$ અને અપર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી $(f_{c} + f_{m})$ નો સમાવેશ થાય છે.
એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેટેડ સિગ્નલની બેન્ડવિડ્થ એ અપર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી અને લોઅર સાઇડબેન્ડ ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{Bandwidth} = (f_{c} + f_{m}) - (f_{c} - f_{m}) = 2 f_{m}$.
$f_{m}$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\text{Bandwidth} = 2 \times 100 \text{ kHz} = 200 \text{ kHz}$.
આમ,$\alpha = 200$.

(B) ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જ વિડ્થ મહત્તમ હોવા માટે,સ્લિટનું અંતર $d$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ અને ફ્રિન્જ વિડ્થ ન્યૂનતમ હોવા માટે,સ્લિટનું અંતર $d$ મહત્તમ હોવું જોઈએ.
સ્લિટનું અંતર $d(t) = d_{0} + a_{0} \sin \omega t$ છે.
$d$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $d_{\max} = d_{0} + a_{0}$ અને $d$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $d_{\min} = d_{0} - a_{0}$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta_{\min} = \frac{\lambda D}{d_{0} + a_{0}}$ અને મહત્તમ ફ્રિન્જ વિડ્થ $\beta_{\max} = \frac{\lambda D}{d_{0} - a_{0}}$ છે.
સૌથી મોટી અને સૌથી નાની ફ્રિન્જ વિડ્થ વચ્ચેનો તફાવત $\beta_{\max} - \beta_{\min} = \frac{\lambda D}{d_{0} - a_{0}} - \frac{\lambda D}{d_{0} + a_{0}}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\beta_{\max} - \beta_{\min} = \lambda D \left( \frac{(d_{0} + a_{0}) - (d_{0} - a_{0})}{d_{0}^{2} - a_{0}^{2}} \right) = \frac{2 \lambda D a_{0}}{d_{0}^{2} - a_{0}^{2}}$.

(C) હીરા-હવાના આંતરપૃષ્ઠ માટે ક્રાંતિકોણ $\theta_{C}$ નું સૂત્ર $\sin \theta_{C} = \frac{n_{air}}{n_{diamond}} = \frac{1}{2.42} \approx 0.4132$ છે.
ક્રાંતિકોણની ગણતરી કરતા: $\theta_{C} = \arcsin(0.4132) \approx 24.41^{\circ}$.
અહીં આપાતકોણ $\theta_{i} = 30^{\circ}$ છે.
જેથી $\theta_{i} > \theta_{C}$ $(30^{\circ} > 24.41^{\circ})$ હોવાથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,પ્રકાશનું કિરણ પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે અને હવામાં વક્રીભવન પામશે નહીં.

(B) એક્ટિવિટી $A$ નું સૂત્ર $A = \lambda N$ છે.
પ્રથમ, ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ની ગણતરી કરો:
$\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0.693}{3 \times 24 \times 3600 \, \text{s}} \approx 2.67 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}$.
ત્યારબાદ, $2 \, \text{mg}$ ${}^{198} {Au}$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ શોધો:
$N = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} \times N_A = \frac{2 \times 10^{-3} \, \text{g}}{198 \, \text{g/mol}} \times 6 \times 10^{23} \, \text{atoms/mol} \approx 6.06 \times 10^{18} \, \text{atoms}$.
હવે, એક્ટિવિટી $A$ ની ગણતરી કરો:
$A = \lambda N = (2.67 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}) \times (6.06 \times 10^{18}) \approx 16.18 \times 10^{12} \, \text{disintegrations/second}$.

(D) આપાત તરંગ $+z$ દિશામાં ગતિ કરે છે,જે $\cos(kz - \omega t)$ સ્વરૂપમાં છે.
જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ સંપૂર્ણ પરાવર્તક દીવાલ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત તરંગ વિરુદ્ધ દિશામાં ($-z$ દિશામાં) ગતિ કરે છે.
પરાવર્તિત તરંગ $\cos(kz + \omega t)$ સ્વરૂપમાં હશે.
આપેલ આપાત તરંગ $E_i = 3.1 \cos \left[(1.8)z - (5.4 \times 10^6)t\right] \hat{i}$ માટે,પરાવર્તિત તરંગ $E_r$ નો કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ સમાન હશે પરંતુ પ્રસરણની દિશા ઉલટાઈ જશે.
તેથી,$E_r = 3.1 \cos \left[(1.8)z + (5.4 \times 10^6)t\right] \hat{i} \text{ N/C}$ થશે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.