यदि समाकलन int_{0}^{10} frac{[sin 2 pi x ]}{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x -[ x ]}} dx = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}} dx$.चूँकि फलन $f(x) = \fr

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$0$

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(A) माना $I = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x -[ x ]}} dx = \int_{0}^{10} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}} dx$.चूँकि फलन $f(x) = \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{\{ x \}}}$ का आवर्तकाल $1$ है,इसलिए $I = 10 \int_{0}^{1} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx$ होगा।हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $I = 10 \left( \int_{0}^{1/2} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx + \int_{1/2}^{1} \frac{[\sin 2 \pi x ]}{ e ^{ x }} dx \right)$.$0 \le x $1/2 \le x अतः,$I = 10 \left( 0 + \int_{1/2}^{1} \frac{-1}{ e ^{ x }} dx \right) = -10 \int_{1/2}^{1} e ^{-x} dx$.$I = -10 \left[ -e ^{-x} \right]_{1/2}^{1} = 10 (e ^{-1} - e ^{-1/2}) = 10 e ^{-1} - 10 e ^{-1/2} + 0$.इसकी तुलना $\alpha e ^{-1} + \beta e ^{-1/2} + \gamma$ से करने पर,हमें $\alpha = 10, \beta = -10, \gamma = 0$ प्राप्त होता है।इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma = 10 - 10 + 0 = 0$.

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