मान लीजिए f: R rightarrow R एक फलन है जो f(x) | vedclass

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Question

(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$f(0) = b

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$-\frac{3}{2}$

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(D) चूंकि $f(x)$ बिंदु $x=0$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।सबसे पहले,$f(0) = b$ है।बायां पक्ष सीमा $(LHL)$:$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin(a+1)x + \sin 2x}{2x} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \left( \frac{\sin(a+1)x}{2x} + \frac{\sin 2x}{2x} \right) = \frac{a+1}{2} + 1$.दायां पक्ष सीमा $(RHL)$:$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x+bx^3} - \sqrt{x}}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+bx^2} - 1)}{bx^{5/2}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1+bx^2} - 1}{bx^2} = \frac{1}{2}$.सीमाओं की तुलना करने पर:$b = \frac{1}{2}$ और $\frac{a+1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.अतः,$\frac{a+1}{2} = -\frac{1}{2} \Rightarrow a+1 = -1 \Rightarrow a = -2$.इस प्रकार,$a+b = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

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$f(x) = \begin{cases} \frac{\log x}{x-1}, & \text{यदि } x \neq 1 \\ k, & \text{यदि } x=1 \end{cases}$ $x=1$ पर सतत है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए फलन $f(x) = \log \left(\frac{x-1}{x+2}\right)$ सतत है।

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दर्शाइए कि फलन $f$ जो $f(x) = \begin{cases} x^3 + 3, & \text{यदि } x \neq 0 \\ 1, & \text{यदि } x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित है,$x = 0$ पर संतत नहीं है।

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