sum_{r=0}^{6} left({}^{6}C_{r} cdot {}^{6}C_{ | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ है।द्विपद गुणांकों के गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${

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$924$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ है।द्विपद गुणांकों के गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ होता है।अतः,योग $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ हो जाता है।वैकल्पिक रूप से,वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$ होता है।यहाँ,$m=6, n=6$,और $r=6$ है।इसलिए,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$।मान की गणना करने पर: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 	imes 11 	imes 10 	imes 9 	imes 8 	imes 7}{6 	imes 5 	imes 4 	imes 3 	imes 2 	imes 1} = 924$।

$\sum_{r=0}^{6} \left({}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}\right)$ का मान किसके बराबर है?

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$\frac{1}{1! 50!} + \frac{1}{3! 48!} + \frac{1}{5! 46!} + \dots + \frac{1}{49! 2!} + \frac{1}{51! 1!}$ का मान $.............$ है।

यदि $(1+x)^n=C_0+C_1 x+C_2 x^2+\ldots+C_n x^n$ है,तो $C_0+2 C_1+3 C_2+\ldots+(n+1) C_n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $26 \left( \frac{2}{3} \binom{12}{2} + \frac{2}{5} \binom{12}{4} + \frac{2}{7} \binom{12}{6} + \dots + \frac{2}{13} \binom{12}{12} \right) = 3^{13} - \alpha$ है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $C_r = ^{100}C_r$ है,तो $1 \cdot C_0^2 - 2 \cdot C_1^2 + 3 \cdot C_2^2 - 4 \cdot C_3^2 + \dots + 101 \cdot C_{100}^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\sum_{r=0}^5 \frac{{}^{11}C_{2r+1}}{2r+2} = \frac{m}{n}$,$\text{gcd}(m, n) = 1$ है,तो $m - n$ का मान . . . . . . है।

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