sum_{r=0}^{6} left({}^{6}C_{r} cdot {}^{6}C_{ | vedclass

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Question

(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ है।द्विपद गुणांकों के गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${

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$924$

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(D) दी गई अभिव्यक्ति $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}$ है।द्विपद गुणांकों के गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${}^{6}C_{6-r} = {}^{6}C_{r}$ होता है।अतः,योग $\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{r} = \sum_{r=0}^{6} ({}^{6}C_{r})^2$ हो जाता है।वैकल्पिक रूप से,वेंडरमोंड की पहचान (Vandermonde's Identity) के अनुसार,$\sum_{k=0}^{r} {}^{m}C_{k} \cdot {}^{n}C_{r-k} = {}^{m+n}C_{r}$ होता है।यहाँ,$m=6, n=6$,और $r=6$ है।इसलिए,$\sum_{r=0}^{6} {}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r} = {}^{6+6}C_{6} = {}^{12}C_{6}$।मान की गणना करने पर: ${}^{12}C_{6} = \frac{12 	imes 11 	imes 10 	imes 9 	imes 8 	imes 7}{6 	imes 5 	imes 4 	imes 3 	imes 2 	imes 1} = 924$।

$\sum_{r=0}^{6} \left({}^{6}C_{r} \cdot {}^{6}C_{6-r}\right)$ का मान किसके बराबर है?

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