मान लीजिए { }^{n} C_{r} व्यंजक (1+ x )^{ n } | vedclass

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Question

(A) दिया गया योग $\sum_{k=0}^{10}(4+3k){ }^{10} C _{ k } = \alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}.$हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$

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$19$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया योग $\sum_{k=0}^{10}(4+3k){ }^{10} C _{ k } = \alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}.$हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^{n} k \cdot {}^{n}C_k = n \cdot 2^{n-1}.$योग का विस्तार करने पर: $\sum_{k=0}^{10} 4 \cdot {}^{10}C_k + 3 \sum_{k=0}^{10} k \cdot {}^{10}C_k.$$= 4 \cdot 2^{10} + 3 \cdot (10 \cdot 2^{9}).$$= 4 \cdot 2^{10} + 30 \cdot 2^{9} = 4 \cdot 2^{10} + 15 \cdot 2^{10} = 19 \cdot 2^{10}.$$\alpha \cdot 3^{10} + \beta \cdot 2^{10}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 0$ और $\beta = 19$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = 0 + 19 = 19.$

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