मान लीजिए A = begin{bmatrix} a & b c & d end | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $AB = B$,जिसे $AB - B = O$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है। यह इंगित करता है कि $(A - I)B = O$,जहाँ $I$ तत्समक

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$2020$

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(D) दिया गया है कि $AB = B$,जिसे $AB - B = O$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है। यह इंगित करता है कि $(A - I)B = O$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है। चूंकि $B 
eq O$,आव्यूह $(A - I)$ को अव्युत्क्रमणीय (singular) होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका सारणिक शून्य होना चाहिए: $|A - I| = 0$। सारणिक की गणना करने पर: $|A - I| = \begin{vmatrix} a - 1 & b \ c & d - 1 \end{vmatrix} = (a - 1)(d - 1) - bc = 0$। इसका विस्तार करने पर,हमें $ad - a - d + 1 - bc = 0$ प्राप्त होता है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमारे पास $ad - bc = a + d - 1$ है। यह दिया गया है कि $a + d = 2021$,इसलिए इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $ad - bc = 2021 - 1 = 2020$।

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यदि निम्नलिखित रैखिक समीकरण निकाय
$2x + y + z = 5$
$x - y + z = 3$
$x + y + az = b$
का कोई हल न हो,तो :

यदि समीकरण निकाय $x + y + z = 5$,$x + 2y + 3z = 9$,और $x + 3y + \alpha z = \beta$ के अनंत हल हैं,तो $\beta - \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

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