यदि वक्र y=y(x) अवकल समीकरण 2(x^{2}+x^{5/4}) | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ है।$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{d

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$4(\frac{31}{3}-\frac{8}{3} \log_{e} 3)$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $2(x^{2}+x^{5/4}) \frac{dy}{dx} - y(x+x^{1/4}) = 2x^{9/4}$ है।$2(x^{2}+x^{5/4}) = 2x(x+x^{1/4})$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{dx} - \frac{y}{2x} = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = -\frac{1}{2x}$ और $Q(x) = \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1}$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{1}{2x} dx} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ है।हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।$y \cdot x^{-1/2} = \int \frac{x^{5/4}}{x^{3/4}+1} \cdot x^{-1/2} dx = \int \frac{x^{3/4}}{x^{3/4}+1} dx$ है।माना $x^{1/4} = t$,तो $x = t^{4}$ और $dx = 4t^{3} dt$ है।$y x^{-1/2} = \int \frac{t^{3}}{t^{3}+1} \cdot 4t^{3} dt = 4 \int \frac{t^{6}}{t^{3}+1} dt = 4 \int (t^{3} - 1 + \frac{1}{t^{3}+1}) dt$ है।इसका समाकलन करने पर $y x^{-1/2} = \frac{4}{3} x^{3/4} - \frac{4}{3} \ln(x^{3/4}+1) + C$ प्राप्त होता है।बिंदु $(1, 1-\frac{4}{3} \ln 2)$ का उपयोग करने पर,$C = -\frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।अतः $y = \frac{4}{3} x^{5/4} - \frac{4}{3} \sqrt{x} \ln(x^{3/4}+1) - \frac{\sqrt{x}}{3}$ है।$y(16) = \frac{4}{3}(32) - \frac{4}{3}(4) \ln 9 - \frac{4}{3} = \frac{124}{3} - \frac{32}{3} \ln 3 = 4(\frac{31}{3} - \frac{8}{3} \ln 3)$।

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