मान लीजिए S_{1}: x^{2}+y^{2}=9 और S_{2}:(x-2) | vedclass

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Question

(C) दिए गए वृत्त $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ हैं जिसका केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1}=3$ है,और $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ है जिसका केंद्र $B(2,

Vedclass · Accepted Answer

$\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए वृत्त $S_{1}: x^{2}+y^{2}=3^{2}$ हैं जिसका केंद्र $A(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1}=3$ है,और $S_{2}: (x-2)^{2}+y^{2}=1^{2}$ है जिसका केंद्र $B(2,0)$ और त्रिज्या $r_{2}=1$ है।मान लीजिए चर वृत्त $S$ का केंद्र $P(x,y)$ और त्रिज्या $r$ है।चूंकि $S$,$S_{1}$ को आंतरिक रूप से स्पर्श करता है,दूरी $PA = r_{1} - r = 3 - r$ है।चूंकि $S$,$S_{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,दूरी $PB = r_{2} + r = 1 + r$ है।इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $PA + PB = (3 - r) + (1 + r) = 4$ प्राप्त होता है।चूंकि $PA + PB = 4$ और दूरी $AB = 2$ है,$P$ का बिंदु पथ एक दीर्घवृत्त है जिसकी नाभियाँ $A(0,0)$ और $B(2,0)$ हैं और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$ है।दीर्घवृत्त का केंद्र $AB$ का मध्य बिंदु $(1,0)$ है।नाभियों के बीच की दूरी $2ae = AB = 2$ है,इसलिए $2(2)e = 2$,जिससे $e = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।तब $b^{2} = a^{2}(1 - e^{2}) = 4(1 - \frac{1}{4}) = 3$ है।दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ है।विकल्पों की जाँच करने पर,$x=2$ के लिए,$\frac{(2-1)^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{1}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ $\Rightarrow \frac{y^{2}}{3} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow y^{2} = \frac{9}{4}$ $\Rightarrow y = \pm \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,बिंदु पथ $\left(2, \pm \frac{3}{2}\right)$ से होकर गुजरता है।

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यदि $CP$ और $CD$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के अर्ध-संयुग्मी व्यास (semi-conjugate diameters) का एक युग्म है,तो $CP^{2}+CD^{2}=$

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