x in[-1,1] के लिए समीकरण sin ^{-1}left[x^{2}+ | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$।$\sin^{-1}(u)$ के प्रांत के लिए,हमें $-

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(B) दिया गया समीकरण: $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$।$\sin^{-1}(u)$ के प्रांत के लिए,हमें $-1 \leq u \leq 1$ की आवश्यकता है। चूँकि $u$ एक पूर्णांक है (महत्तम पूर्णांक फलन के कारण),$u \in \{-1, 0, 1\}$।स्थिति $1$: मान लीजिए $x^2 + \frac{1}{3} = k_1$ और $x^2 - \frac{2}{3} = k_2$,जहाँ $k_1, k_2 \in \mathbb{Z}$।$x \in [-1, 1]$ दिया गया है,इसलिए $x^2 \in [0, 1]$।अतः $x^2 + \frac{1}{3} \in [1/3, 4/3]$,इसलिए $[x^2 + 1/3] \in \{0, 1\}$।और $x^2 - 2/3 \in [-2/3, 1/3]$,इसलिए $[x^2 - 2/3] \in \{-1, 0\}$।स्थिति $I$: $[x^2 + 1/3] = 0$ और $[x^2 - 2/3] = -1$।इसका अर्थ है $0 \leq x^2 + 1/3 समीकरण में मान रखने पर: $\sin^{-1}(0) + \cos^{-1}(-1) = x^2 \Rightarrow 0 + \pi = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$।चूँकि $\pi \approx 3.14$,यह $[0, 2/3)$ में नहीं है। अतः कोई हल नहीं है।स्थिति $II$: $[x^2 + 1/3] = 1$ और $[x^2 - 2/3] = 0$।इसका अर्थ है $1 \leq x^2 + 1/3 समीकरण में मान रखने पर: $\sin^{-1}(1) + \cos^{-1}(0) = x^2 \Rightarrow \pi/2 + \pi/2 = x^2 \Rightarrow x^2 = \pi$।चूँकि $\pi \approx 3.14$,यह $[2/3, 1]$ में नहीं है (चूँकि $x \in [-1, 1]$ का अर्थ $x^2 \leq 1$ है)। अतः कोई हल नहीं है।इस प्रकार,हलों की संख्या $0$ है।

$x \in[-1,1]$ के लिए समीकरण $\sin ^{-1}\left[x^{2}+\frac{1}{3}\right]+\cos ^{-1}\left[x^{2}-\frac{2}{3}\right]=x^{2}$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

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फलन $f(x) = \cos^{-1} \left\{ \frac{1}{\sqrt{13}} (2\cos x - 3\sin x) \right\} + \sin^{-1} \left\{ \frac{1}{\sqrt{13}} (2\cos x + 3\sin x) \right\}$ का $x = \frac{3}{4}$ पर $x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात कीजिए।

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