-{ }^{15}C_{1} 2 cdot { }^{15}C_{2} - 3 cdo | vedclass

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Question

(B) माना $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}   \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.सबसे पहले,योग $A = \sum_{r=1}^{15} (-1

Vedclass · Accepted Answer

$2^{13}-14$

Vedclass · Answer

(B) माना $S = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}   \sum_{k=1, k 	ext{ is odd}}^{11} { }^{14}C_{k}$.सबसे पहले,योग $A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} r \cdot { }^{15}C_{r}$ का मूल्यांकन करें।सर्वसमिका $r \cdot { }^{n}C_{r} = n \cdot { }^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,$A = \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} 15 \cdot { }^{14}C_{r-1} = 15 \sum_{r=1}^{15} (-1)^{r} { }^{14}C_{r-1}$.$j = r-1$ रखने पर,$A = 15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j 1} { }^{14}C_{j} = -15 \sum_{j=0}^{14} (-1)^{j} { }^{14}C_{j}$.चूंकि $n \ge 1$ के लिए $\sum_{j=0}^{n} (-1)^{j} { }^{n}C_{j} = 0$,इसलिए $A = -15(0) = 0$.अगला,$B = { }^{14}C_{1}   { }^{14}C_{3}   \ldots   { }^{14}C_{11}$ का मूल्यांकन करें।हम जानते हैं कि $\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{n}C_{k} = 2^{n-1}$.$n=14$ के लिए,$\sum_{k 	ext{ is odd}} { }^{14}C_{k} = { }^{14}C_{1}   { }^{14}C_{3}   \ldots   { }^{14}C_{13} = 2^{14-1} = 2^{13}$.अतः,$B = 2^{13} - { }^{14}C_{13} = 2^{13} - 14$.इसलिए,कुल योग $A   B = 0   2^{13} - 14 = 2^{13} - 14$ है।

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $a_0 + a_2 + \ldots + a_{2n}$	$(I)$ $n \cdot 3^{n-1}$
$(B)$ $a_1 + a_3 + \ldots + a_{2n-1}$	$(II)$ $n \cdot 3^n$
$(C)$ $a_1 + 2a_2 + 3a_3 + \ldots + 2n a_{2n}$	$(III)$ $\frac{1}{2}(3^n + 1)$
	$(IV)$ $\frac{1}{2}(3^n - 1)$

$-{ }^{15}C_{1} 2 \cdot { }^{15}C_{2} - 3 \cdot { }^{15}C_{3} \ldots - 15 \cdot { }^{15}C_{15} { }^{14}C_{1} { }^{14}C_{3} { }^{14}C_{5} \ldots { }^{14}C_{11}$ का मान है

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यदि $(1 + x)^{15} = C_0 + C_1x + C_2x^2 + ...... + C_{15}x^{15}$ है,तो $C_2 + 2C_3 + 3C_4 + .... + 14C_{15} = $

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$(1+x)^{59}$ के विस्तार में,जब $x$ की बढ़ती घातों में विस्तार किया जाता है,तो अंतिम $30$ गुणांकों का योग क्या है?

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