int_{pi / 6}^{pi / 3} cos^{-4} x , dx = | vedclass

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Question

(D) हमें समाकलन $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \cos^{-4} x \, dx = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \sec^4 x \, dx$ का मान ज्ञात करना है। सर्वसमिका $\sec^2 x =

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$\frac{44}{9 \sqrt{3}}$

Vedclass · Answer

(D) हमें समाकलन $I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \cos^{-4} x \, dx = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \sec^4 x \, dx$ का मान ज्ञात करना है। सर्वसमिका $\sec^2 x = 1 + 	an^2 x$ का उपयोग करते हुए,हम $\sec^4 x = \sec^2 x \cdot \sec^2 x = (1 + 	an^2 x) \sec^2 x$ लिख सकते हैं। अतः,$I = \int_{\pi / 6}^{\pi / 3} (1 + 	an^2 x) \sec^2 x \, dx$. माना $u = 	an x$,तो $du = \sec^2 x \, dx$. जब $x = \pi / 6$,तब $u = 	an(\pi / 6) = 1 / \sqrt{3}$. जब $x = \pi / 3$,तब $u = 	an(\pi / 3) = \sqrt{3}$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} (1 + u^2) \, du = [u + \frac{u^3}{3}]_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$. सीमाओं पर मान ज्ञात करने पर: $I = (\sqrt{3} + \frac{(\sqrt{3})^3}{3}) - (\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{(1 / \sqrt{3})^3}{3}) = (\sqrt{3} + \sqrt{3}) - (\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{9 \sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} - (\frac{9 + 1}{9 \sqrt{3}}) = 2 \sqrt{3} - \frac{10}{9 \sqrt{3}}$. सरल करने पर,$I = \frac{2 \sqrt{3} \cdot 9 \sqrt{3} - 10}{9 \sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 9 \cdot 3 - 10}{9 \sqrt{3}} = \frac{54 - 10}{9 \sqrt{3}} = \frac{44}{9 \sqrt{3}}$. अतः,सही विकल्प $D$ है।

$\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \cos^{-4} x \, dx =$

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निश्चित समाकलन $\int \limits_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{1+\cos ^4 x} d x$ का मान क्या है?

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