AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) $mn$ भिन्न वस्तुओं को $n$ आकार के $m$ समान समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(mn)!}{(n!)^m \cdot m!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$mn = 200$ और $n = 20$,जिसका अर्थ है कि $m = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें तरीकों की संख्या $\frac{200!}{(20!)^{10} \cdot 10!}$ प्राप्त होती है।

(A) माना $x_1, x_2, x_3$ क्रमशः $A, B, C$ द्वारा दान किए गए सिक्कों की संख्या है। हमें $x_1 + x_2 + x_3 = 10$ के लिए $0 \le x_1 \le 6, 0 \le x_2 \le 7, 0 \le x_3 \le 8$ की शर्तों के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान खोजने हैं।
बिना किसी बाधा के कुल समाधान ${ }^{12} C_2 = 66$ हैं।
समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$P_1: x_1 \ge 7$ के लिए समाधान: ${ }^5 C_2 = 10$.
$P_2: x_2 \ge 8$ के लिए समाधान: ${ }^4 C_2 = 6$.
$P_3: x_3 \ge 9$ के लिए समाधान: ${ }^3 C_2 = 3$.
कुल मान्य तरीके $= 66 - (10 + 6 + 3) = 47$.

(C) $6$ पत्रों को $6$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $6!$ हैं।
कम से कम दो पत्रों के गलत लिफाफों में होने के तरीकों की संख्या $\sum_{r=2}^6 { }^6 C_{6-r} D_r = { }^6 C_4 D_2 + { }^6 C_3 D_3 + { }^6 C_2 D_4 + { }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 D_6$ द्वारा दी जाती है,
जहाँ $D_r = r! \left( \sum_{i=0}^r \frac{(-1)^i}{i!} \right)$ है।

(C) $10$ बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
चूंकि $6$ बिंदु संरेख हैं,वे त्रिभुज नहीं बनाते हैं। इन $6$ संरेख बिंदुओं में से $3$ बिंदुओं को चुनने के तरीके $^{6}C_3$ हैं।
$^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
अतः,त्रिभुजों की कुल संख्या $N = 120 - 20 = 100$.

(A) एक त्रिभुज $n$ शीर्षों में से $3$ शीर्षों को चुनकर बनता है। $3$ शीर्षों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^nC_3$ है।
दिया गया है कि $T_{n+1} - T_n = 10$ है।
सर्वसमिका ${}^{n+1}C_r - {}^nC_r = {}^nC_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
${}^{n+1}C_3 - {}^nC_3 = {}^nC_2 = 10$ प्राप्त होता है।
सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n^2 - n = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
$(n-5)(n+4) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$।

(D) $15$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले कुल भिन्न त्रिभुजों की संख्या $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ है।
हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ $i+j+k = 15$,जहाँ $1 \leq i < j < k \leq 15$ है।
$(i, j, k)$ के संभावित समूह जिनके लिए $i+j+k = 15$ है,वे हैं:
$(1, 2, 12), (1, 3, 11), (1, 4, 10), (1, 5, 9), (1, 6, 8), (2, 3, 10), (2, 4, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 7), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (4, 5, 6)$।
इनकी गणना करने पर,हमें ऐसी $12$ स्थितियाँ मिलती हैं।
अतः,आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $455 - 12 = 443$ है।

(C) $37$ रेखाओं में से $2$ रेखाओं को चुनने के कुल तरीके $^{37}C_2$ हैं।
चूँकि $13$ रेखाएँ बिंदु $A$ पर संगामी हैं,वे $^{13}C_2$ अलग-अलग प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं बनाती हैं; इसके बजाय,वे सभी $1$ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए,हम $^{13}C_2$ घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं।
इसी प्रकार,चूँकि $11$ रेखाएँ बिंदु $B$ पर संगामी हैं,हम $^{11}C_2$ घटाते हैं और $1$ जोड़ते हैं।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदुओं की कुल संख्या $^{37}C_2 - ^{13}C_2 - ^{11}C_2 + 2$ है।

(A) दिया गया है कि $r_1, r_2, r_3$ $HP$ में हैं।
चूंकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
$r_1, r_2, r_3$ के $HP$ में होने के लिए:
$\frac{2}{r_2} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_3}$
मान रखने पर:
$\frac{2(s-b)}{\Delta} = \frac{s-a}{\Delta} + \frac{s-c}{\Delta}$
$2s - 2b = s - a + s - c$
$2s - 2b = 2s - (a + c)$
$-2b = -(a + c)$
$2b = a + c$
यह दर्शाता है कि $a, b$ और $c$ $AP$ में हैं।

(A) माना $x$ और $x+2$ दो क्रमागत धनात्मक सम पूर्णांक हैं।
दिया गया है,$x^2 + (x+2)^2 = 290$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $x^2 + x^2 + 4x + 4 = 290$.
$\Rightarrow 2x^2 + 4x - 286 = 0$.
$2$ से भाग देने पर: $x^2 + 2x - 143 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 13)(x - 11) = 0$.
अतः,$x = -13$ या $x = 11$.
चूंकि $x$ एक धनात्मक सम पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $x = -13$ को छोड़ देते हैं।
यदि $x = 11$ है,तो अगला क्रमागत पूर्णांक $x+2 = 13$ है,जो कि सम नहीं है।
इसलिए,ऐसे क्रमागत धनात्मक सम पूर्णांकों का कोई जोड़ा संभव नहीं है।
हलों की संख्या $0$ है।

(C) माना $S = \{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}$ है। सभी अवयवों का योग $S_{total} = 8$ है।
माना $x = a+b+c+d$ और $y = e+f+g+h$ है।
चूँकि $x+y = 8$ है,$x^2+y^2$ को न्यूनतम करने के लिए $|x-y|$ को न्यूनतम करना होगा।
$x$ का मान $4$ के सबसे निकट लेने पर,$x=5$ प्राप्त होता है,जिससे $y=3$ होता है।
अतः,$x^2+y^2 = 5^2+3^2 = 25+9 = 34$।

(D) हम जानते हैं कि $\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}$ होता है।
दिया गया है $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,इसलिए $\sinh x = \frac{5}{4}$।
सर्वसमिका $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ का उपयोग करने पर,$\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$ प्राप्त होता है।
$\sinh x$ का मान रखने पर: $\cosh^2 x = 1 + (\frac{5}{4})^2 = 1 + \frac{25}{16} = \frac{16 + 25}{16} = \frac{41}{16}$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cosh x > 0$ होता है,इसलिए हम धनात्मक वर्गमूल लेते हैं: $\cosh x = \sqrt{\frac{41}{16}}$।

(C) हम अर्ध-कोण सूत्र जानते हैं: $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{1 - \cos A}{2}$.
माना $A = 45^{\circ}$. तब $\frac{A}{2} = 22 \frac{1}{2}^{\circ}$.
$A$ का मान रखने पर:
$\sin^2(22 \frac{1}{2}^{\circ}) = \frac{1 - \cos 45^{\circ}}{2}$
$= \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$
$= \frac{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने के लिए,अंश और हर को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{2-\sqrt{2}}{4}$
अतः,$\sin(22 \frac{1}{2}^{\circ}) = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}$.

(A) हम जानते हैं कि $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
अब,$\cos^4 x = (\cos^2 x)^2 = \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right)^2$.
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos^4 x = \frac{1 + \cos^2 2x + 2\cos 2x}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos^2 2x$.
सर्वसमिका $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$ का उपयोग करके,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{4}\left(\frac{1 + \cos 4x}{2}\right)$.
$\cos^4 x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\cos 4x$.
$\cos^4 x = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{8}\cos 4x$.

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cos \theta}{1-\tan \theta}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ और $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{\sin \theta}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\cos \theta}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \sin \theta + \cos \theta$

(B) हम जानते हैं कि हाइपरबोलिक फलन इस प्रकार संबंधित हैं:
$\sinh x = \frac{1}{\operatorname{cosech} x}$
दिया गया है कि $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,इसलिए इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\sinh x = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$

(C) $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1+\tanh x}{1-\tanh x} = \frac{1 + \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{1 - \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{\frac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{\frac{e^x + e^{-x} - (e^x - e^{-x})}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{2e^x}{2e^{-x}}$
$= e^{2x}$

(B) माना $A = \tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right)$.
चूंकि $\frac{7 \pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$,इसलिए $A = \tan \left(\pi - \frac{\pi}{8}\right) = -\tan \left(\frac{\pi}{8}\right)$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,$\theta = \frac{\pi}{8}$ लें।
$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2 \tan \left(\frac{\pi}{8}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{\pi}{8}\right)} = 1$.
$\tan \left(\frac{\pi}{8}\right) = -A$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{2(-A)}{1 - (-A)^2} = 1$.
$-2A = 1 - A^2 \Rightarrow A^2 - 2A - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र $A = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$A = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि $\frac{7 \pi}{8}$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $\tan \left(\frac{7 \pi}{8}\right) < 0$.
अतः,$A = 1 - \sqrt{2}$.

(D) दिया गया व्यंजक: $f(x) = 1 + \sec ^2 x \sin ^2 x$
चूँकि $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,इसलिए $\sec ^2 x = \frac{1}{\cos ^2 x}$ होता है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $f(x) = 1 + \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,इसलिए $\tan ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$ होता है।
अतः,$f(x) = 1 + \tan ^2 x$
सर्वसमिका $1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें $f(x) = \sec ^2 x$ प्राप्त होता है।

(A) हम प्रत्येक व्यंजक का मूल्यांकन उस चतुर्थांश के आधार पर करते हैं जिसमें कोण स्थित है:
$I. \sin(-292^{\circ}) = \sin(68^{\circ})$। चूँकि $68^{\circ}$ प्रथम चतुर्थांश में है,$\sin(68^{\circ}) > 0$ है।
$II. \tan(-190^{\circ}) = -\tan(190^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 10^{\circ}) = -\tan(10^{\circ})$। चूँकि $\tan(10^{\circ}) > 0$ है,इसलिए मान ऋणात्मक है।
$III. \cos(-207^{\circ}) = \cos(207^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos(27^{\circ})$। चूँकि $\cos(27^{\circ}) > 0$ है,इसलिए मान ऋणात्मक है।
$IV. \cot(-222^{\circ}) = -\cot(222^{\circ}) = -\cot(180^{\circ} + 42^{\circ}) = -\cot(42^{\circ})$। चूँकि $\cot(42^{\circ}) > 0$ है,इसलिए मान ऋणात्मक है।
अतः,$II, III$ और $IV$ ऋणात्मक हैं।

(D) दिया है,$\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 = 4^2$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2 \sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 16$
चूंकि $\sin \theta \operatorname{cosec} \theta = 1$,इसलिए:
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2(1) = 16$
$\sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta = 16 - 2 = 14$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\sin ^2\left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\frac{5 \pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$
संबद्ध कोणों का उपयोग करते हुए: $\sin(\pi-x) = \sin x$,$\cos(\pi-x) = -\cos x$,$\tan(\pi-x) = -\tan x$
$= \sin ^2\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$= \sin ^2\left(\frac{\pi}{3}\right)+\left(-\cos \frac{\pi}{6}\right)^2-\left(-\tan \frac{\pi}{4}\right)^2$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-(-1)^2$
$= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1$
$= \frac{6}{4}-1 = \frac{3}{2}-1 = \frac{1}{2}$

(A) दिया गया समीकरण: $2 \cosh 2x + 10 \sinh 2x = 5$ है।
परिभाषाओं $\cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}$ और $\sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$2 \left( \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \right) + 10 \left( \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} \right) = 5$
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 5(e^{2x} - e^{-2x}) = 5$
$6e^{2x} - 4e^{-2x} = 5$
$e^{2x}$ से गुणा करने पर: $6(e^{2x})^2 - 5e^{2x} - 4 = 0$।
माना $u = e^{2x}$,तो $6u^2 - 5u - 4 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(3u - 4)(2u + 1) = 0$।
अतः,$u = \frac{4}{3}$ या $u = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $e^{2x} > 0$,इसलिए $e^{2x} = \frac{4}{3}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $2x = \ln \frac{4}{3}$।
अतः,$x = \frac{1}{2} \ln \frac{4}{3}$।

(D) दिया गया व्यंजक: $\sqrt{\sin ^4 x+4 \cos ^2 x}-\sqrt{\cos ^4 x+4 \sin ^2 x}$
सर्वसमिका $\cos ^2 x = 1-\sin ^2 x$ और $\sin ^2 x = 1-\cos ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$= \sqrt{\sin ^4 x-4 \sin ^2 x+4}-\sqrt{\cos ^4 x-4 \cos ^2 x+4}$
$= \sqrt{(\sin ^2 x-2)^2}-\sqrt{(\cos ^2 x-2)^2}$
$= |\sin ^2 x-2|-|\cos ^2 x-2|$
$= (2-\sin ^2 x)-(2-\cos ^2 x)$
$= \cos ^2 x-\sin ^2 x$
$= \cos 2 x$

(D) $\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{(1-\sin \theta) + (1+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}$
$= \frac{2}{1-\sin^2 \theta}$
$= \frac{2}{\cos^2 \theta}$
$= 2 \sec^2 \theta$

(D) दिया गया व्यंजक: $\frac{\cos x}{1+\sin x} + \tan x$
पहले पद के अंश और हर को $(1-\sin x)$ से गुणा करने पर:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} + \tan x$
सर्वसमिका $(1+\sin x)(1-\sin x) = 1-\sin^2 x = \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{\cos^2 x} + \tan x$
भिन्न को सरल करने पर:
$\frac{1-\sin x}{\cos x} + \tan x$
भिन्न को अलग करने पर:
$\frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} + \tan x$
चूंकि $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ और $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$:
$\sec x - \tan x + \tan x = \sec x$

(B) हम गुणधर्म $\cos^2 \theta = \cos^2(180^{\circ} \pm \theta) = \cos^2(360^{\circ} \pm \theta)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 135^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 225^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 225^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 315^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \implies \cos^2 315^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 4 \cos^2 45^{\circ}$.
चूँकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
अतः,$4 \times \frac{1}{2} = 2$.

(A) दिया गया समीकरण: $3 \sinh (2 \theta) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
$\sinh (2 \theta) = \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \left( \frac{e^{2 \theta} - e^{-2 \theta}}{2} \right) = 13 - 3 e^{2 \theta}$
माना $x = e^{2 \theta}$. चूंकि $e^{2 \theta} > 0$,इसलिए $x > 0$ है।
$\frac{3}{2} (x - \frac{1}{x}) = 13 - 3x$
$3(x^2 - 1) = 2x(13 - 3x)$
$3x^2 - 3 = 26x - 6x^2$
$9x^2 - 26x - 3 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $9x^2 - 27x + x - 3 = 0$
$9x(x - 3) + 1(x - 3) = 0$
$(9x + 1)(x - 3) = 0$
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 3$ होगा।
$e^{2 \theta} = 3$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$2 \theta = \log 3$
$\theta = \frac{1}{2} \log 3$

(B) हम जानते हैं कि $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ और $\sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$= 1 + 3 - 2$
$= 4 - 2$
$= 2$

(B) दिया गया व्यंजक: $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$
हर समान करने पर: $\frac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$
चूँकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1 + 1 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2}{\sin x} = 2 \operatorname{cosec} x$

(A) दिया गया व्यंजक: $\cos \theta(\operatorname{cosec} \theta - \sec \theta) - \cot \theta$
$= \cos \theta \left( \frac{1}{\sin \theta} - \frac{1}{\cos \theta} \right) - \cot \theta$
$= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta} - \cot \theta$
$= \cot \theta - 1 - \cot \theta$
$= -1$

(D) हम जानते हैं कि $\cos \theta = \cos(45^{\circ} - 30^{\circ})$ जहाँ $\theta = \frac{\pi}{12} = 15^{\circ}$ है।
$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\cos(45^{\circ} - 30^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \cos 30^{\circ} + \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$= (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$= \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

(D) हम सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
$\cos ^4 \frac{\pi}{24} - \sin ^4 \frac{\pi}{24} = \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2 - \left(\sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)^2$
$= \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} + \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right) \left(\cos ^2 \frac{\pi}{24} - \sin ^2 \frac{\pi}{24}\right)$
चूंकि $\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$ और $\cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta = \cos 2\theta$,इसलिए:
$= (1) \cdot \cos \left(2 \cdot \frac{\pi}{24}\right) = \cos \frac{\pi}{12}$
$\frac{\pi}{12} = 15^\circ$ का उपयोग करते हुए,$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$
$= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} + 1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(C) हम $\frac{7 \pi}{12}$ को $\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करते हुए:
$\cos \left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{4}$
$= \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
$= \frac{1 - \sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

(D) दिया गया समीकरण: $\cosh x - \frac{4}{5} \sinh x = 1$
$5$ से गुणा करने पर: $5 \cosh x - 4 \sinh x = 5$
$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ और $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5 \left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) - 4 \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = 5$
$2$ से गुणा करने पर: $5(e^x + e^{-x}) - 4(e^x - e^{-x}) = 10$
$5e^x + 5e^{-x} - 4e^x + 4e^{-x} = 10$
$e^x + 9e^{-x} = 10$
$e^x$ से गुणा करने पर: $(e^x)^2 - 10e^x + 9 = 0$
$(e^x - 1)(e^x - 9) = 0$
स्थिति $1$: $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$
स्थिति $2$: $e^x = 9 \Rightarrow x = \ln 9 = \ln(3^2) = 2 \ln 3$
अतः,दूसरा हल $x = 2 \log 3$ है।

(C) हम योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करते हैं: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ और $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$.
इन सूत्रों को लागू करने पर:
$\frac{\sin \theta + \sin 3 \theta}{\cos \theta + \cos 3 \theta} = \frac{2 \sin 2 \theta \cos(-\theta)}{2 \cos 2 \theta \cos(-\theta)}$
चूंकि $\cos(-\theta) = \cos \theta$,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \tan 2 \theta$.

(A) दिया गया है: $\sin \alpha+\sin \beta = -\frac{21}{65}$ और $\cos \alpha+\cos \beta = -\frac{27}{65}$।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(\sin \alpha+\sin \beta)^2 + (\cos \alpha+\cos \beta)^2 = \left(-\frac{21}{65}\right)^2 + \left(-\frac{27}{65}\right)^2$
$2 + 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = \frac{441 + 729}{4225} = \frac{1170}{4225} = \frac{18}{65}$.
$2 + 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{18}{65} \implies 2 \cos(\alpha - \beta) = \frac{18}{65} - 2 = -\frac{112}{65}$.
$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{56}{65}$.
सर्वसमिका $\cos(\alpha - \beta) = 2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - 1$ का उपयोग करने पर:
$2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) - 1 = -\frac{56}{65} \implies 2 \cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = 1 - \frac{56}{65} = \frac{9}{65}$.
$\cos^2\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = \frac{9}{130}$.
चूंकि $\pi < \alpha - \beta < 3\pi$,इसलिए $\frac{\pi}{2} < \frac{\alpha - \beta}{2} < \frac{3\pi}{2}$ है।
इस अंतराल में,$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$ ऋणात्मक है।
$\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) = -\sqrt{\frac{9}{130}} = -\frac{3}{\sqrt{130}}$।

(A) हम सर्वसमिका $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = \cos \theta (4 \cos^2 \theta - 3)$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$4 \cos^2 \theta - 3 = \frac{\cos 3\theta}{\cos \theta}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$(4 \cos^2 9^{\circ} - 3)(4 \cos^2 27^{\circ} - 3) = \left( \frac{\cos 27^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} \right) \left( \frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 27^{\circ}} \right)$
$= \frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 9^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ} - 9^{\circ})}{\cos 9^{\circ}}$
$= \frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}} = \tan 9^{\circ}$.

(A) माना दिया गया योग $S$ है। श्रेणी $S = \sum_{k=0}^{44} \frac{1}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$ है।
$\sin 1^{\circ}$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} \frac{\sin((46^{\circ}+2k)-(45^{\circ}+2k))}{\sin(45^{\circ}+2k) \sin(46^{\circ}+2k)}$
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} \sum_{k=0}^{44} (\cot(45^{\circ}+2k) - \cot(46^{\circ}+2k))$
योग का विस्तार करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} [(\cot 45^{\circ} - \cot 46^{\circ}) + (\cot 47^{\circ} - \cot 48^{\circ}) + \ldots + (\cot 133^{\circ} - \cot 134^{\circ})]$
चूंकि $\cot(180^{\circ}-\theta) = -\cot \theta$,इसलिए $\cot 133^{\circ} = -\cot 47^{\circ}$ और $\cot 134^{\circ} = -\cot 46^{\circ}$ है।
इन मानों को रखने पर,पद कट जाते हैं:
$S = \frac{1}{\sin 1^{\circ}} (\cot 45^{\circ}) = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$.
दिया गया है $\frac{1}{\sin(n^{\circ})} = \frac{1}{\sin 1^{\circ}}$,अतः $n = 1$।

(D) हम जानते हैं कि $\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\sin (x+y) \sec x \sec y = (\sin x \cos y + \cos x \sin y) \cdot \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos y}$
$= \frac{\sin x \cos y}{\cos x \cos y} + \frac{\cos x \sin y}{\cos x \cos y}$
$= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\sin y}{\cos y}$
$= \tan x + \tan y$

(B) दिया है: $\cosh (x-\log 3)=\sinh x$
परिभाषा $\cosh \theta = \frac{e^{\theta}+e^{-\theta}}{2}$ और $\sinh \theta = \frac{e^{\theta}-e^{-\theta}}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{e^{x-\log 3}+e^{-(x-\log 3)}}{2} = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$e^x \cdot e^{-\log 3} + e^{-x} \cdot e^{\log 3} = e^x - e^{-x}$
चूंकि $e^{-\log 3} = \frac{1}{3}$ और $e^{\log 3} = 3$:
$\frac{1}{3} e^x + 3 e^{-x} = e^x - e^{-x}$
$3 e^{-x} + e^{-x} = e^x - \frac{1}{3} e^x$
$4 e^{-x} = \frac{2}{3} e^x$
$e^{2x} = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$
$2x = \log 6$
$x = \frac{1}{2} \log 6$

(C) दिया गया है कि $2 \sin 2 \theta = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\sin 2 \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\sin 2 \theta = \sin 60^{\circ}$।
कोणों की तुलना करने पर,$2 \theta = 60^{\circ}$।
अतः,$\theta = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$।

(D) दिया गया समीकरण: $4+6(e^{2x}+1) \tanh x = 11 \cosh x + 11 \sinh x$
$\tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$,$\cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$,और $\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right) = 11 \left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right) + 11 \left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}+1) \left(\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\right) = 11 \left(\frac{2e^x}{2}\right)$
$4+6(e^{2x}-1) = 11e^x$
$6e^{2x} - 11e^x - 2 = 0$
माना $e^x = t$,जहाँ $t > 0$:
$6t^2 - 11t - 2 = 0$
$(6t+1)(t-2) = 0$
$t = 2$ या $t = -\frac{1}{6}$
चूँकि $t > 0$,इसलिए $e^x = 2$,जिसका अर्थ है $x = \log_e 2$.

(A) $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\sin \left(\frac{5 \pi}{24}\right) \cos \left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{5 \pi}{24} + \frac{\pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{5 \pi}{24} - \frac{\pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{6 \pi}{24}\right) + \sin \left(\frac{4 \pi}{24}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) + \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{\sqrt{2}+1}{2} \right] = \frac{\sqrt{2}+1}{4}$

(B) दिया गया है $\sin \theta = -\frac{3}{4}$.
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{4}$.
सूत्र $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
यदि $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है,तो $\sin 2 \theta = 2 \times (-\frac{3}{4}) \times (\frac{\sqrt{7}}{4}) = -\frac{3 \sqrt{7}}{8}$.
यदि $\cos \theta = -\frac{\sqrt{7}}{4}$ है,तो $\sin 2 \theta = 2 \times (-\frac{3}{4}) \times (-\frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$.
चूंकि दिए गए विकल्पों में $-\frac{3 \sqrt{7}}{8}$ शामिल है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{(1 - \cos 2\theta)(1 + \cos 2\theta)}{4}$
$= \frac{1 - \cos^2 2\theta}{4}$
सर्वसमिका $\cos^2 A = \frac{1 + \cos 2A}{2}$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1 - \left(\frac{1 + \cos 4\theta}{2}\right)}{4}$
$= \frac{\frac{2 - 1 - \cos 4\theta}{2}}{4}$
$= \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

(B) दिया गया है,$1-\cot 23^{\circ}=\frac{x}{1-\cot 22^{\circ}}$
$x = (1-\cot 23^{\circ})(1-\cot 22^{\circ})$
$x = (1 - \frac{\cos 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}})(1 - \frac{\cos 22^{\circ}}{\sin 22^{\circ}})$
$x = \frac{(\sin 23^{\circ} - \cos 23^{\circ})(\sin 22^{\circ} - \cos 22^{\circ})}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$x = \frac{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ} - \sin 23^{\circ} \cos 22^{\circ} - \cos 23^{\circ} \sin 22^{\circ} + \cos 23^{\circ} \cos 22^{\circ}}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{\cos(23^{\circ}-22^{\circ}) - \sin(23^{\circ}+22^{\circ})}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$x = \frac{\cos 1^{\circ} - \sin 45^{\circ}}{\sin 23^{\circ} \sin 22^{\circ}}$
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \sin 45^{\circ})}{\cos(23^{\circ}-22^{\circ}) - \cos(23^{\circ}+22^{\circ})}$
$x = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\cos 1^{\circ} - \cos 45^{\circ}} = \frac{2(\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}})}{\cos 1^{\circ} - \frac{1}{\sqrt{2}}} = 2$

(B) त्रिभुज $ABC$ में,$A+B+C = \pi$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2}$.
सर्वसमिका $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर: $\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.

(A) $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi \Rightarrow A+B = \pi - C$.
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
चूँकि $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$,इसलिए:
$= 2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos C]$.
चूँकि $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$,इसलिए:
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 4 \sin A \sin B \sin C$.

(C) $A+B=45^{\circ}$ पर विचार करें। तब $\tan(A+B)=1$,जिसका अर्थ है $\tan A + \tan B = 1 - \tan A \tan B$।
दोनों पक्षों में $1 + \tan A \tan B$ जोड़ने पर $1 + \tan A + \tan B + \tan A \tan B = 2$ प्राप्त होता है,अर्थात $(1+\tan A)(1+\tan B) = 2$।
हम $1^{\circ}$ से $44^{\circ}$ तक के पदों को इस प्रकार जोड़ सकते हैं कि कोणों का योग $45^{\circ}$ हो:
$(1+\tan 1^{\circ})(1+\tan 44^{\circ}) = 2$,$(1+\tan 2^{\circ})(1+\tan 43^{\circ}) = 2$,...,$(1+\tan 22^{\circ})(1+\tan 23^{\circ}) = 2$।
ऐसी $22$ जोड़ियाँ हैं,इसलिए उनका गुणनफल $2^{22}$ है।
अंत में,हम अंतिम पद को शामिल करते हैं: $(1+\tan 45^{\circ}) = 1+1 = 2$।
इस प्रकार,कुल गुणनफल $2^{22} \times 2 = 2^{23}$ है।
$2^n$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n=23$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} \cos 2n \theta$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ और $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin^4 \theta \cos^2 \theta = (\sin^2 \theta)^2 \cos^2 \theta = \left(\frac{1 - \cos 2\theta}{2}\right)^2 \left(\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\right)$
$= \frac{1}{8} (1 - 2\cos 2\theta + \cos^2 2\theta)(1 + \cos 2\theta)$
$= \frac{1}{8} (1 - \cos 2\theta - \cos^2 2\theta + \cos^3 2\theta)$
$\cos^2 2\theta$ और $\cos^3 2\theta$ के सूत्रों का उपयोग करने पर,हमें $n=4$ के लिए $a_{2n}=0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $y = \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)$ और $x = \cos 2 \theta$।
$y$ के व्यंजक में $x = \cos 2 \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1-x}{1+x} = \frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta} = \frac{2 \sin ^2 \theta}{2 \cos ^2 \theta} = \tan ^2 \theta$।
अतः,$\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = \tan ^{-1}(\tan \theta) = \theta$।
इसलिए,$y = \sin (2 \theta)$।
अब,$y$ और $x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} (\sin 2 \theta) = 2 \cos 2 \theta$।
$\frac{d x}{d \theta} = \frac{d}{d \theta} (\cos 2 \theta) = -2 \sin 2 \theta$।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d \theta}{d x / d \theta} = \frac{2 \cos 2 \theta}{-2 \sin 2 \theta} = -\cot 2 \theta$।

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left(\frac{x^{x} - x^{-x}}{2}\right)$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{1 + \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.
व्यंजक को सरल करने पर,$f'(x) = -\frac{4}{4 + (x^x - x^{-x})^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.
चूंकि $(x^x + x^{-x})^2 = (x^x - x^{-x})^2 + 4$,इसलिए $f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ और $\frac{d}{dx}(x^{-x}) = -x^{-x}(1 + \log x)$,इसलिए $\frac{d}{dx}(x^x - x^{-x}) = (x^x + x^{-x})(1 + \log x)$ प्राप्त होता है।
अतः,$f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot (x^x + x^{-x})(1 + \log x) = -\frac{2(1 + \log x)}{x^x + x^{-x}}$.
$x = 1$ रखने पर,$f'(1) = -\frac{2(1 + \log 1)}{1^1 + 1^{-1}} = -\frac{2(1 + 0)}{1 + 1} = -\frac{2}{2} = -1$.

(B) $y=\tan \left(3 \tan ^{-1} x\right)$
माना $\tan ^{-1} x=\theta$,अतः $\tan \theta=x$ है।
$\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}$ सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $y = \frac{3x-x^3}{1-3x^2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1-3x^2)y = 3x-x^3$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1-3x^2)\frac{dy}{dx} + y(-6x) = 3-3x^2$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1-3x^2)\frac{d^2y}{dx^2} + (-6x)\frac{dy}{dx} - 6(x\frac{dy}{dx} + y) = -6x$ प्राप्त होता है।
$(1-3x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 6x\frac{dy}{dx} - 6x\frac{dy}{dx} - 6y = -6x$ है।
$(1-3x^2)\frac{d^2y}{dx^2} - 12x\frac{dy}{dx} = 6y - 6x = 6(y-x)$ है।

(B) दिया गया है $y = \frac{ax+b}{cx+d}$।
$x$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$y(cx+d) = ax+b$
$cxy + dy = ax + b$
$x(cy - a) = b - dy$
$x = \frac{dy-b}{a-cy}$
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{(a-cy)(d) - (dy-b)(-c)}{(a-cy)^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{ad - cdy + cdy - bc}{(a-cy)^2} = \frac{ad-bc}{c^2y^2 - 2acy + a^2}$
इसकी तुलना $\frac{ad-bc}{Py^2+Qy+R}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = c^2, Q = -2ac, R = a^2$
अतः,$P+Q+R = c^2 - 2ac + a^2 = (a-c)^2$.

(B) दिया गया है $y = e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}$.
प्रथम अवकलज $y_1 = \frac{d}{dx}(e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$.
$2\sqrt{x}$ से गुणा करने पर,हमें $2\sqrt{x} y_1 = e^{\sqrt{x}} - e^{-\sqrt{x}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2\sqrt{x} y_2 + 2 y_1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$2\sqrt{x} y_2 + \frac{y_1}{\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}} + e^{-\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}} = \frac{y}{2\sqrt{x}}$.
पूरे समीकरण को $2\sqrt{x}$ से गुणा करने पर:
$4 x y_2 + 2 y_1 = y$.

(B) दिया गया है $y = \frac{\log x}{x}$।
सबसे पहले,भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) - \log x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{x \cdot \frac{1}{x} - \log x}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$।
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - \log x}{x^2}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x^2 \cdot \frac{d}{dx}(1 - \log x) - (1 - \log x) \cdot \frac{d}{dx}(x^2)}{(x^2)^2}$
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{x^2 \cdot (-\frac{1}{x}) - (1 - \log x) \cdot (2x)}{x^4} = \frac{-x - 2x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3x + 2x \log x}{x^4} = \frac{-3 + 2 \log x}{x^3}$।
$x = 1$ पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-3 + 2 \log 1}{1^3} = \frac{-3 + 2(0)}{1} = -3$।

(C) दिया गया है: $3 f(\cos x) + 2 f(\sin x) = 5 x$ ...$(i)$
$x$ को $(\frac{\pi}{2} - x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$3 f(\sin x) + 2 f(\cos x) = 5(\frac{\pi}{2} - x)$ ...$(ii)$
$(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$9 f(\cos x) + 6 f(\sin x) = 15 x$
$4 f(\cos x) + 6 f(\sin x) = 10(\frac{\pi}{2} - x) = 5\pi - 10 x$
समीकरणों को घटाने पर:
$5 f(\cos x) = 25 x - 5\pi \Rightarrow f(\cos x) = 5 x - \pi$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(\cos x) \cdot (-\sin x) = 5 \Rightarrow f^{\prime}(\cos x) = \frac{-5}{\sin x}$
इसी प्रकार,$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $f(\sin x) = \frac{5\pi}{2} - 5x$ प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(\sin x) \cdot (\cos x) = -5 \Rightarrow f^{\prime}(\sin x) = \frac{-5}{\cos x}$
अतः,$f^{\prime}(\cos x) + f^{\prime}(\sin x) = \frac{-5}{\sin x} - \frac{5}{\cos x}$.

(C) दिया गया समीकरण: $\frac{y}{x} \cos^4 \alpha + \frac{x}{y} \sin^4 \alpha = 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
दोनों पक्षों को $xy$ से गुणा करने पर:
$y^2 \cos^4 \alpha + x^2 \sin^4 \alpha = 2xy \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 \sin^4 \alpha - 2xy \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + y^2 \cos^4 \alpha = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग है:
$(x \sin^2 \alpha - y \cos^2 \alpha)^2 = 0$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$x \sin^2 \alpha - y \cos^2 \alpha = 0$
$y \cos^2 \alpha = x \sin^2 \alpha$
$y = x \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$

(B) माना $I = \int \frac{1}{x \sqrt{1-x^3}} dx$ है। अंश और हर को $x^2$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2}{x^3 \sqrt{1-x^3}} dx$।
माना $t = \sqrt{1-x^3}$,तब $t^2 = 1-x^3$,अर्थात $x^3 = 1-t^2$।
अवकलन करने पर,$2t dt = -3x^2 dx$,जिससे $x^2 dx = -\frac{2}{3} t dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-\frac{2}{3} t dt}{(1-t^2) t} = -\frac{2}{3} \int \frac{dt}{1-t^2} = \frac{2}{3} \int \frac{dt}{t^2-1} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + C = \frac{1}{3} \log \left| \frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1} \right| + C$।
इसे दिए गए व्यंजक $A \log \left( \frac{\sqrt{1-x^3}+B}{\sqrt{1-x^3}+1} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $A = \frac{1}{3}$ और $B = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$AB = \frac{1}{3} \times (-1) = -\frac{1}{3}$।

(A) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम दोनों वक्रों को बराबर करते हैं: $x^3 - 3x^2 - 8x - 4 = 3x^2 + 7x + 4$
यह समीकरण $x^3 - 6x^2 - 15x - 8 = 0$ में सरल हो जाता है।
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x + 1)^2(x - 8) = 0$ प्राप्त होता है।
वक्र वहां स्पर्श करते हैं जहां अवकलज के मान समान होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु दोहराए जाते हैं। $x = -1$ पर वक्र स्पर्श करते हैं।
$y = 3x^2 + 7x + 4$ में $x = -1$ रखने पर,हमें $y = 3(-1)^2 + 7(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $P$ का मान $(-1, 0)$ है।
अब,$y = 3x^2 + 7x + 4$ का अवकलन करके $P(-1, 0)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल ज्ञात करते हैं: $\frac{dy}{dx} = 6x + 7$
$x = -1$ पर,ढाल $m = 6(-1) + 7 = 1$ प्राप्त होती है।
$(-1, 0)$ बिंदु और $m = 1$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y - 0 = 1(x - (-1))$ है,जो सरल होकर $y = x + 1$ या $x - y + 1 = 0$ हो जाता है।

(B) माना $P(\alpha, \beta)$ वक्र $y^2 - 2x^3 - 4y + 8 = 0$ पर कोई बिंदु है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} - 6x^2 - 4 \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है।
$\Rightarrow (2y - 4) \frac{dy}{dx} = 6x^2$.
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2y - 4} = \frac{3x^2}{y - 2}$.
अतः,$P(\alpha, \beta)$ पर ढाल $m = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2}$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (x - \alpha)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा $(1, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $2 - \beta = \frac{3\alpha^2}{\beta - 2} (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow -(\beta - 2)^2 = 3\alpha^2 (1 - \alpha)$.
$\Rightarrow 3\alpha^3 - 3\alpha^2 - \beta^2 + 4\beta - 4 = 0 \dots (i)$.
साथ ही,$P(\alpha, \beta)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2\alpha^3 \dots (ii)$.
$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$3\alpha^3 - 3\alpha^2 - (2\alpha^3 + 4\beta - 8) + 4\beta - 4 = 0$.
$\Rightarrow \alpha^3 - 3\alpha^2 + 4 = 0$.
गुणनखंड करने पर,$(\alpha + 1)(\alpha - 2)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $\alpha = -1$,तो $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(-1)^3 = -2$,अर्थात $\beta^2 - 4\beta + 10 = 0$. विविक्तकर $D = 16 - 40 = -24 < 0$,इसलिए $\beta$ वास्तविक नहीं है।
यदि $\alpha = 2$,तो $\beta^2 - 4\beta + 8 = 2(2)^3 = 16$,अर्थात $\beta^2 - 4\beta - 8 = 0$.
$\beta$ के लिए हल करने पर,$\beta = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$.
इस प्रकार,दो अलग-अलग स्पर्श बिंदु $(2, 2 + 2\sqrt{3})$ और $(2, 2 - 2\sqrt{3})$ प्राप्त होते हैं,जो दो अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ देते हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया वक्र $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ है।
बिंदु $(a, b)$ पर,वक्र का समीकरण $(\frac{a}{a})^n + (\frac{b}{b})^n = 1^n + 1^n = 2$ संतुष्ट होता है,जो किसी भी $n$ के लिए सत्य है।
वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{a^n} x^{n-1} + \frac{n}{b^n} y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल:
$(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \cdot \frac{a^n}{b^n} = -\frac{b}{a}$.
बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $bx + ay = 2ab$ प्राप्त होता है।
इसे $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से तुलना करने पर,हमें $\cos \alpha = \frac{b}{p}$ और $\sin \alpha = \frac{a}{p}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए $\frac{b^2}{p^2} + \frac{a^2}{p^2} = 1$,जिससे $a^2 + b^2 = p^2$ मिलता है।
दिया गया है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{p^2}{a^2 b^2} = \frac{k}{p^2}$.
$p = 2ab$ से,$p^2 = 4a^2 b^2$,इसलिए $a^2 b^2 = \frac{p^2}{4}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p^2}{p^2/4} = 4 = \frac{k}{p^2} \cdot p^2 = k$.
अतः,$k = 4$.

(A) दिया गया वक्र $3y = 6x - 5x^3$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$3 \frac{dy}{dx} = 6 - 15x^2$,जो $\frac{dy}{dx} = 2 - 5x^2$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $P(h, k)$ पर अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{2 - 5h^2}$ है।
$(0,0)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $y = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)x$ है।
चूंकि $(h, k)$ अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $k = \left(-\frac{1}{2 - 5h^2}\right)h$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{h} = \frac{1}{5h^2 - 2}$ (समीकरण $i$)।
चूंकि $(h, k)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $3k = 6h - 5h^3$,जिसका अर्थ है $\frac{k}{h} = \frac{6 - 5h^2}{3}$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{1}{5h^2 - 2} = \frac{6 - 5h^2}{3}$।
यह $3 = (6 - 5h^2)(5h^2 - 2) = 30h^2 - 12 - 25h^4 + 10h^2$ में सरल हो जाता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $25h^4 - 40h^2 + 15 = 0$,या $5h^4 - 8h^2 + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $z = h^2$,तो $5z^2 - 8z + 3 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(5z - 3)(z - 1) = 0$,इसलिए $z = \frac{3}{5}$ या $z = 1$।
$z = 1$ के लिए,$h^2 = 1$,इसलिए $h = \pm 1$।
धनात्मक पूर्णांक मान $h = 1$ है।

(C) बिंदुओं $(0,3)$ और $(5,-2)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{-2-3}{5-0} = \frac{-5}{5} = -1$ है।
इस रेखा का समीकरण $(y-3) = -1(x-0)$ है,जो $y = -x+3$ में सरल हो जाता है।
वक्र $y = \frac{c}{x+1}$ के लिए,किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{-c}{(x+1)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि रेखा वक्र की स्पर्शरेखा है,इसलिए स्पर्शरेखा की ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए: $\frac{-c}{(x+1)^2} = -1$,जिसका अर्थ है $c = (x+1)^2$।
स्पर्श बिंदु पर,वक्र और रेखा एक-दूसरे को काटते हैं,इसलिए $\frac{c}{x+1} = -x+3$।
इस समीकरण में $c = (x+1)^2$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{(x+1)^2}{x+1} = -x+3$,जो $x+1 = -x+3$ में सरल हो जाता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $2x = 2$,इसलिए $x = 1$।
$x=1$ को $c = (x+1)^2$ में रखने पर,हमें $c = (1+1)^2 = 2^2 = 4$ प्राप्त होता है।

(B) माना वक्र पर बिंदु $P(x, y)$ है जहाँ $y = x^2 + 4x + 3$ है। रेखा $3x - y + 2 = 0$ है।
बिंदु के रेखा के सबसे निकट होने के लिए,उस बिंदु पर स्पर्श रेखा दी गई रेखा के समानांतर होनी चाहिए।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x + 4$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा $y = 3x + 2$ के समानांतर है,इसलिए इसकी ढाल $3$ होनी चाहिए।
$2x + 4 = 3 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
अब,$x = -\frac{1}{2}$ को वक्र के समीकरण में रखकर $y$-निर्देशांक ज्ञात करें:
$y = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - 2 + 3 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$.
अतः,बिंदु $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$ है।

(A) माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र का समीकरण $y = x^2 + x + 16$ है।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा का ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_1, y_1)} = 2x_1 + 1$ है।
चूंकि स्पर्शरेखा $(0,0)$ और $(x_1, y_1)$ से गुजरती है,इसलिए इसका ढाल $\frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{y_1}{x_1}$ भी होगा।
दोनों ढालों की तुलना करने पर: $2x_1 + 1 = \frac{y_1}{x_1} \Rightarrow y_1 = 2x_1^2 + x_1$ ...$(i)$
चूंकि $(x_1, y_1)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $y_1 = x_1^2 + x_1 + 16$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $2x_1^2 + x_1 = x_1^2 + x_1 + 16 \Rightarrow x_1^2 = 16 \Rightarrow x_1 = \pm 4$.
यदि $x_1 = 4$,तो $y_1 = 4^2 + 4 + 16 = 36$. अतः ढाल $m = \frac{36}{4} = 9$.
यदि $x_1 = -4$,तो $y_1 = (-4)^2 + (-4) + 16 = 28$. अतः ढाल $m = \frac{28}{-4} = -7$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$m=9$ सही उत्तर है।

(C) दी गई स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{y-4}{x-3}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\int \frac{dy}{y-4} = \int \frac{dx}{x-3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|y-4| = \ln|x-3| + C$ प्राप्त होता है।
चूंकि वक्र $(4, 3)$ से गुजरता है,$x=4$ और $y=3$ रखने पर: $\ln|3-4| = \ln|4-3| + C \Rightarrow \ln(1) = \ln(1) + C \Rightarrow C = 0$.
अतः,$\ln|y-4| = \ln|x-3|$,जिसका अर्थ है $|y-4| = |x-3|$.
इसके दो मामले हैं: $y-4 = x-3$ या $y-4 = -(x-3)$.
मामला $1$: $y-x = 1$. यह रेखा $y=x$ को नहीं काटती है।
मामला $2$: $y-4 = -x+3 \Rightarrow x+y = 7$.
$y=x$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए,$x+y=7$ में $y=x$ रखने पर: $x+x=7 \Rightarrow 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2}$.
अतः,$y=\frac{7}{2}$. बिंदु $(\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$ है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $e^{y} = 1 + x^2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $y = \ln(1 + x^2)$.
ढाल $m$ ज्ञात करने के लिए,हम $y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$m = \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln(1 + x^2)) = \frac{1}{1 + x^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + x^2)$.
$m = \frac{1}{1 + x^2} \cdot (2x) = \frac{2x}{1 + x^2}$.
अब,$x = 1$ पर ढाल का मान ज्ञात करने पर:
$m = \frac{2(1)}{1 + (1)^2} = \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$.
अतः,$m = 1$.

(C) वक्र का समीकरण दिया गया है: $y^3 - 3xy + 2 = 0$.
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$3y^2 \frac{dy}{dx} - 3(y + x \frac{dy}{dx}) = 0$.
$3$ से विभाजित करने पर:
$y^2 \frac{dy}{dx} - y - x \frac{dy}{dx} = 0$.
$\frac{dy}{dx}(y^2 - x) = y$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{y^2 - x}$.
स्पर्शरेखा के ऊर्ध्वाधर होने के लिए,हर (denominator) शून्य होना चाहिए और अंश (numerator) शून्य नहीं होना चाहिए:
$y^2 - x = 0 \Rightarrow x = y^2$ और $y \neq 0$.
$x = y^2$ को मूल वक्र समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^3 - 3(y^2)y + 2 = 0$.
$y^3 - 3y^3 + 2 = 0$.
$-2y^3 + 2 = 0 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$.
चूँकि $y = 1$,इसलिए $x = (1)^2 = 1$.
बिंदु $(1, 1)$ प्राप्त होता है।
अतः,$V = \{(1, 1)\}$.

(A) दिया गया वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ है।
माना बिंदु $(x_1, y_1)$ है जहाँ $x_1 = y_1$ है।
वक्र के समीकरण में $y_1 = x_1$ रखने पर: $x_1 = \sqrt{9-2x_1^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x_1^2 = 9-2x_1^2 \Rightarrow 3x_1^2 = 9 \Rightarrow x_1^2 = 3 \Rightarrow x_1 = \pm\sqrt{3}$।
चूँकि $y = \sqrt{9-2x^2}$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $y_1 = \sqrt{3}$। अतः,बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।
अब,ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9-2x^2}} \times (-4x) = \frac{-2x}{\sqrt{9-2x^2}} = \frac{-2x}{y}$।
बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ पर ढाल $m = \frac{-2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:
$y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$
$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3}$
$2x + y - 3\sqrt{3} = 0$।

(D) वक्र $y^3-x^2 y+5 y-2 x=0$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$3 y^2 \frac{dy}{dx} - (x^2 \frac{dy}{dx} + 2xy) + 5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$
$(0,0)$ पर,यह $5 \frac{dy}{dx} - 2 = 0$ में सरल हो जाता है,अतः ढाल $m_1 = \frac{2}{5}$ है।
वक्र $x^4-x^3 y^2+5 x+2 y=0$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$4x^3 - (x^3 \cdot 2y \frac{dy}{dx} + 3x^2 y^2) + 5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$
$(0,0)$ पर,यह $5 + 2 \frac{dy}{dx} = 0$ में सरल हो जाता है,अतः ढाल $m_2 = -\frac{5}{2}$ है।
चूँकि $m_1 \times m_2 = (\frac{2}{5}) \times (-\frac{5}{2}) = -1$,इसलिए स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिए गए वक्र के प्राचलिक समीकरण $x = a(1 + \cos \theta)$ और $y = a \sin \theta$ हैं।
सबसे पहले,हम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$.
अभिलंब की प्रवणता $-\frac{1}{dy/dx} = -\frac{1}{-\cot \theta} = \tan \theta$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (a(1 + \cos \theta), a \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a(1 + \cos \theta))$.
समीकरण को सरल करने पर:
$y - a \sin \theta = \tan \theta (x - a - a \cos \theta)$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta$
$y - a \sin \theta = x \tan \theta - a \tan \theta - a \sin \theta$
$y = x \tan \theta - a \tan \theta$
$y = \tan \theta (x - a)$.
इस रेखा के $\theta$ से स्वतंत्र एक निश्चित बिंदु से गुजरने के लिए,हम $x - a = 0$ रखते हैं,जिससे $x = a$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $x = a$ रखने पर,हमें $y = \tan \theta (a - a) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,निश्चित बिंदु $(a, 0)$ है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: $y=a x^3+b x^2+c x+5$ ...$(i)$
चूंकि वक्र $P(-2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $x=-2$ और $y=0$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$0 = a(-2)^3 + b(-2)^2 + c(-2) + 5$
$0 = -8a + 4b - 2c + 5$ ...(ii)
अब,वक्र का अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3ax^2 + 2bx + c$
चूंकि वक्र $P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $x=-2$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $0$ होगी:
$\left[\frac{dy}{dx}\right]_{x=-2} = 3a(-2)^2 + 2b(-2) + c = 0$
$12a - 4b + c = 0$
$4b = 12a + c$ ...(iii)
समीकरण (iii) से $4b$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर:
$-8a + (12a + c) - 2c + 5 = 0$
$4a - c + 5 = 0$
$c = 4a + 5$

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर रखें:
$x^2-1 = 8x-x^2-9$
$2x^2-8x+8 = 0$
$x^2-4x+4 = 0$
$(x-2)^2 = 0$
$x = 2$
$x=2$ को $y=x^2-1$ में रखने पर,हमें $y=3$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,3)$ है।
अब,$(2,3)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल निर्धारित करने के लिए अवकलज ज्ञात करें:
$C_1: y=x^2-1$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ पर,$m_1 = 2(2) = 4$.
$C_2: y=8x-x^2-9$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 8-2x$. $x=2$ पर,$m_2 = 8-2(2) = 4$.
चूंकि ढाल समान हैं $(m_1 = m_2 = 4)$,इसलिए $(2,3)$ बिंदु पर वक्रों की स्पर्श रेखाएं समान हैं।
अतः,दोनों वक्र $(2,3)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = x + \frac{4}{x^2}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{8}{x^3}$.
चूंकि स्पर्शरेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल $0$ होगी। अतः,$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर:
$1 - \frac{8}{x^3} = 0 \Rightarrow \frac{8}{x^3} = 1 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$.
अब,$x = 2$ को मूल वक्र के समीकरण में रखकर $y$ का मान ज्ञात करें:
$y = 2 + \frac{4}{2^2} = 2 + \frac{4}{4} = 2 + 1 = 3$.
अतः,स्पर्शरेखा एक क्षैतिज रेखा है जो $(2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = 3$ है.

(A) वक्र $y=f(x)$ के लिए किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = f^{\prime}(x)$ द्वारा दी जाती है।
माना बिंदु $(3,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t$ है और अभिलंब की ढाल $m_n$ है।
अभिलंब धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta = \frac{3\pi}{4}$ का कोण बनाता है।
इसलिए,अभिलंब की ढाल $m_n = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$ है।
हम जानते हैं कि स्पर्श रेखा और अभिलंब की ढाल के बीच संबंध $m_n = -\frac{1}{m_t}$ होता है।
मान रखने पर,$-1 = -\frac{1}{f^{\prime}(3)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^{\prime}(3) = 1$ है।

(D) दिया गया वक्र समीकरण: $\left(\frac{x}{a}\right)^n + \left(\frac{y}{b}\right)^n = 2$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{n}{a} \left(\frac{x}{a}\right)^{n-1} + \frac{n}{b} \left(\frac{y}{b}\right)^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$.
बिंदु $(a, b)$ पर,ढाल $m$ है:
$m = \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(a,b)} = -\frac{b}{a} \left(\frac{a/a}{b/b}\right)^{n-1} = -\frac{b}{a}$.
$(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण:
$y - b = -\frac{b}{a}(x - a) \Rightarrow ay - ab = -bx + ab \Rightarrow bx + ay = 2ab$.
$2ab$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x}{2a} + \frac{y}{2b} = 1$.
अक्षों पर अंतःखंड $2a$ और $2b$ हैं।
अंतःखंडों का योग $2a + 2b = 2(a+b)$ है।

(D) वक्र का समीकरण $2y = e^{-x/2}$ है।
$y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
$x = 0$ रखने पर: $2y = e^0 = 1$,अतः $y = 1/2$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1/2)$ है।
$x$ के सापेक्ष वक्र का अवकलन करने पर: $2 \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} e^{-x/2}$ प्राप्त होता है।
$x = 0$ पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4}$ है।
$y$-अक्ष एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए इसकी ढाल $m_2$ अपरिभाषित है।
वक्र और $y$-अक्ष के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\tan \theta = |\frac{1}{m}|$ है।
यहाँ,$m = -1/4$ है,इसलिए $\tan \theta = |\frac{1}{-1/4}| = 4$ होगा।
दिया गया है कि कोण $\tan^{-1}(k)$ है,इसलिए $\tan^{-1}(k) = \tan^{-1}(4)$ है।
अतः,$k = 4$।

(A) वक्र के दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = a(\theta + \sin \theta)$ और $y = a(1 - \cos \theta)$।
सबसे पहले,हम $\theta$ के सापेक्ष अवकलन प्राप्त करते हैं:
$\frac{dx}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$
$\frac{dy}{d\theta} = a \sin \theta$
अब,स्पर्श रेखा की ढाल इस प्रकार है:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \sin \theta}{a(1 + \cos \theta)} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ और $1 + \cos \theta = 2 \cos^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$
$\theta = \pi / 3$ पर:
$\frac{dy}{dx} = \tan(\frac{\pi/3}{2}) = \tan(\pi / 6)$
चूंकि ढाल $m = \tan \psi$,जहाँ $\psi$ $X$-अक्ष के साथ कोण है:
$\tan \psi = \tan(\pi / 6) \Rightarrow \psi = \pi / 6$।

(A) दिए गए वक्र $y^2=4x$ और $y=e^{-x/2}$ हैं।
मान लीजिए $(x_1, y_1)$ दोनों वक्रों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$y^2=4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
अतः,ढाल $m_1 = \frac{2}{y_1}$ है।
$y=e^{-x/2}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x/2} = -\frac{1}{2}y$ प्राप्त होता है।
अतः,ढाल $m_2 = -\frac{y_1}{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
ढाल के मान रखने पर: $m_1 m_2 = (\frac{2}{y_1})(-\frac{y_1}{2}) = -1$।
चूंकि $1 + m_1 m_2 = 1 - 1 = 0$,हर शून्य है,जिसका अर्थ है कि $\tan \theta = \infty$।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{2}$।
अंत में,$\operatorname{cosec}^2(\theta/2) = \operatorname{cosec}^2(\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2})^2 = 2$।

(B) दिया गया फलन $y=x^3-a x^2+48 x+7$ है।
फलन के $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए वर्धमान होने के लिए,इसका अवकलज अऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\frac{dy}{dx} \geq 0$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2ax + 48$.
चूंकि $3x^2 - 2ax + 48 \geq 0$ सभी $x$ के लिए है,इसलिए द्विघात व्यंजक का विविक्तकर (discriminant) $D \leq 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A=3, B=-2a, C=48$ है।
$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4(3)(48) = 4a^2 - 576$।
$D \leq 0$ रखने पर:
$4a^2 - 576 \leq 0$
$4(a^2 - 144) \leq 0$
$a^2 - 144 \leq 0$
$(a-12)(a+12) \leq 0$।
अतः,$a \in [-12, 12]$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,अंतराल $(-12, 12)$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = |x-5| + 2|x-7|$ है।
अंतराल $(7, \infty)$ के लिए,हमारे पास $x > 7$ है।
चूंकि $x > 7$,इसलिए $x > 5$ और $x > 7$ होता है।
अतः,$|x-5| = x-5$ और $|x-7| = x-7$ होगा।
इन मानों को फलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = (x-5) + 2(x-7)$
$f(x) = x - 5 + 2x - 14$
$f(x) = 3x - 19$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x - 19) = 3$.
यहाँ $f'(x) = 3 > 0$ है,इसलिए अंतराल $(7, \infty)$ में फलन एक वर्धमान फलन है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ है।
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:
$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.
क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए,$f'(x) = 0$ रखें,जिसका अर्थ है $4 - x^2 = 0$,इसलिए $x = \pm 2$.
चूंकि $x = \pm 2$ अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं हैं,इसलिए दिए गए अंतराल में फलन का कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।
चूंकि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $4 - x^2 > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है:
$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1^2} = \frac{1}{6}$.

(D) दिया गया फलन: $f(x) = x + \frac{4}{x + 2}$,जहाँ $x > -2$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 1 - \frac{4}{(x + 2)^2}$
$f'(x) = 0$ रखने पर:
$1 = \frac{4}{(x + 2)^2} \implies (x + 2)^2 = 4$
चूंकि $x > -2$,इसलिए $x + 2 = 2$,जिससे हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
अब,हम द्वितीय अवकलज $f''(x) = \frac{8}{(x + 2)^3}$ की जाँच करते हैं।
$x = 0$ पर,$f''(0) = \frac{8}{2^3} = 1 > 0$.
चूंकि $f''(0) > 0$ है,इसलिए फलन का $x = 0$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है।
न्यूनतम मान $f(0) = 0 + \frac{4}{0 + 2} = \frac{4}{2} = 2$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$.
किसी फलन का कोई चरम मान नहीं होता है यदि उसका अवकलज $f'(x)$ अपना चिह्न नहीं बदलता है,जिसका अर्थ है कि $f'(x) = 0$ के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं या समान मूल हैं जिससे चिह्न नहीं बदलता है।
द्विघात समीकरण $3ax^2 + 2bx + c = 0$ के कोई वास्तविक मूल न होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D < 0$ होना चाहिए।
$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) < 0$.
$4b^2 - 12ac < 0$.
$4$ से भाग देने पर,हमें $b^2 - 3ac < 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b^2 < 3ac$।

(A) माना कि बंद बेलन की ऊँचाई $h$ है और आधार की त्रिज्या $r$ है।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ है,जिसका अर्थ है $h = \frac{V}{\pi r^2}$।
बंद बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 2 \pi r h + 2 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में $h$ का मान रखने पर: $S = 2 \pi r (\frac{V}{\pi r^2}) + 2 \pi r^2 = \frac{2V}{r} + 2 \pi r^2$।
न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $S$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dS}{dr} = -\frac{2V}{r^2} + 4 \pi r = 0$।
इससे हमें $4 \pi r = \frac{2V}{r^2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $V = 2 \pi r^3$।
इस समीकरण में $V = \pi r^2 h$ रखने पर: $\pi r^2 h = 2 \pi r^3$।
दोनों पक्षों को $\pi r^2$ से विभाजित करने पर,हमें $h = 2r$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि अनुपात $h : r = 2 : 1$ है।

(A) कणों के निर्देशांक $P(t, t^3 - 16t - 3)$ और $Q(t + 1, t^3 - 6t - 6)$ हैं।
दो कणों के बीच की दूरी $PQ$ दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$PQ = \sqrt{((t + 1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम दूरी के वर्ग $y = PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ को न्यूनतम करते हैं।
न्यूनतम मान के लिए,हम $t$ के सापेक्ष अवकलन को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dy}{dt} = 2(10t - 3) \times 10 = 20(10t - 3) = 0$
इससे $10t - 3 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $t = \frac{3}{10}$।
$t = \frac{3}{10}$ को $PQ$ के व्यंजक में रखने पर:
$PQ_{min} = \sqrt{1 + (10(\frac{3}{10}) - 3)^2} = \sqrt{1 + (3 - 3)^2} = \sqrt{1 + 0} = 1$।
अतः,न्यूनतम दूरी $1$ है।

(A) दिया गया फलन $y = \frac{b^2}{a-x} + \frac{a^2}{x}$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{b^2}{(a-x)^2} - \frac{a^2}{x^2}$.
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,हमें $\frac{b^2}{(a-x)^2} = \frac{a^2}{x^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{b}{a-x} = \pm \frac{a}{x}$.
चूंकि $0 < x < a$ और $a, b > 0$ है,हम धनात्मक मूल लेते हैं: $\frac{b}{a-x} = \frac{a}{x} \Rightarrow bx = a^2 - ax \Rightarrow x(a+b) = a^2 \Rightarrow x = \frac{a^2}{a+b}$.
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2b^2}{(a-x)^3} + \frac{2a^2}{x^3}$.
चूंकि $x = \frac{a^2}{a+b}$ अंतराल $(0, a)$ में स्थित है,दोनों पद धनात्मक हैं,इसलिए $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$,जो न्यूनतम मान की पुष्टि करता है।
$x = \frac{a^2}{a+b}$ को $y$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y_{\min} = \frac{b^2}{a - \frac{a^2}{a+b}} + \frac{a^2}{\frac{a^2}{a+b}} = \frac{b^2}{\frac{a^2+ab-a^2}{a+b}} + (a+b) = \frac{b^2(a+b)}{ab} + (a+b) = \frac{b(a+b)}{a} + (a+b) = (a+b)(\frac{b}{a} + 1) = (a+b)(\frac{a+b}{a}) = \frac{(a+b)^2}{a}$.

(A) माना समकोण त्रिभुज $ABC$ है जिसका कर्ण $AC = h$ है। माना $\angle A = \theta$ है।
तब भुजाएँ $AB = h \cos \theta$ और $BC = h \sin \theta$ होंगी।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} (h \cos \theta)(h \sin \theta)$ है।
$A = \frac{h^2}{2} \sin \theta \cos \theta = \frac{h^2}{4} (2 \sin \theta \cos \theta) = \frac{h^2}{4} \sin 2\theta$।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin 2\theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए,जो $2\theta = 90^{\circ}$ या $\theta = 45^{\circ}$ पर $1$ होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $\frac{h^2}{4} \times 1 = \frac{h^2}{4}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ है।
चरम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3x) = a \cos x + \frac{1}{3} \cdot 3 \cos 3x = a \cos x + \cos 3x$.
चूंकि फलन का $x = \frac{\pi}{3}$ पर चरम मान है,इसलिए $f'(\frac{\pi}{3}) = 0$ होना चाहिए।
अवकलज में $x = \frac{\pi}{3}$ रखने पर:
$a \cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = 0$.
$a(\frac{1}{2}) + \cos(\pi) = 0$.
चूंकि $\cos(\pi) = -1$,इसलिए:
$\frac{a}{2} - 1 = 0$.
$\frac{a}{2} = 1 \implies a = 2$.

(D) मान लीजिए कि त्रिभुज की दो दी गई भुजाएँ $a$ और $b$ हैं,और उनके बीच का कोण $\theta$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = \frac{1}{2} ab \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि भुजाएँ $a$ और $b$ निश्चित हैं,इसलिए क्षेत्रफल $A$ केवल $\sin \theta$ पर निर्भर करता है।
क्षेत्रफल को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2} \text{ रेडियन}$ पर प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल के लिए दी गई भुजाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(B) कण का वेग $V$,समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर है:
$V = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(6t - \frac{t^3}{2}) = 6 - \frac{3}{2}t^2$
अधिकतम वेग ज्ञात करने के लिए,हम समय के सापेक्ष वेग का अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}(6 - \frac{3}{2}t^2) = -3t$
$\frac{dV}{dt} = 0$ रखने पर,हमें $t = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d^2V}{dt^2} = -3 < 0$ है,इसलिए $t = 0$ पर वेग अधिकतम है।
वेग समीकरण में $t = 0$ रखने पर:
$V_{max} = 6 - \frac{3}{2}(0)^2 = 6$.

(B) दिया गया है कि $f(x)=x^2+\frac{1}{x^2}$ और $g(x)=x-\frac{1}{x}$ है।
हम $f(x)$ को $g(x)$ के पदों में $f(x)=\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t=x-\frac{1}{x}$ है। तब $f(x)=t^2+2$ और $g(x)=t$ होगा।
हम $h(t)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{t^2+2}{t}=t+\frac{2}{t}$ परिभाषित करते हैं।
स्थानीय न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं $h'(t)=1-\frac{2}{t^2}$।
$h'(t)=0$ रखने पर,हमें $1-\frac{2}{t^2}=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^2=2$,इसलिए $t=\pm \sqrt{2}$।
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$h''(t)=\frac{4}{t^3}$ है।
$t=\sqrt{2}$ के लिए,$h''(\sqrt{2})=\frac{4}{(\sqrt{2})^3} > 0$,इसलिए $t=\sqrt{2}$ स्थानीय न्यूनतम का बिंदु है।
स्थानीय न्यूनतम मान $h(\sqrt{2})=\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ है।

(D) मान लीजिए $r$ त्रिज्या है और $\theta$ रेडियन में सेक्टर का कोण है। सेक्टर का परिमाप $P = 2r + r\theta = r(2 + \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि परिमाप स्थिर है,मान लीजिए $P = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$r(2 + \theta) = k$,जिसका अर्थ है $r = \frac{k}{2 + \theta}$।
सेक्टर का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $A = \frac{1}{2} \left(\frac{k}{2 + \theta}\right)^2 \theta = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{\theta}{(2 + \theta)^2}$।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $\theta$ के सापेक्ष $A$ का अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2} \left[ \frac{(2 + \theta)^2(1) - \theta(2)(2 + \theta)}{(2 + \theta)^4} \right] = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{(2 + \theta) - 2\theta}{(2 + \theta)^3} = \frac{k^2}{2} \cdot \frac{2 - \theta}{(2 + \theta)^3}$।
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ रखने पर,हमें $2 - \theta = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\theta = 2$।
$\theta = 2$ के लिए,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2A}{d\theta^2}$ ऋणात्मक है,जो पुष्टि करता है कि $\theta = 2^c$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

(B) दिया गया फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$ है जहाँ $a>0$ है।
सबसे पहले,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करें:
$f^{\prime}(x)=6 x^2-18 a x+12 a^2$
$f^{\prime}(x)=6(x^2-3 a x+2 a^2)=6(x-a)(x-2 a)$
स्थानीय उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिए,$f^{\prime}(x)=0$ रखें:
$6(x-a)(x-2 a)=0 \Rightarrow x=a, 2 a$
द्वितीय अवकलज परीक्षण का उपयोग करते हुए,$f^{\prime\prime}(x)=12 x-18 a$:
$x=a$ पर,$f^{\prime\prime}(a)=12 a-18 a=-6 a < 0$ (चूंकि $a>0$),इसलिए $x=a$ स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है।
$x=2 a$ पर,$f^{\prime\prime}(2 a)=24 a-18 a=6 a > 0$ (चूंकि $a>0$),इसलिए $x=2 a$ स्थानीय निम्निष्ठ बिंदु है।
अतः,$p=a$ और $q=2 a$ है।
शर्त $p^2=q$ के अनुसार:
$a^2=2 a$
$a^2-2 a=0$
$a(a-2)=0$
चूंकि $a>0$,हमें $a=2$ प्राप्त होता है।

(A) माना वक्र पर स्थित बिंदु $P(x, y) = (x, x^2-4)$ है।
मूल बिंदु $(0,0)$ से दूरी का वर्ग $D^2 = S = x^2 + y^2 = x^2 + (x^2-4)^2$ है।
$S = x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = x^4 - 7x^2 + 16$।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,$S$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{dS}{dx} = 4x^3 - 14x = 0$।
$2x(2x^2 - 7) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x^2 = \frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
यदि $x = 0$,तो $S = 16$। यदि $x^2 = \frac{7}{2}$,तो $S = (\frac{7}{2})^2 - 7(\frac{7}{2}) + 16 = \frac{49}{4} - \frac{49}{2} + 16 = 16 - \frac{49}{4} = \frac{64-49}{4} = \frac{15}{4}$।
न्यूनतम दूरी $\sqrt{S} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$ है।

(A) मान लीजिए आधार की त्रिज्या $R$ है और ऊँचाई $H$ है। एक खुले बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2\pi RH + \pi R^2$ होता है।
इससे,हम $H$ को $H = \frac{A - \pi R^2}{2\pi R}$ के रूप में लिख सकते हैं।
आयतन $V = \pi R^2 H = \pi R^2 \left( \frac{A - \pi R^2}{2\pi R} \right) = \frac{R}{2}(A - \pi R^2) = \frac{AR}{2} - \frac{\pi R^3}{2}$ है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $R$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं: $\frac{dV}{dR} = \frac{A}{2} - \frac{3\pi R^2}{2}$।
$\frac{dV}{dR} = 0$ रखने पर,हमें $A = 3\pi R^2$ प्राप्त होता है।
द्वितीय अवकलज की जाँच करने पर,$\frac{d^2V}{dR^2} = -3\pi R$,जो $R > 0$ के लिए ऋणात्मक है,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
$A = 3\pi R^2$ को पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर: $3\pi R^2 = 2\pi RH + \pi R^2$।
इसे सरल करने पर $2\pi R^2 = 2\pi RH$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = H$।
अतः,त्रिज्या बेलन की ऊँचाई के बराबर है।

(C) दिया गया है कि $x+y=k$,जहाँ $x>0$ और $y>0$ है।
हम $y=k-x$ लिख सकते हैं।
माना $f(x) = x^2+y^2 = x^2+(k-x)^2$ है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $f(x) = x^2+k^2-2kx+x^2 = 2x^2-2kx+k^2$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = 4x-2k = 0 \Rightarrow x = \frac{k}{2}$।
अब,द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं:
$f''(x) = 4 > 0$।
चूँकि द्वितीय अवकलज धनात्मक है,फलन का मान $x = \frac{k}{2}$ पर न्यूनतम है।
$x = \frac{k}{2}$ को $y = k-x$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = k - \frac{k}{2} = \frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x=y=\frac{k}{2}$ पर $x^2+y^2$ का मान न्यूनतम होता है।

(B) मान लीजिए कि आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः $x$ और $y$ है। आयत $R = 10 \text{ cm}$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित है।
आयत का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,इसलिए $x^2 + y^2 = (2R)^2 = (20)^2 = 400$ है।
आयत का क्षेत्रफल $A = xy$ है। क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = x^2y^2$ को अधिकतम करते हैं।
मान लीजिए $u = x^2$ और $v = y^2$,तो $u + v = 400$ है। हम $uv$ को अधिकतम करना चाहते हैं।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{u+v}{2} \geq \sqrt{uv}$,इसलिए $\sqrt{uv} \leq \frac{400}{2} = 200$ है।
अतः,$uv \leq (200)^2 = 40000$ है।
वैकल्पिक रूप से,वृत्त में अंकित आयत का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब वह एक वर्ग हो।
यदि यह $a$ भुजा वाला एक वर्ग है,तो $a^2 + a^2 = (20)^2 \Rightarrow 2a^2 = 400 \Rightarrow a^2 = 200$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $a^2 = 200 \text{ cm}^2$ है।

(C) दिया गया है $f(x)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}$.
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = -\sin x + x - x^2$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $f''(x)$ ज्ञात करें:
$f''(x) = -\cos x + 1 - 2x$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करें:
$f'(0) = -\sin(0) + 0 - 0^2 = 0$.
$f''(0) = -\cos(0) + 1 - 2(0) = -1 + 1 = 0$.
चूंकि $f'(0)=0$ और $f''(0)=0$ है,हम तृतीय अवकलज $f'''(x)$ की जाँच करते हैं:
$f'''(x) = \sin x - 2$.
$x=0$ पर मान ज्ञात करें:
$f'''(0) = \sin(0) - 2 = -2$.
चूंकि $x=0$ पर पहला गैर-शून्य अवकलज विषम क्रम (तृतीय अवकलज) का है,इसलिए $x=0$ एक नति परिवर्तन बिंदु (point of inflection) है और चरम बिंदु नहीं है।
अतः,$x=0$ पर $f(x)$ का कोई चरम मान नहीं है।