$200$ असमान वस्तुओं को $10$ समूहों में,जिनमें से प्रत्येक में $20$ तत्व हों,विभाजित करने के तरीकों की संख्या है

$5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि सभी $i + j = 6$ के लिए $a_{ij} = 0$ है,जहाँ सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है। प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में केवल एक ही शून्येतर अवयव है। तो ऐसे आव्यूहों की संख्या है:

$52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों के बीच समान रूप से कितने तरीकों से बांटा जा सकता है?

तीन व्यक्तियों को तीन पत्र लिखाए जाते हैं और उनमें से प्रत्येक के लिए एक लिफाफा तैयार किया जाता है। पत्रों को यादृच्छिक रूप से लिफाफों में इस प्रकार डाला जाता है कि प्रत्येक लिफाफे में ठीक एक पत्र हो। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में हो।

आठ व्यक्तियों को शहर $A$ से शहर $B$ तक तीन अलग-अलग मेक (make) की कारों में ले जाना है। यदि प्रत्येक कार में अधिकतम तीन व्यक्ति बैठ सकते हैं,तो उन्हें ले जाने के तरीकों की संख्या $...........$ है।

$8$ अलग-अलग रंग की गेंदें और $8$ बैग हैं जिनका रंग गेंदों के समान है। यदि प्रत्येक बैग में एक गेंद यादृच्छिक रूप से रखी जाती है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि $5$ गेंदें अपने संबंधित रंग के बैग में रखी गई हैं?