वक्र y=x^2-1 और y=8x-x^2-9: | vedclass

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Question

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर रखें:$x^2-1 = 8x-x^2-9$$2x^2-8x+8 = 0$$x^2-4x+4 = 0$$(x-2)^2 = 0$$x = 2$$x=2$ को

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$(2,3)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं

Vedclass · Answer

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को एक-दूसरे के बराबर रखें:$x^2-1 = 8x-x^2-9$$2x^2-8x+8 = 0$$x^2-4x+4 = 0$$(x-2)^2 = 0$$x = 2$$x=2$ को $y=x^2-1$ में रखने पर,हमें $y=3$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,3)$ है।अब,$(2,3)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल निर्धारित करने के लिए अवकलज ज्ञात करें:$C_1: y=x^2-1$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x$. $x=2$ पर,$m_1 = 2(2) = 4$.$C_2: y=8x-x^2-9$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 8-2x$. $x=2$ पर,$m_2 = 8-2(2) = 4$.चूंकि ढाल समान हैं $(m_1 = m_2 = 4)$,इसलिए $(2,3)$ बिंदु पर वक्रों की स्पर्श रेखाएं समान हैं।अतः,दोनों वक्र $(2,3)$ पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

वक्र $y=x^2-1$ और $y=8x-x^2-9$:

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वक्र $y = b e^{-\frac{x}{a}}$ पर विचार करें,जहाँ $a$ और $b$ गैर-शून्य वास्तविक संख्याएँ हैं। तो:

यदि वक्र $x=1+\frac{1}{y^2}$ पर बिंदु $A(2,1)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा वक्र को पुनः बिंदु $B$ पर मिलती है,तो

वक्र $y^{2}=ax^{2}+b$ के बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y=4x-5$ है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$,वक्र $y = b \cdot e^{-x / a}$ को उस बिंदु पर स्पर्श करती है जहाँ वक्र $y$-अक्ष को काटता है।

वक्र $y=\frac{x-1}{x-2}, x \neq 2$ के लिए $x=10$ पर स्पर्श रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।

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