यदि f(x) = cot^{-1} left(frac{x^{x} - x^{-x}} | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left(\frac{x^{x} - x^{-x}}{2}\right)$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{1 + \left(\fra

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$-1$

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(A) दिया गया है $f(x) = \cot^{-1} \left(\frac{x^{x} - x^{-x}}{2}\right)$.श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$f'(x) = -\frac{1}{1 + \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)^2} \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{x^x - x^{-x}}{2}\right)$.व्यंजक को सरल करने पर,$f'(x) = -\frac{4}{4 + (x^x - x^{-x})^2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.चूंकि $(x^x + x^{-x})^2 = (x^x - x^{-x})^2 + 4$,इसलिए $f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot \frac{d}{dx} (x^x - x^{-x})$.चूंकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \log x)$ और $\frac{d}{dx}(x^{-x}) = -x^{-x}(1 + \log x)$,इसलिए $\frac{d}{dx}(x^x - x^{-x}) = (x^x + x^{-x})(1 + \log x)$ प्राप्त होता है।अतः,$f'(x) = -\frac{2}{(x^x + x^{-x})^2} \cdot (x^x + x^{-x})(1 + \log x) = -\frac{2(1 + \log x)}{x^x + x^{-x}}$.$x = 1$ रखने पर,$f'(1) = -\frac{2(1 + \log 1)}{1^1 + 1^{-1}} = -\frac{2(1 + 0)}{1 + 1} = -\frac{2}{2} = -1$.

यदि $f(x) = \cot^{-1} \left(\frac{x^{x} - x^{-x}}{2}\right)$ है,तो $f'(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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