वक्र y=sqrt{9-2x^2} के लिए उस बिंदु पर स्पर्श | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ है।माना बिंदु $(x_1, y_1)$ है जहाँ $x_1 = y_1$ है।वक्र के समीकरण में $y_1 = x_1$ रखने पर: $x_1 = \sqrt{9-2x_1^2}$।

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$2x+y-3\sqrt{3}=0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ है।माना बिंदु $(x_1, y_1)$ है जहाँ $x_1 = y_1$ है।वक्र के समीकरण में $y_1 = x_1$ रखने पर: $x_1 = \sqrt{9-2x_1^2}$।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x_1^2 = 9-2x_1^2 \Rightarrow 3x_1^2 = 9 \Rightarrow x_1^2 = 3 \Rightarrow x_1 = \pm\sqrt{3}$।चूँकि $y = \sqrt{9-2x^2}$ हमेशा धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $y_1 = \sqrt{3}$। अतः,बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।अब,ढाल $m = \frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{9-2x^2}} 	imes (-4x) = \frac{-2x}{\sqrt{9-2x^2}} = \frac{-2x}{y}$।बिंदु $(\sqrt{3}, \sqrt{3})$ पर ढाल $m = \frac{-2(\sqrt{3})}{\sqrt{3}} = -2$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ के अनुसार:$y - \sqrt{3} = -2(x - \sqrt{3})$$y - \sqrt{3} = -2x + 2\sqrt{3}$$2x + y - 3\sqrt{3} = 0$।

वक्र $y=\sqrt{9-2x^2}$ के लिए उस बिंदु पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या होगा जहाँ कोटि (ordinate) और भुज (abscissa) समान हैं?

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