यदि दिए गए पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले एक खुले बेलन का आयतन अधिकतम है,तो उसकी त्रिज्या है

मान लीजिए कि $2$ और $4$ भुजाओं वाला एक आयत $ABCD$ एक अन्य आयत $PQRS$ में इस प्रकार अंकित है कि आयत $ABCD$ के शीर्ष आयत $PQRS$ की भुजाओं पर स्थित हैं। जब आयत $PQRS$ का क्षेत्रफल अधिकतम हो,तो उसकी भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। तब $(a+b)^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

फलन $f(x) = x^2 + \frac{54}{x}$

प्रत्येक दो बार अवकलनीय फलन $f : R \rightarrow [-2, 2]$ के लिए,जहाँ $(f(0))^2 + (f'(0))^2 = 85$ है,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ ऐसे $r, s \in R$ मौजूद हैं,जहाँ $r < s$,कि $f$ विवृत अंतराल $(r, s)$ पर एकैकी (one-one) है।
$(B)$ ऐसा $x_0 \in (-4, 0)$ मौजूद है कि $|f'(x_0)| \leq 1$.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$.
$(D)$ ऐसा $a \in (-4, 4)$ मौजूद है कि $f(a) + f''(a) = 0$ और $f'(a) \neq 0$.

एक आयताकार आधार और आयताकार किनारों वाली,ऊपर से खुली एक टंकी का निर्माण इस प्रकार किया जाना है कि इसकी गहराई $2 \ m$ और आयतन $8 \ m^{3}$ हो। यदि टंकी बनाने की लागत आधार के लिए $70$ रुपये प्रति वर्ग मीटर और किनारों के लिए $45$ रुपये प्रति वर्ग मीटर है,तो टंकी की न्यूनतम लागत क्या है?

यदि फलन $f(x)=2 x^3-9 a x^2+12 a^2 x+1$,जहाँ $a > 0$,अपने स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान क्रमशः $p$ और $q$ पर प्राप्त करता है,इस प्रकार कि $p^2=q$,तो $f(3)$ का मान क्या है?