यदि सरल रेखा x cos alpha + y sin alpha = p वक | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ है। बिंदु $(a, b)$ पर,वक्र का समीकरण $(\frac{a}{a})^n + (\frac{b}{b})^n = 1^n + 1^n = 2$ संत

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$4$

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(A) दिया गया वक्र $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ है। बिंदु $(a, b)$ पर,वक्र का समीकरण $(\frac{a}{a})^n + (\frac{b}{b})^n = 1^n + 1^n = 2$ संतुष्ट होता है,जो किसी भी $n$ के लिए सत्य है। वक्र के समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{n}{a^n} x^{n-1} + \frac{n}{b^n} y^{n-1} \frac{dy}{dx} = 0$. बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल: $(\frac{dy}{dx})_{(a, b)} = -\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}} \cdot \frac{a^n}{b^n} = -\frac{b}{a}$. बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - b = -\frac{b}{a}(x - a)$ है,जिसे सरल करने पर $bx + ay = 2ab$ प्राप्त होता है। इसे $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ से तुलना करने पर,हमें $\cos \alpha = \frac{b}{p}$ और $\sin \alpha = \frac{a}{p}$ प्राप्त होता है। चूंकि $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$,इसलिए $\frac{b^2}{p^2} + \frac{a^2}{p^2} = 1$,जिससे $a^2 + b^2 = p^2$ मिलता है। दिया गया है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 b^2} = \frac{p^2}{a^2 b^2} = \frac{k}{p^2}$. $p = 2ab$ से,$p^2 = 4a^2 b^2$,इसलिए $a^2 b^2 = \frac{p^2}{4}$. इस मान को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{p^2}{p^2/4} = 4 = \frac{k}{p^2} \cdot p^2 = k$. अतः,$k = 4$.

यदि सरल रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ वक्र $(\frac{x}{a})^n + (\frac{y}{b})^n = 2$ को उसके बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श करती है और $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{k}{p^2}$ है,तो $k =$

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