AP EAMCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 14x - 10y - 151 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें $(x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 225$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $C = (7, 5)$ और त्रिज्या $r = 15$ है।
माना $P = (2, -7)$ है। बिंदु $P$ से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ है।
चूंकि $d < r$ है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के अंदर स्थित है।
सबसे छोटी दूरी $r - d = 15 - 13 = 2$ है।
सबसे बड़ी दूरी $r + d = 15 + 13 = 28$ है।
अतः,सबसे बड़ी और सबसे छोटी दूरी का अनुपात $28 : 2 = 14 : 1$ है।

(C) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10 = 0$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10 = 0$ हैं।
रेडिकल अक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10) - (x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10) = 0$।
यह $x - y = 0$ या $y = x$ में सरल हो जाता है।
रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(x_0, y_0)$ का प्रतिबिंब $(y_0, x_0)$ होता है।
अतः,रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(3, 4)$ का प्रतिबिंब $(4, 3)$ है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
मानक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -2$,$f = -1$,और $c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C = (-g, -f) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना बिंदु $P = (10, 7)$ है। बिंदु $P$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
चूंकि दूरी $d = 10$ त्रिज्या $r = 5$ से अधिक है,इसलिए बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।
वृत्त से बिंदु की न्यूनतम दूरी $d - r = 10 - 5 = 5$ इकाई है।

(B) माना बिंदु $(x, y)$ है।
केंद्र $(-3, 0)$ से कम से कम $2$ इकाई की दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह उस वृत्त पर या उसके बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} \geq 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 3)^2 + y^2 \geq 2^2$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $x^2 + 6x + 9 + y^2 \geq 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 + 6x + 5 \geq 0$.

(D) माना दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-13=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+x-2y-14=0$ हैं।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ के वृत्त $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के अंदर स्थित होने के लिए,$S(x_1, y_1) < 0$ होना चाहिए।
पहले वृत्त के लिए $S_1(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 - 13 < 0$
$4 + \lambda^2 - 13 < 0$
$\lambda^2 - 9 < 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 3) < 0$
$-3 < \lambda < 3$ ...$(i)$
दूसरे वृत्त के लिए $S_2(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$4 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$\lambda^2 - 2\lambda - 8 < 0$
$(\lambda - 4)(\lambda + 2) < 0$
$-2 < \lambda < 4$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda \in (-2, 3)$.

(A) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(x_i, \frac{1}{x_i})$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $x_i^2 + (\frac{1}{x_i})^2 + 2gx_i + 2f(\frac{1}{x_i}) + c = 0$।
$x_i^2$ से गुणा करने पर,हमें चतुर्थ घात का समीकरण प्राप्त होता है:
$x_i^4 + 2gx_i^3 + cx_i^2 + 2fx_i + 1 = 0$।
इस समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,चतुर्थ घात समीकरण $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{e}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $e = 1$ है।
अतः,$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{1}{1} = 1$।

(D) वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r_1=2$ है। रेखा $2x-2y-3=0$ पर केंद्र $(0,0)$ से लंबवत दूरी $p_1 = \frac{|2(0)-2(0)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{8}}$ है।
अंतःखंड की लंबाई $d_1 = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{4-\frac{9}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-10x-14y+65=0$ के लिए,केंद्र $(5,7)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{5^2+7^2-65} = \sqrt{25+49-65} = \sqrt{9} = 3$ है।
रेखा $2x-2y-3=0$ पर केंद्र $(5,7)$ से लंबवत दूरी $p_2 = \frac{|2(5)-2(7)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{|10-14-3|}{\sqrt{8}} = \frac{7}{\sqrt{8}}$ है।
अतः,$d_2 = 2\sqrt{r_2^2-p_2^2} = 2\sqrt{9-\frac{49}{8}} = 2\sqrt{\frac{72-49}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ है।
इस प्रकार,$d_1=d_2$ है।

(A) रेखा वृत्त $x^2+y^2-4y-6=0$ के अभिलंब है,इसलिए यह इसके केंद्र $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
माना रेखा की ढाल $m$ है। रेखा का समीकरण $y-2=m(x-0)$ अर्थात $mx-y+2=0$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2-2x-3=0$ को स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र $(1, 0)$ से रेखा $mx-y+2=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $2$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(1)-0+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} = 2$
$|m+2| = 2\sqrt{m^2+1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(m+2)^2 = 4(m^2+1)$
$m^2+4m+4 = 4m^2+4$
$3m^2-4m = 0$
$m(3m-4) = 0$
अतः,$m=0$ या $m=\frac{4}{3}$ है।
यदि $m=0$ है,तो रेखा $y=2$ प्राप्त होती है।
यदि $m=\frac{4}{3}$ है,तो रेखा $4x-3y+6=0$ प्राप्त होती है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (3, -4)$ और त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
केंद्र $(3, -4)$ से रेखा $3x + 4y - 25 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(3) + 4(-4) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{32}{5}$ है।
रेखा से वृत्त की न्यूनतम दूरी $d - r = \frac{32}{5} - 5 = \frac{7}{5}$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = r^2$ होता है।
यहाँ $r^2 = 1$ है,इसलिए स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + y y_1 = 1$ है।
हमें दिया गया है कि रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ वृत्त की स्पर्श रेखा है।
इसकी तुलना $x x_1 + y y_1 = 1$ से करने पर,हमें $x_1 = \frac{1}{a}$ और $y_1 = \frac{1}{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x_1, y_1)$ स्पर्श बिंदु है,इसलिए यह वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित होगा।
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)$ वृत्त पर स्थित है।

(C) वृत्त का समीकरण $S: x^2+y^2+6x+6y-2=0$ है।
बिंदु $Q$,$Y$-अक्ष पर स्थित है और रेखा $5x-2y+6=0$ पर भी स्थित है।
रेखा के समीकरण में $x=0$ रखने पर: $5(0)-2y+6=0$ $\Rightarrow -2y=-6$ $\Rightarrow y=3$।
अतः,$Q$ के निर्देशांक $(0, 3)$ हैं।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ होती है।
वृत्त के समीकरण $S(x, y) = x^2+y^2+6x+6y-2$ में $Q(0, 3)$ रखने पर:
$S_1 = 0^2 + 3^2 + 6(0) + 6(3) - 2 = 0 + 9 + 0 + 18 - 2 = 25$।
इसलिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{25} = 5$।

(A) केंद्र $C(1, 2)$ और बिंदु $P(16, 7)$ के बीच की दूरी $PC = \sqrt{(16-1)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{250}$ है।
चतुर्भुज $PACB$ का क्षेत्रफल $AP \times r = 75$ है।
माना $AP = x$,तो $x = \frac{75}{r}$।
त्रिभुज $\triangle PAC$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$x^2 + r^2 = PC^2 \Rightarrow (\frac{75}{r})^2 + r^2 = 250$
$r^4 - 250r^2 + 5625 = 0$
$(r^2 - 225)(r^2 - 25) = 0$
अतः $r^2 = 225$ या $r^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$r = 15$ या $r = 5$ है। विकल्प के अनुसार सही उत्तर $5$ है।

(D) माना $(h, k)$ वृत्त का केंद्र है।
चूंकि वृत्त $(0,2)$ पर $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r = |h|$ और केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 2$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-2)^2 = h^2$ है।
यह $(-1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$(-1-h)^2 + (0-2)^2 = h^2$
$1 + 2h + h^2 + 4 = h^2$
$2h = -5 \Rightarrow h = -\frac{5}{2}$.
वृत्त का समीकरण $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2$ है।
विकल्प $(d)$ $(-4, 0)$ की जाँच करने पर:
$\left(-4 + \frac{5}{2}\right)^2 + (0-2)^2 = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 4 = \frac{9}{4} + 4 = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2$.
अतः,वृत्त $(-4, 0)$ से होकर गुजरता है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-g, -f) = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PA$ और $PB$ बिंदु $P(1, 8)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं हैं,इसलिए $\angle PAC$ और $\angle PBC$ का मान $90^{\circ}$ है।
अतः,बिंदु $P, A, C$ और $B$ एक ऐसे वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $PC$ है।
$P, A$ और $B$ से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र व्यास $PC$ का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{8+2}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{10}{2}\right) = (2, 5)$.

(B) चूंकि $(\alpha, \beta)$ रेखा $3x - 4y = 1$ पर स्थित है,इसलिए $3\alpha - 4\beta = 1$,जिसका अर्थ है $\beta = \frac{3\alpha - 1}{4}$।
चूंकि $(\alpha, \beta)$ वृत्त $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$ पर भी स्थित है,हम $\beta$ का मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha - 1}{4} + 2)^2 = 4$
$(\alpha - 1)^2 + (\frac{3\alpha + 7}{4})^2 = 4$
$16(\alpha - 1)^2 + (3\alpha + 7)^2 = 64$
$16(\alpha^2 - 2\alpha + 1) + (9\alpha^2 + 42\alpha + 49) = 64$
$16\alpha^2 - 32\alpha + 16 + 9\alpha^2 + 42\alpha + 49 = 64$
$25\alpha^2 + 10\alpha + 1 = 0$
$(5\alpha + 1)^2 = 0$
$\alpha = -\frac{1}{5}$।
$\alpha$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर: $\beta = \frac{3(-\frac{1}{5}) - 1}{4} = \frac{-\frac{3}{5} - 1}{4} = \frac{-\frac{8}{5}}{4} = -\frac{2}{5}$।
अतः,$(\alpha, \beta) = (-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5})$।

(A) रेखा $y=mx+1$ के लंबवत रेखा का समीकरण $x+my+k=0$ के रूप में होता है,या $y=-\frac{1}{m}x+c$।
वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के लिए,रेखा $y=m_1x+c$ के स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2=r^2(1+m_1^2)$ है।
यहाँ,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{m}$ और $r=1$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $c^2 = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{m})^2) = 1 + \frac{1}{m^2} = \frac{m^2+1}{m^2}$।
अतः,$c = \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = -\frac{1}{m}x \pm \frac{\sqrt{m^2+1}}{m}$ है।
$m$ से गुणा करने पर,हमें $my = -x \pm \sqrt{m^2+1}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x+my \pm \sqrt{1+m^2}=0$ मिलता है।

(B) स्पर्श रेखा की ढाल $m = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ होता है।
यहाँ,त्रिज्या $a = \sqrt{9} = 3$ है।
मान रखने पर,$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}$ प्राप्त होता है।
$y = \sqrt{3}x \pm 3\sqrt{1+3}$
$y = \sqrt{3}x \pm 3(2)$
$y = \sqrt{3}x \pm 6$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{3}x - y \pm 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त का समीकरण $(x+\lambda)^2+(y+1)^2=\lambda^2$ है।
यहाँ,केंद्र $C$ $(-\lambda, -1)$ है और त्रिज्या $r$ $|\lambda|$ है।
मान लीजिए $O$ मूलबिंदु $(0,0)$ है और $P$ $O$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,इसलिए कोण $\angle COP = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = 45^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OCP$ में,$\tan(\angle COP) = \frac{CP}{OP} = \frac{r}{OP}$ है।
चूंकि $\angle COP = 45^{\circ}$ है,$\tan(45^{\circ}) = 1$,इसलिए $OP = CP = |\lambda|$ है।
साथ ही,दूरी $OC = \sqrt{(-\lambda-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{\lambda^2+1}$ है।
$\triangle OCP$ में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$OC^2 = OP^2 + CP^2$ है।
मान रखने पर,$(\sqrt{\lambda^2+1})^2 = |\lambda|^2 + |\lambda|^2$ प्राप्त होता है।
$\lambda^2 + 1 = 2\lambda^2$ है।
अतः,$\lambda^2 = 1$ है।

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(\alpha, 1)$ रेखा $y=1$ पर स्थित है। मान लीजिए जीवा $PQ$ है और इसका मध्य बिंदु $x$-अक्ष पर $M(h, 0)$ है।
वृत्त $x^2+y^2-\alpha x-y=0$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ है।
यहाँ,$T = xh + yk - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}(y+k)$ और $S_1 = h^2+k^2-\alpha h-k$ है।
चूंकि मध्य बिंदु $(h, 0)$ है,इसलिए $T = xh - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}y$ और $S_1 = h^2-\alpha h$ है।
अतः,$xh - \frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha}{2}h - \frac{1}{2}y = h^2-\alpha h$ है।
चूंकि यह जीवा $P(\alpha, 1)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=1$ रखने पर:
$\alpha h - \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha h}{2} - \frac{1}{2} = h^2 - \alpha h$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर: $2\alpha h - \alpha^2 - \alpha h - 1 = 2h^2 - 2\alpha h$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2h^2 - 3\alpha h + \alpha^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
दो अलग-अलग जीवाओं के अस्तित्व के लिए,$h$ में द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर $D > 0$:
$(-3\alpha)^2 - 4(2)(\alpha^2+1) > 0$ है।
$9\alpha^2 - 8\alpha^2 - 8 > 0$ है।
$\alpha^2 - 8 > 0 \Rightarrow \alpha^2 > 8$ प्राप्त होता है।

(A) माना $(0,0)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ है ...$(i)$।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2+6x-15=0$ ...$(ii)$ और $x^2+y^2-8y-10=0$ ...$(iii)$ हैं।
चूंकि वृत्त $(i)$ वृत्त $(ii)$ को लंबकोणीय काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हुए:
$2(g)(3) + 2(f)(0) = 0 + (-15)$ $\Rightarrow 6g = -15$ $\Rightarrow g = -\frac{5}{2}$।
चूंकि वृत्त $(i)$ वृत्त $(iii)$ को लंबकोणीय काटता है:
$2(g)(0) + 2(f)(-4) = 0 + (-10)$ $\Rightarrow -8f = -10$ $\Rightarrow f = \frac{5}{4}$।
$g$ और $f$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x^2+y^2+2(-\frac{5}{2})x+2(\frac{5}{4})y = 0$।
$x^2+y^2-5x+\frac{5}{2}y = 0$।
$2$ से गुणा करने पर,$2(x^2+y^2)-10x+5y=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्त $(x-1)^2+(y-1)^2=1$,$(x+1)^2+(y-1)^2=1$,$(x-1)^2+(y+1)^2=1$,और $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ हैं। इन वृत्तों की त्रिज्या $1$ है और केंद्र $(\pm 1, \pm 1)$ पर हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ से केंद्रों की दूरी $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
सबसे छोटा वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित है और इन चार वृत्तों को स्पर्श करता है। इसकी त्रिज्या $r$,मूल बिंदु से दिए गए वृत्तों के केंद्र तक की दूरी में से उन वृत्तों की त्रिज्या घटाने पर प्राप्त होती है: $r = \sqrt{2} - 1$.
सबसे बड़ा वृत्त मूल बिंदु पर केंद्रित है और इन चार वृत्तों को घेरता है। इसकी त्रिज्या $R$,मूल बिंदु से दिए गए वृत्तों के केंद्र तक की दूरी में उन वृत्तों की त्रिज्या जोड़ने पर प्राप्त होती है: $R = \sqrt{2} + 1$.
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{\pi R^2}{\pi r^2} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)^2} = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2+1-2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$ है।

(B) मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ दो वृत्तों के केंद्र हैं। चूंकि $BP$ और $BQ$ व्यास हैं,$C_1$,$BP$ का मध्यबिंदु है और $C_2$,$BQ$ का मध्यबिंदु है।
$\triangle BPQ$ में,$C_1$ और $C_2$ क्रमशः भुजाओं $BP$ और $BQ$ के मध्यबिंदु हैं। मध्यबिंदु प्रमेय के अनुसार,$PQ \parallel C_1C_2$ है।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $C_1C_2$ रेडिकल अक्ष $AB$ के लंबवत होती है।
इसलिए,$PQ$ रेडिकल अक्ष $AB$ के लंबवत है।
यदि रेडिकल अक्ष की ढाल $m_1 = 3/4$ है और $PQ$ की ढाल $m_2 = a/b$ है,तो $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$\frac{3}{4} \times \frac{a}{b} = -1$
$\frac{3a}{4b} = -1$
$3a = -4b$
$3a + 4b = 0$.

(A) माना अभीष्ट वृत्त $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2g_i x+2f_i y+c_i=0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2gg_i+2ff_i=c+c_i$ है।
दिए गए वृत्त:
$S_1: x^2+y^2-4=0 \Rightarrow g_1=0, f_1=0, c_1=-4$
$S_2: x^2+y^2-2x-3=0 \Rightarrow g_2=-1, f_2=0, c_2=-3$
$S_3: x^2+y^2-2y-3=0 \Rightarrow g_3=0, f_3=-1, c_3=-3$
शर्त लागू करने पर:
$1$) $S_1$ के लिए: $2g(0)+2f(0)=c-4 \Rightarrow c=4$.
$2$) $S_2$ के लिए: $2g(-1)+2f(0)=c-3$ $\Rightarrow -2g=4-3=1$ $\Rightarrow g=-1/2$.
$3$) $S_3$ के लिए: $2g(0)+2f(-1)=c-3$ $\Rightarrow -2f=4-3=1$ $\Rightarrow f=-1/2$.
अब,वृत्त $S$ की त्रिज्या $r$ की जाँच करने पर:
$r^2 = g^2+f^2-c = (-1/2)^2+(-1/2)^2-4 = 1/4+1/4-4 = 1/2-4 = -7/2$.
चूँकि $r^2 < 0$,कोई वास्तविक वृत्त संभव नहीं है।
अतः,ऐसे वृत्तों की संख्या $0$ है।

(C) दी गई समांतर स्पर्श रेखाएँ: $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
तुलना करने के लिए,पहले समीकरण को $6x - 8y + 8 = 0$ के रूप में लिखें।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त का व्यास $d$ है:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{10} = 1.5$।
त्रिज्या $r = 0.75$ है।
केंद्रों का बिंदुपथ दी गई रेखाओं के समांतर एक रेखा है।
गणना करने पर,बिंदुपथ $12x - 16y + 15 = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।

(A) माना $P(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ के सापेक्ष ध्रुव है।
ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $x x_1 + y y_1 = c^2$ है।
इसे $\frac{x x_1}{c^2} + \frac{y y_1}{c^2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस समीकरण की तुलना दी गई रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x_1}{c^2} = \frac{1}{a} \Rightarrow x_1 = \frac{c^2}{a}$
$\frac{y_1}{c^2} = \frac{1}{b} \Rightarrow y_1 = \frac{c^2}{b}$
अतः,ध्रुव $\left(\frac{c^2}{a}, \frac{c^2}{b}\right)$ है।

(A) माना वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2-1=0$ ...$(i)$
$S_2: x^2+y^2-8x+15=0$ ...(ii)
$S_3: x^2+y^2+10y+24=0$ ...(iii)
$S_1$ और $S_2$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-8x+15) = 0$
$8x - 16 = 0 \Rightarrow x = 2$
$S_1$ और $S_3$ की रेडिकल अक्ष $S_1 - S_3 = 0$ द्वारा दी जाती है:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2+10y+24) = 0$
$-10y - 25 = 0$ $\Rightarrow 10y = -25$ $\Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
अतः,रेडिकल केंद्र $\left(2, -\frac{5}{2}\right)$ है।

(A) मान लीजिए वृत्तों के समीकरण इस प्रकार हैं:
$S_1: x^2+y^2+3x+2y+1=0$
$S_2: x^2+y^2-x+6y+5=0$
$S_3: x^2+y^2+5x-8y+15=0$
रेडिकल केंद्र वृत्तों के जोड़ों के रेडिकल अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
$S_1$ और $S_2$ का रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2+3x+2y+1) - (x^2+y^2-x+6y+5) = 0$
$4x - 4y - 4 = 0$ $\Rightarrow x - y - 1 = 0$ $\Rightarrow x = y + 1$ (समीकरण $1$)
$S_2$ और $S_3$ का रेडिकल अक्ष $S_2 - S_3 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-x+6y+5) - (x^2+y^2+5x-8y+15) = 0$
$-6x + 14y - 10 = 0 \Rightarrow 3x - 7y + 5 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से $x = y + 1$ का मान समीकरण $2$ में रखने पर:
$3(y + 1) - 7y + 5 = 0$
$3y + 3 - 7y + 5 = 0$
$-4y + 8 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ का मान $x = y + 1$ में रखने पर:
$x = 2 + 1 = 3$
अतः,रेडिकल केंद्र $(3,2)$ है।

(C) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।
प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2-6x+12y+15=0$ के लिए,$g=-3, f=6, c=15$ है।
$r_1 = \sqrt{(-3)^2+6^2-15} = \sqrt{9+36-15} = \sqrt{30}$।
द्वितीय वृत्त $C_2: x^2+y^2-6x+12y-15=0$ के लिए,$g=-3, f=6, c=-15$ है।
$r_2 = \sqrt{(-3)^2+6^2-(-15)} = \sqrt{9+36+15} = \sqrt{60}$।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,अनुपात $1:2$ है।

(D) मान लीजिए कि छड़ $x$-अक्ष को बिंदु $(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को बिंदु $(0, b)$ पर काटती है,और $(x, y)$ छड़ का मध्य बिंदु है।
तब,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ और $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$।
छड़ की लंबाई $r$ इकाई दी गई है,इसलिए $a^2 + b^2 = r^2$।
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2x)^2 + (2y)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2 + 4y^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = (\frac{r}{2})^2$।
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $R = \frac{r}{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
वक्र की लंबाई (वृत्त की परिधि) $2 \pi R = 2 \pi (\frac{r}{2}) = \pi r$ है।

(B) माना $x = \frac{8t}{1+t^2}$ और $y = \frac{4(1-t^2)}{1+t^2}$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = \frac{64t^2 + 16(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$
$x^2 + y^2 = \frac{16(4t^2 + (1-t^2)^2)}{(1+t^2)^2}$
चूंकि $(1-t^2)^2 + 4t^2 = (1+t^2)^2$ है,
$x^2 + y^2 = \frac{16(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 16$ प्राप्त होता है।
यह $4$ त्रिज्या वाला वृत्त $x^2 + y^2 = 4^2$ को दर्शाता है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta = 1$ है।
यह रेखा सभी $\theta$ के मानों के लिए वृत्त की स्पर्श रेखा है।
वृत्त के केंद्र $(h, k)$ से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
रेखा को $(x-2) \cos \theta + (y-2) \sin \theta - 1 = 0$ के रूप में लिखने पर,$(h, k)$ से दूरी $\frac{|(h-2) \cos \theta + (k-2) \sin \theta - 1|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = r$ होगी।
चूंकि यह सभी $\theta$ के लिए सत्य है,इसलिए $h-2 = 0$ और $k-2 = 0$ होना चाहिए,जिससे केंद्र $(2, 2)$ प्राप्त होता है।
तब,दूरी $|-1| = r$ हो जाती है,इसलिए $r = 1$।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 1^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0$।

(A) माना परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है।
यह $(0,4), (1,9)$ और $(4,5)$ से होकर गुजरता है।
$(0,4)$ को समीकरण में रखने पर: $4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 4$.
$(1,9)$ को समीकरण में रखने पर: $9 = a(1)^2 + b(1) + 4 \implies a + b = 5 \dots (1)$.
$(4,5)$ को समीकरण में रखने पर: $5 = a(4)^2 + b(4) + 4 \implies 16a + 4b = 1 \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को $4$ से गुणा करने पर: $4a + 4b = 20 \dots (3)$.
समीकरण $(2)$ से $(3)$ घटाने पर: $12a = -19 \implies a = -\frac{19}{12}$.
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $b = \frac{79}{12}$.
अतः समीकरण $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर: $19x^2 + 12y - 79x - 48 = 0$.

(B) विकल्प $(A)$ के लिए: $x=4 \cos t, y=4 \sin t$. वर्ग करके जोड़ने पर,$x^2+y^2=16(\cos^2 t + \sin^2 t) = 16$. यह एक वृत्त का समीकरण है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $x^2-2=-2 \cos t$ और $y=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
सर्वसमिका $\cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-1$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1+\cos t}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos t = 2y-1$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $x^2-2 = -2(2y-1) = -4y+2$.
अतः,$x^2 = -4y+4$,यानी $x^2 = -4(y-1)$. यह एक परवलय का समीकरण है।

(D) नाभि $(4, -3)$ पर है और शीर्ष $(4, -1)$ पर है।
चूंकि $x$-निर्देशांक समान हैं,परवलय का अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x=4$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे स्थित है,परवलय नीचे की ओर खुलता है।
शीर्ष $(4, -1)$ और नाभि $(4, -3)$ के बीच की दूरी $a = |-1 - (-3)| = 2$ है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ है।
$h=4, k=-1, a=2$ रखने पर:
$(x-4)^2 = -4(2)(y - (-1))$
$(x-4)^2 = -8(y+1)$
$x^2 - 8x + 16 = -8y - 8$
$x^2 - 8x + 8y + 24 = 0$.

(B) दिया गया परवलय का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{25}(3x-4y+7)^2$ है।
यहाँ नाभि $S = (2, 3)$ है और नियता का समीकरण $3x-4y+7=0$ है।
नाभि से नियता की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(2)-4(3)+7|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+7|}{5} = \frac{1}{5}$ है।
परवलय के लिए नाभिलंब की लंबाई $2d$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=t^2+t+1$ और $y=t^2-t+1$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x-y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x-y}{2}$.
$t$ का मान योग समीकरण में रखने पर: $x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2+1\right)$.
$x+y = 2\left(\frac{(x-y)^2}{4}+1\right) = \frac{(x-y)^2}{2}+2$.
$2$ से गुणा करने पर: $2(x+y) = (x-y)^2+4$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-y)^2 = 2(x+y-2)$.
यह $Y^2 = 4aX$ के रूप में है,जहाँ $Y = x-y$,$X = x+y-2$,और $4a = 2$.
अतः नाभिलंब की लंबाई $4a = 2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2-6x+4y+\lambda=0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-3)^2-9+4y+\lambda=0$,जो $(x-3)^2 = -4(y - \frac{9-\lambda}{4})$ में सरल होता है।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ से तुलना करने पर,$h=3$,$k=\frac{9-\lambda}{4}$,और $a=1$ प्राप्त होता है।
इस परवलय की नियता $y = k+a$ है।
चूंकि नियता $y+1=0$ अर्थात $y=-1$ दी गई है,इसलिए $k+a = -1$ रखने पर।
$k$ और $a$ का मान रखने पर: $\frac{9-\lambda}{4} + 1 = -1$.
$\frac{9-\lambda}{4} = -2 \implies 9-\lambda = -8 \implies \lambda = 17$.
नाभि $(h, k-a) = (3, -2-1) = (3, -3)$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2+8x+12y+4=0$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2+8x = -12y-4$
$(x+4)^2 - 16 = -12y-4$
$(x+4)^2 = -12y+12$
$(x+4)^2 = -12(y-1)$।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = -12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -3$।
शीर्ष $(h, k) = (-4, 1)$ है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $y = k - a$ होता है।
मान रखने पर: $y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$।
अतः,नियता का समीकरण $y-4=0$ है।

(D) परवलय की नाभि $(0, -a) = (0, -3)$ है,जिसका अर्थ है $a = 3$ है।
नियता $y = a = 3$ है।
चूंकि नाभि $y$-अक्ष पर स्थित है और मूलबिंदु के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
ऐसे परवलय का मानक समीकरण $x^2 = -4ay$ होता है।
समीकरण में $a = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 = -4 \times 3y$
$x^2 = -12y$

(C) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,$y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
बिंदु $(6, 4 \sqrt{3})$ और नाभि $(2, 0)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 \sqrt{3} - 0)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (4 \sqrt{3})^2}$
$d = \sqrt{16 + 16 \times 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64}$
$d = 8$.

(C) शीर्ष पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x-y+1=0 \dots (i)$ है।
परवलय की नाभि $S(0,0)$ है।
नाभि से शीर्ष पर स्पर्शरेखा की लंबवत दूरी $a = \left|\frac{0-0+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नियता,शीर्ष पर स्पर्शरेखा के समानांतर होती है,इसलिए इसका समीकरण $x-y+c=0$ के रूप में होगा।
नाभि से नियता की लंबवत दूरी $2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$\left|\frac{0-0+c}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow |c| = 2$.
चूंकि नाभि $(0,0)$ और शीर्ष पर स्पर्शरेखा $x-y+1=0$ नियता के एक ही तरफ स्थित हैं,हम $c=2$ लेते हैं।
इसलिए,नियता का समीकरण $x-y+2=0$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
चूंकि वृत्त $(2,4)$ पर $y=x^2$ को स्पर्श करता है,इसलिए $(2,4)$ पर अभिलंब केंद्र $(h,k)$ से होकर गुजरेगा।
$y=x^2$ का अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2x$ है। $x=2$ पर ढाल $4$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{4}$ है।
$(2,4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-4 = -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow x+4y-18=0$ है।
अतः,$h+4k=18$ (समीकरण $1$)।
$(h,k)$ से $(2,4)$ की दूरी और $(h,k)$ से $(0,1)$ की दूरी समान है:
$(h-2)^2 + (k-4)^2 = (h-0)^2 + (k-1)^2$.
$-4h-6k+19=0 \Rightarrow 4h+6k=19$ (समीकरण $2$)।
$h+4k=18$ और $4h+6k=19$ को हल करने पर:
$k=\frac{53}{10}$ और $h=-\frac{16}{5}$।
केंद्र $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

(C) परवलय $y^2 = 4px$ के लिए अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2pm - pm^3$ होता है।
दिए गए अभिलंब समीकरण $ax + by = 1$ को $y = -\frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, $m = -\frac{a}{b}$ और $-2pm - pm^3 = \frac{1}{b}$ प्राप्त होता है।
$m = -\frac{a}{b}$ का मान रखने पर:
$-2p(-\frac{a}{b}) - p(-\frac{a}{b})^3 = \frac{1}{b}$
$\frac{2pa}{b} + \frac{pa^3}{b^3} = \frac{1}{b}$
दोनों पक्षों को $b^3$ से गुणा करने पर, $2pab^2 + pa^3 = b^2$ प्राप्त होता है, जिसे $pa^3 = b^2 - 2pab^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दी गई असमिका: ${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 > { }^n C_3$
पास्कल सर्वसमिका ${ }^n C_{r-1} + { }^n C_r = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर:
${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 = { }^n C_4$
इस मान को असमिका में रखने पर:
${ }^n C_4 > { }^n C_3$
सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4!(n-4)!} > \frac{1}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4 \times 3! \times (n-4)!} > \frac{1}{3! \times (n-3) \times (n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n - 3 > 4$
$n > 7$
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $8$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$10 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$
$10 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 3 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$
$5n(n-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{2}$
चूंकि $n > 2$,दोनों पक्षों को $n(n-1)$ से विभाजित करने पर:
$5 = \frac{n+1}{2}$
$10 = n + 1$
$n = 9$

(A) दिया गया है $\frac{{ }^{2n}C_3}{{ }^{n}C_3} = \frac{12}{1}$.
सूत्र ${ }^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4n(2n-1)}{n(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 12$
$\Rightarrow 2n-1 = 3(n-2)$
$\Rightarrow 2n-1 = 3n-6$
$\Rightarrow n = 5$.

(B) हम गुणधर्म ${ }^n C_r={ }^n C_{n-r}$ का उपयोग करते हैं।
${ }^9 C_5={ }^9 C_{9-5}={ }^9 C_4$.
अब,व्यंजक ${ }^9 C_3+{ }^9 C_4$ हो जाता है।
पास्कल के सर्वसमिका ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${ }^9 C_4+{ }^9 C_3={ }^{10} C_4$.
इसकी तुलना ${ }^{10} C_r$ से करने पर,हमें $r=4$ प्राप्त होता है।

(B) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$.
दी गई अभिव्यक्ति ${}^{34}C_5 + \sum_{i=0}^4 {}^{38-i}C_4 = {}^{34}C_5 + {}^{38}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{35}C_4 + {}^{34}C_4$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $({}^{34}C_5 + {}^{34}C_4) + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका ${}^{34}C_5 + {}^{34}C_4 = {}^{35}C_5$ लागू करने पर,अभिव्यक्ति ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ हो जाती है।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर: ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 = {}^{36}C_5$,फिर ${}^{36}C_5 + {}^{36}C_4 = {}^{37}C_5$,फिर ${}^{37}C_5 + {}^{37}C_4 = {}^{38}C_5$,और अंत में ${}^{38}C_5 + {}^{38}C_4 = {}^{39}C_5$ प्राप्त होता है।

(C) हम सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है: ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$.
हम जानते हैं कि ${ }^n C_r = { }^{n-1} C_r + { }^{n-1} C_{r-1} = ({ }^{n-2} C_r + { }^{n-2} C_{r-1}) + ({ }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}) = { }^{n-2} C_r + 2 \cdot { }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}$.
आगे विस्तार करने पर: ${ }^{n-2} C_r + 2({ }^{n-3} C_{r-1} + { }^{n-3} C_{r-2}) + ({ }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}) = { }^{n-3} C_r + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर,हमें $B = 3$ और $B^{\prime} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(B, B^{\prime}) = (3, 3)$.

(C) दिया गया $k$-वां पद $t_k = k \times k!$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$t_k = (k+1-1) \times k!$
$t_k = (k+1) \times k! - k!$
$t_k = (k+1)! - k!$
अब,$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$S_n = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!)$
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = (2! - 1!) + (3! - 2!) + (4! - 3!) + \dots + ((n+1)! - n!)$
$S_n = (n+1)! - 1!$
$S_n = (n+1)! - 1$

(C) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ है।
दोनों पक्षों में समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int P dx}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y P(x) e^{\int P dx} = Q(x) e^{\int P dx}$.
हम जानते हैं कि $y$ और समाकलन गुणक के गुणनफल का अवकलन होता है:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y \frac{d}{dx}(e^{\int P dx})$.
चूंकि $\frac{d}{dx}(e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} P(x)$,इसलिए व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{d}{dx}(y e^{\int P dx}) = e^{\int P dx} \frac{dy}{dx} + y e^{\int P dx} P(x)$.
इसे दिए गए रूप $\frac{d}{dx}(y f(x))$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $f(x) = e^{\int P dx}$।

(C) दिए गए प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dz}{dx}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को दिए गए अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ में रखने पर,हमें $\frac{dz}{dx}-z=0$ प्राप्त होता है।
यह प्रथम कोटि का पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dz}{dx}=z$।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dz}{z}=dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dz}{z} = \int dx$,जिसका परिणाम $\log_{e}|z|=x+C_1$ है।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $|z|=e^{x+C_1} = e^{C_1} \cdot e^{x}$ प्राप्त होता है।
माना $A = \pm e^{C_1}$,अतः हमें हल $z=Ae^{x}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ है।
दोनों पक्षों को $(x^2+1)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{x}{x^2+1} y = \frac{x^3}{x^2+1}$.
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{x}{x^2+1}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P dx}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{x}{x^2+1} dx}$.
माना $u = x^2+1$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{1}{2} du$.
$IF = e^{\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du} = e^{\frac{1}{2} \ln(x^2+1)} = e^{\ln((x^2+1)^{1/2})} = \sqrt{x^2+1}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(1+y^2) dx - xy dy = 0$ है,जहाँ $y(1)=0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(1+y^2) dx = xy dy$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1+y^2}$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1+y^2}$।
माना $t = 1+y^2$,तब $dt = 2y dy$,अर्थात $y dy = \frac{1}{2} dt$।
अतः,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln|1+y^2| + C_1 = \ln|\sqrt{1+y^2}| + C_1$।
इसका अर्थ है $x = c\sqrt{1+y^2}$।
शर्त $y(1)=0$ का उपयोग करते हुए,$x=1$ और $y=0$ रखने पर: $1 = c\sqrt{1+0^2} \implies c=1$।
अतः,$x = \sqrt{1+y^2}$,जिसका वर्ग करने पर $x^2 = 1+y^2$ या $x^2 - y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) का समीकरण है जहाँ $a^2=1$ और $b^2=1$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e$ का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{1}{1}} = \sqrt{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $x dy - y dx = y dy$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x dy - y dy = y dx$
$\Rightarrow (x - y) dy = y dx$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x - y}$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। माना $y = vx$,तब $dy = v dx + x dv$.
$v dx + x dv = \frac{vx}{x - vx} dx = \frac{v}{1 - v} dx$
$x dv = (\frac{v}{1 - v} - v) dx = \frac{v^2}{1 - v} dx$
$\frac{1 - v}{v^2} dv = \frac{dx}{x}$
$\int (v^{-2} - v^{-1}) dv = \int \frac{dx}{x}$
$-v^{-1} - \ln|v| = \ln|x| + C$
$-\frac{1}{v} = \ln|vx| + C$
$v = \frac{y}{x}$ और $vx = y$ रखने पर:
$-\frac{x}{y} = \ln|y| + C$
$\ln|y| = -\frac{x}{y} - C$
$y = A e^{-x/y}$ जहाँ $A = e^{-C}$.

(D) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $y \frac{dy}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $y \frac{dy}{dx} = x - 1$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int (x - 1) \, dx$
$\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} - x + C$
$y^2 = x^2 - 2x + 2C$.
चूंकि वक्र $(1, 2)$ से गुजरता है,हम $x = 1$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2^2 = 1^2 - 2(1) + 2C$
$4 = 1 - 2 + 2C$
$4 = -1 + 2C \implies 2C = 5$.
समीकरण में $2C = 5$ रखने पर:
$y^2 = x^2 - 2x + 5$
$y^2 - (x^2 - 2x + 1) = 4$
$y^2 - (x - 1)^2 = 4$
$4$ से विभाजित करने पर:
$\frac{y^2}{4} - \frac{(x - 1)^2}{4} = 1$.
यह एक अतिपरवलय (hyperbola) है जिसका केंद्र $(1, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{y^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$ के शीर्ष $(h, k \pm a)$ होते हैं।
यहाँ $h = 1, k = 0, a = 2$ है।
अतः शीर्ष $(1, 0 \pm 2)$ अर्थात $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
विकल्पों की तुलना करने पर,$(1, 2)$ एक शीर्ष है।

(C) माना पहले वक्र की ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = \frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}$ है।
माना दूसरे वक्र की ढाल $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}$ है।
अब,ढालों का गुणनफल ज्ञात करें: $m_1 \times m_2 = \left(\frac{x \log x}{y^3 e^{y^2-5}}\right) \times \left(-\frac{y^3 e^{y^2-5}}{x \log x}\right) = -1$.
चूंकि ढालों का गुणनफल $-1$ है,वक्र लंबकोणीय हैं,जिसका अर्थ है कि प्रतिच्छेदन कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।
अंत में,$4\theta - \frac{\pi}{2} = 4\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}| = k$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $y \frac{dy}{dx} = \pm k$।
चरों को अलग करने पर,हमें $y \, dy = \pm k \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int y \, dy = \int \pm k \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = \pm 2kx + 2C$ प्राप्त होता है।
माना $A = 2C$,तो हमें $y^2 - A = \pm 2kx$ प्राप्त होता है।
अतः,वक्रों के कुल का समीकरण $y^2 - A = 2Kx$ है (धनात्मक अचर रूप को ध्यान में रखते हुए)।

(B) $\triangle ABC$ में,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b} \dots (i)$
$\triangle ADC$ में,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$. दिया गया है $\overrightarrow{DA} = \vec{a} - \vec{b}$,इसलिए $\overrightarrow{AD} = -(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$.
अतः,$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{a}$.
$M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{\vec{b}}{2}$.
$\triangle BDM$ में,$\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BD}$. चूँकि $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{b} - 2\vec{a}$,इसलिए $\overrightarrow{DM} = \frac{\vec{b}}{2} - (\vec{b} - 2\vec{a}) = 2\vec{a} - \frac{\vec{b}}{2} = \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2}$.
दिया गया है $\overrightarrow{DX} = \frac{4}{5}\overrightarrow{DM} = \frac{4}{5} \left( \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2} \right) = \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5}$.
अब,$\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DX} = (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{5\vec{b} - 5\vec{a} + 8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{3}{5}(\vec{a} + \vec{b})$.
चूँकि $\overrightarrow{AX} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$,इसलिए सदिश $\overrightarrow{AX}$ और $\overrightarrow{AC}$ समांतर हैं और एक उभयनिष्ठ बिंदु $A$ साझा करते हैं।
अतः,बिंदु $A, X$ और $C$ संरेख हैं।

(A) मान लीजिए शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं। सेक्शन फॉर्मूला का उपयोग करके,$D, E, F$ के स्थिति सदिश हैं:
$\vec{d} = \frac{3\vec{b} + 2\vec{c}}{5}$,$\vec{e} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{a}}{3}$,$\vec{f} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{b}}{4}$.
$AD$ पर किसी भी बिंदु $P$ को $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{d} = (1-t)\vec{a} + \frac{3t}{5}\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $P$,$BE$ पर भी स्थित है,$\vec{p} = (1-m)\vec{b} + m\vec{e} = \frac{m}{3}\vec{a} + (1-m)\vec{b} + \frac{2m}{3}\vec{c}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1-t = \frac{m}{3}$,$\frac{3t}{5} = 1-m$,$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$.
$\frac{2t}{5} = \frac{2m}{3}$ से,हमें $3t = 5m$ मिलता है,इसलिए $m = \frac{3t}{5}$.
$1-t = \frac{m}{3}$ में प्रतिस्थापित करने पर,$1-t = \frac{t}{5}$ मिलता है,इसलिए $t = \frac{5}{6}$.
तब $m = \frac{1}{2}$.
$\vec{p}$ के व्यंजक में $t = \frac{5}{6}$ रखने पर:
$\vec{p} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$.
अब,$\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a}) + \frac{1}{3}(\vec{c}-\vec{a}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
इस प्रकार,$x_1 = \frac{1}{2}$ और $y_1 = \frac{1}{3}$.
अतः,$x_1 + y_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$.

(C) दिया गया है कि $P$ और $Q$ वक्र $y = 2^{x+2}$ पर स्थित हैं।
बिंदु $P$ के लिए,$\overline{OP} \cdot \hat{i} = -1$,जिसका अर्थ है कि $P$ का $x$-निर्देशांक $x_P = -1$ है।
वक्र के समीकरण में $x_P = -1$ रखने पर: $y_P = 2^{-1+2} = 2^1 = 2$.
अतः,$P = (-1, 2)$ और $\overline{OP} = -\hat{i} + 2\hat{j}$.
बिंदु $Q$ के लिए,$\overline{OQ} \cdot \hat{i} = 2$,जिसका अर्थ है कि $Q$ का $x$-निर्देशांक $x_Q = 2$ है।
वक्र के समीकरण में $x_Q = 2$ रखने पर: $y_Q = 2^{2+2} = 2^4 = 16$.
अतः,$Q = (2, 16)$ और $\overline{OQ} = 2\hat{i} + 16\hat{j}$.
अब,$\overline{OQ} - 4\overline{OP}$ की गणना करें:
$\overline{OQ} - 4\overline{OP} = (2\hat{i} + 16\hat{j}) - 4(-\hat{i} + 2\hat{j})$
$= 2\hat{i} + 16\hat{j} + 4\hat{i} - 8\hat{j}$
$= (2+4)\hat{i} + (16-8)\hat{j}$
$= 6\hat{i} + 8\hat{j}$.

(B) दिया गया समीकरण: $a+3 b+4 c=x(a-2 b+3 c)+y(a+5 b-2 c)+z(6 a+14 b+4 c)$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर: $a+3 b+4 c=a(x+y+6 z)+b(-2 x+5 y+14 z)+c(3 x-2 y+4 z)$.
चूंकि $a, b, c$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए दोनों पक्षों के गुणांक समान होने चाहिए।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$x+y+6 z=1$ ...$(i)$
$-2 x+5 y+14 z=3$ ...(ii)
$3 x-2 y+4 z=4$ ...(iii)
इन समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 1 - y - 6z$.
(ii) में मान रखने पर: $-2(1-y-6z) + 5y + 14z = 3 \implies -2 + 2y + 12z + 5y + 14z = 3 \implies 7y + 26z = 5$ ...(iv).
(iii) में मान रखने पर: $3(1-y-6z) - 2y + 4z = 4 \implies 3 - 3y - 18z - 2y + 4z = 4 \implies -5y - 14z = 1$ ...$(v)$.
(iv) और $(v)$ को हल करने पर: (iv) को $5$ से और $(v)$ को $7$ से गुणा करने पर: $35y + 130z = 25$ और $-35y - 98z = 7$.
जोड़ने पर: $32z = 32 \implies z = 1$.
$(v)$ में $z=1$ रखने पर: $-5y - 14(1) = 1 \implies -5y = 15 \implies y = -3$.
$(i)$ में $y=-3, z=1$ रखने पर: $x - 3 + 6(1) = 1 \implies x + 3 = 1 \implies x = -2$.
अतः,$x+y+z = -2 - 3 + 1 = -4$.

(B) मान लीजिए कि $a, 2a, 3a$ परिमाण वाले सदिश मूल बिंदु $O$ पर मिलने वाले घन के तीन आसन्न फलकों के विकर्णों के अनुदिश हैं।
मान लीजिए कि घन के किनारे निर्देशांक अक्षों के अनुदिश हैं। तीन आसन्न फलकों के विकर्णों को $(\hat{i}+\hat{j})$,$(\hat{j}+\hat{k})$,और $(\hat{k}+\hat{i})$ दिशाओं के सदिशों के रूप में दर्शाया जा सकता है।
इन दिशाओं को सामान्यीकृत करने पर,सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{v_1} = a \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_2} = 2a \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_3} = 3a \frac{\hat{k}+\hat{i}}{\sqrt{2}}$.
परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$ है:
$\vec{R} = \frac{a}{\sqrt{2}} [(\hat{i}+\hat{j}) + 2(\hat{j}+\hat{k}) + 3(\hat{k}+\hat{i})] = \frac{a}{\sqrt{2}} (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k})$.
परिमाण $|\vec{R}|$ इस प्रकार है:
$|\vec{R}| = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{16 + 9 + 25} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{50} = \frac{a}{\sqrt{2}} (5\sqrt{2}) = 5a$.

(D) दिया गया है,$F=2 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$,$A=(1,2,5)$,और $B=(-1,-2,-3)$।
सबसे पहले,हम सदिश $BA = A - B$ ज्ञात करते हैं:
$BA = (1 - (-1)) \hat{i} + (2 - (-2)) \hat{j} + (5 - (-3)) \hat{k} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$।
अब,हम सदिश गुणनफल $BA \times F$ की गणना करते हैं:
$BA \times F = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 4 & 8 \\ 2 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(4 \times 5 - 8 \times 2) - \hat{j}(2 \times 5 - 8 \times 2) + \hat{k}(2 \times 2 - 4 \times 2)$
$= \hat{i}(20 - 16) - \hat{j}(10 - 16) + \hat{k}(4 - 8)$
$= 4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$।
इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $4 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \lambda \hat{k}$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \lambda = -4$।
अतः,$\lambda = -2$।

(D) माना $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
चूँकि $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ है।
$M, BC$ का मध्य बिंदु है,अतः $\vec{M} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$।
$N, CD$ का मध्य बिंदु है,अतः $\vec{N} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$।
अब,$\overline{AM} + \overline{AN} = \vec{M} + \vec{N} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$।
$= \frac{\vec{b} + \vec{d} + 2\vec{c}}{2}$।
$\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{\vec{c} + 2\vec{c}}{2} = \frac{3\vec{c}}{2} = \frac{3}{2} \overline{AC}$।

(D) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ संरेख होते हैं यदि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{a} = \lambda \vec{b}$ हो।
दिया गया है $\vec{a} = p\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + q\hat{j} - 3\hat{k}$।
घटकों की तुलना करने पर:
$p = \lambda(1) \implies p = \lambda$
$-2 = \lambda(q) \implies -2 = \lambda q$
$5 = \lambda(-3) \implies \lambda = -\frac{5}{3}$
$\lambda = -\frac{5}{3}$ का मान अन्य समीकरणों में रखने पर:
$p = -\frac{5}{3}$
$-2 = (-\frac{5}{3})q \implies q = -2 \times (-\frac{3}{5}) = \frac{6}{5}$
अतः,$p = -\frac{5}{3}$ और $q = \frac{6}{5}$।

(B) दिया गया है कि सदिश $a$ और $b$ संरेख हैं,इसलिए हम लिख सकते हैं $b = \lambda a$,जहाँ $\lambda$ एक अदिश है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $|b| = |\lambda| |a|$।
सबसे पहले,सदिश $a$ का मापांक ज्ञात करते हैं:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$।
दिया गया है कि $|b| = 21$,इसलिए मानों को समीकरण में रखने पर:
$21 = |\lambda| \times 7$।
$|\lambda| = \frac{21}{7} = 3$।
अतः,$\lambda = \pm 3$।
अब $\lambda$ का मान $b$ के समीकरण में रखने पर:
$b = \pm 3(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}) = \pm(6\hat{i} + 9\hat{j} + 18\hat{k})$।

(B) मान लीजिए कि $A, B, C,$ और $D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ और $\vec{d}$ हैं।
दिया गया है $\vec{BC} = \lambda \vec{AD}$,इसलिए $\vec{c} - \vec{b} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) \dots (i)$.
हमें $\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BD}$ दिया गया है।
स्थिति सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b})$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a})$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करने पर,$\vec{x} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) + 1(\vec{d} - \vec{a})$.
अतः,$\vec{x} = (\lambda + 1)(\vec{d} - \vec{a})$.
चूंकि $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,इसलिए $\vec{x} = (\lambda + 1) \vec{AD}$.
इसकी तुलना $\vec{x} = p \vec{AD}$ से करने पर,हमें $p = \lambda + 1$ प्राप्त होता है।

(B) चूंकि $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ है।
$\triangle CAD$ में सदिश योग के त्रिभुज नियम का उपयोग करने पर,$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB}$ प्राप्त होता है।
अब,हम अदिश गुणनफल $\vec{CA} \cdot \vec{CD}$ की गणना करते हैं:
$\vec{CA} \cdot \vec{CD} = \vec{CA} \cdot (\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB})$
$= |\vec{CA}|^2 + \frac{1}{2} (\vec{CA} \cdot \vec{AB})$
$= b^2 + \frac{1}{2} |\vec{CA}| |\vec{AB}| \cos(\pi - A)$
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \cos A$
$\triangle ABC$ में कोज्या नियम (cosine rule) के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ होता है।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)$
$= b^2 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4}$
$= \frac{4b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{4}$
$= \frac{1}{4}(a^2 + 3b^2 - c^2)$.

(B) माना समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाएँ $p = 5a + 2b$ और $q = a - 3b$ हैं।
समांतर चतुर्भुज के विकर्ण $d_1 = p + q$ और $d_2 = p - q$ द्वारा दिए जाते हैं।
$d_1 = (5a + 2b) + (a - 3b) = 6a - b$
$d_2 = (5a + 2b) - (a - 3b) = 4a + 5b$
दिया गया है $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$,और $a$ तथा $b$ के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $a \cdot b = |a||b| \cos 45^{\circ} = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
अब,पहले विकर्ण की लंबाई:
$|d_1| = |6a - b| = \sqrt{(6a - b) \cdot (6a - b)} = \sqrt{36|a|^2 + |b|^2 - 12(a \cdot b)}$
$|d_1| = \sqrt{36(8) + 9 - 12(6)} = \sqrt{288 + 9 - 72} = \sqrt{225} = 15$.
अब,दूसरे विकर्ण की लंबाई:
$|d_2| = |4a + 5b| = \sqrt{(4a + 5b) \cdot (4a + 5b)} = \sqrt{16|a|^2 + 25|b|^2 + 40(a \cdot b)}$
$|d_2| = \sqrt{16(8) + 25(9) + 40(6)} = \sqrt{128 + 225 + 240} = \sqrt{593}$.
अतः,विकर्णों की लंबाई $15$ और $\sqrt{593}$ है।

(A) प्रतिबंध $|a + b| = |a| + |b|$ तभी सत्य होता है जब सदिश $a$ और $b$ एक ही दिशा में हों,जिसका अर्थ है कि वे संरेख हैं और उनकी दिशा समान है।
इसका तात्पर्य यह है कि किसी अदिश $k > 0$ के लिए $a = k b$ है।
दिए गए $a = \hat{i} + x \hat{j} + \hat{k}$ और $b = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के लिए,हम घटकों की तुलना करते हैं:
$\frac{1}{1} = \frac{x}{1} = \frac{1}{1}$.
इससे हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k = 1 > 0$ है,इसलिए $x = 1$ के लिए यह शर्त संतुष्ट होती है।

(C) दिए गए समीकरण $x a + y b + z c = 0$ में सदिशों का मान रखने पर:
$x(\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) + z(8 \hat{i} + 13 \hat{j} + 9 \hat{k}) = 0$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:
$x + 2y + 8z = 0$ $(i)$
$2x + 3y + 13z = 0$ $(ii)$
$3x + y + 9z = 0$ $(iii)$
$(i) \times 2 - (ii)$ करने पर: $(2x + 4y + 16z) - (2x + 3y + 13z) = 0 \Rightarrow y + 3z = 0 \Rightarrow y = -3z$.
$y = -3z$ का मान $(i)$ में रखने पर:
$x + 2(-3z) + 8z = 0 \Rightarrow x - 6z + 8z = 0 \Rightarrow x + 2z = 0 \Rightarrow x = -2z$.
अब,$\frac{xy}{z^2}$ का मान ज्ञात करने पर:
$\frac{xy}{z^2} = \frac{(-2z)(-3z)}{z^2} = \frac{6z^2}{z^2} = 6$.

(B) दिया गया है कि $\overline{e_1}$ और $\overline{e_2}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overline{e_1}| = 1$ और $|\overline{e_2}| = 1$ है।
दिया गया है कि $|\overline{e_1} + \overline{e_2}| = \sqrt{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\overline{e_1} + \overline{e_2}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
$(\overline{e_1} + \overline{e_2}) \cdot (\overline{e_1} + \overline{e_2}) = 3$।
$|\overline{e_1}|^2 + |\overline{e_2}|^2 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$।
$1 + 1 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$।
$2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 1 \implies \overline{e_1} \cdot \overline{e_2} = \frac{1}{2}$।
अब,हम $(2 \overline{e_1} - 5 \overline{e_2}) \cdot (3 \overline{e_1} + \overline{e_2})$ का अदिश गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$= 6(\overline{e_1} \cdot \overline{e_1}) + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 15(\overline{e_2} \cdot \overline{e_1}) - 5(\overline{e_2} \cdot \overline{e_2})$।
$= 6|\overline{e_1}|^2 - 13(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 5|\overline{e_2}|^2$।
$= 6(1) - 13(\frac{1}{2}) - 5(1)$।
$= 6 - 6.5 - 5 = -5.5 = -\frac{11}{2}$।

(A) मान लीजिए कि सदिश $a$ और $b$ एक समांतर चतुर्भुज $OADC$ की भुजाओं $\vec{OA}$ और $\vec{OD}$ द्वारा दर्शाए गए हैं। विकर्ण $\vec{OC} = a+b$,$a$ और $b$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए कि $a$ और $b$ के बीच का कोण $2\theta$ है। तो $a$ और $a+b$ के बीच का कोण $\theta$ है।
समांतर चतुर्भुज $OADC$ में,$OA = |a|$ और $OD = AC = |b|$ है।
$C$ से $OA$ की विस्तारित रेखा $OB$ पर एक लंब खींचकर बने त्रिभुज $\triangle ABC$ पर विचार करें।
$\triangle ABC$ में,$AB = |b| \cos 2\theta$ और $BC = |b| \sin 2\theta$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle OBC$ में,$\tan \theta = \frac{BC}{OB} = \frac{|b| \sin 2\theta}{|a| + |b| \cos 2\theta}$ है।
द्वि-कोण सूत्रों $\sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ और $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \theta = \frac{|b| \left( \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}{|a| + |b| \left( \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \right)}$
$\tan \theta = \frac{2|b| \tan \theta}{|a|(1 + \tan^2 \theta) + |b|(1 - \tan^2 \theta)}$
चूंकि $a$ और $b$ असंरेख हैं,$\theta \neq 0$,इसलिए $\tan \theta \neq 0$ है। $\tan \theta$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{2|b|}{|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta}$
$|a| + |a| \tan^2 \theta + |b| - |b| \tan^2 \theta = 2|b|$
$|a|(1 + \tan^2 \theta) - |b|(1 + \tan^2 \theta) = 0$
$(|a| - |b|)(1 + \tan^2 \theta) = 0$
चूंकि $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \neq 0$,इसलिए $|a| - |b| = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|a| = |b|$।

(D) दिया है,$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OD}=\vec{d}$।
चूंकि $OA \parallel CB$ और $\frac{OA}{CB}=2$,इसलिए $\vec{CB} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$।
चूंकि $OD \parallel AB$ और $\frac{OD}{AB}=\frac{1}{3}$,इसलिए $\vec{AB} = 3\vec{OD} = 3\vec{d}$।
अब,हम आवश्यक योग को सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{d}$ के रूप में व्यक्त करते हैं:
$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \vec{d} - \vec{a}$।
$\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{DC}$।
पंचभुज की ज्यामिति से,$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + 3\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}$।
साथ ही,$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) - \vec{d} = \frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d}$।
इनका योग करने पर: $\vec{AD} + \vec{OC} + \vec{DC} = (\vec{d} - \vec{a}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{d}) + (\frac{1}{2}\vec{a} + 2\vec{d})$।
$= (-\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a}) + (\vec{d} + 3\vec{d} + 2\vec{d}) = 0\vec{a} + 6\vec{d} = 6\vec{d}$।

(A) दिया गया है कि $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+\vec{b}) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$,जो सरल होकर $6|\vec{a}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} \dots (i)$.
साथ ही,$(\vec{a}+4 \vec{b}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,जो सरल होकर $-|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3}$.
$18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 = 28|\vec{b}|^2 - 7|\vec{a}|^2$,इसलिए $25|\vec{a}|^2 = 43|\vec{b}|^2$,जिसका अर्थ है $|\vec{a}| = \sqrt{\frac{43}{25}} |\vec{b}| = \frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|$.
$|\vec{a}|^2 = \frac{43}{25} |\vec{b}|^2$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{57}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{19}{25} |\vec{b}|^2$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$,हमें प्राप्त होता है $\cos \theta = \frac{\frac{19}{25} |\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|) |\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{5\sqrt{43}}\right)$.

(C) दिया गया है $\vec{a}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ और $x=2 y$ है।
$|\vec{a}| = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \sqrt{(2y)^2+y^2+z^2} = \sqrt{5y^2+z^2}$।
दिया है $|\vec{a}| = 5 \sqrt{2}$,इसलिए $5y^2+z^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 50$।
चूंकि $\vec{a}$,$z$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाता है,$z$-अक्ष पर घटक $z = |\vec{a}| \cos 135^{\circ}$ होगा।
$z = 5 \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -5$।
$z = -5$ को समीकरण $5y^2+z^2 = 50$ में रखने पर:
$5y^2 + (-5)^2 = 50 \Rightarrow 5y^2 + 25 = 50 \Rightarrow 5y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = 5 \Rightarrow y = \pm \sqrt{5}$।
चूंकि $x = 2y$,इसलिए $x = \pm 2 \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\vec{a} = \pm 2 \sqrt{5} \hat{i} \pm \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $2 \sqrt{5} \hat{i} + \sqrt{5} \hat{j} - 5 \hat{k}$ है।

(C) मान लीजिए $\vec{a'}, \vec{b'}, \vec{c'}$ क्रमशः शीर्षों $A', B', C'$ के स्थिति सदिश हैं।
चूंकि शीर्षों से होकर सम्मुख भुजाओं के समानांतर रेखाएं खींची गई हैं,इसलिए $A$,$B'C'$ का मध्य-बिंदु है,$B$,$A'C'$ का मध्य-बिंदु है,और $C$,$A'B'$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर:
$\vec{a} = \frac{\vec{b'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{b'} + \vec{c'} = 2\vec{a}$
$\vec{b} = \frac{\vec{a'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{c'} = 2\vec{b}$
$\vec{c} = \frac{\vec{a'} + \vec{b'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{b'} = 2\vec{c}$
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2(\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}) = 2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\Delta A'B'C'$ का केंद्रक $G' = \frac{\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\vec{b}+\vec{c}=-\vec{a}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (-\vec{a}) \cdot (-\vec{a})$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$ प्राप्त होता है।
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos \theta = 7^2$।
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$।
$34 + 30 \cos \theta = 49$।
$30 \cos \theta = 15$।
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = 60^{\circ}$।

(C) दिया गया है कि $a$,$b = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 6 \hat{k}$ के साथ संरेख है।
अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $a = \lambda b$ होगा।
हमें अदिश गुणनफल $a \cdot b = 27$ दिया गया है।
अदिश गुणनफल के समीकरण में $a = \lambda b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(\lambda b) \cdot b = 27$
$\lambda (b \cdot b) = 27$
$\lambda |b|^2 = 27$
सबसे पहले,$|b|^2$ की गणना करें:
$|b|^2 = (3)^2 + (6)^2 + (6)^2 = 9 + 36 + 36 = 81$.
अब,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\lambda (81) = 27$
$\lambda = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $a = \lambda b$,इसलिए $|a| = |\lambda b| = |\lambda| |b|$ होगा।
$|b| = \sqrt{81} = 9$ की गणना करें।
अतः,$|a| = |\frac{1}{3}| \times 9 = 3$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$ है।
चूंकि $a, b$ और $c$ वाले तल के लंबवत है,इसलिए $a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$ है।
$b$ और $c$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $b \cdot c = |b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अब,$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ पर विचार करें।
मान रखने पर: $|a+b+c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + \frac{1}{2} + 0)$।
$|a+b+c|^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$।
अतः,$|a+b+c| = \sqrt{4} = 2$।

(C) माना स्थिति सदिश $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{C} = -\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$,और $\vec{D} = 5 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ हैं।
भुजा सदिशों की गणना:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$.
$\overrightarrow{CD} = \vec{D} - \vec{C} = 6 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{DA} = \vec{A} - \vec{D} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
एक चतुर्भुज के समांतर चतुर्भुज होने के लिए,सम्मुख भुजाएं समान और समांतर होनी चाहिए,अर्थात $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ और $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
यहाँ,$\overrightarrow{AB} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} = -6 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$.
चूंकि $\overrightarrow{AB} \neq \overrightarrow{DC}$,इसलिए यह चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज नहीं है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$।
इसका विस्तार करने पर $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए परिमाण $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=4$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2+(3)^2+(4)^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$1+9+16+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$26+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$।
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -26$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -13$।

(A) $\angle AOB$ को समद्विभाजित करने वाला सदिश $\vec{OD}$,$\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग की दिशा में होता है।
सबसे पहले,इकाई सदिश $\hat{a}$ और $\hat{b}$ ज्ञात करें:
$|\vec{OA}| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
$\hat{a} = \frac{\vec{OA}}{|\vec{OA}|} = \frac{-4\hat{i} + 3\hat{k}}{5}$
$|\vec{OB}| = \sqrt{14^2 + 2^2 + (-5)^2} = \sqrt{196 + 4 + 25} = \sqrt{225} = 15$
$\hat{b} = \frac{\vec{OB}}{|\vec{OB}|} = \frac{14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15}$
समद्विभाजक की दिशा $\vec{v} = \hat{a} + \hat{b} = \frac{-12\hat{i} + 9\hat{k} + 14\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}}{15} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}}{15} = \frac{2}{15}(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ है।
अतः $\vec{OD} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$ है।
दिया गया है कि $|\vec{OD}| = \sqrt{6}$,इसलिए $|\lambda| \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6} \implies |\lambda| \sqrt{6} = \sqrt{6} \implies |\lambda| = 1$.
इस प्रकार,$\vec{OD} = \pm(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$।

(D) दिए गए सदिश $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-7 \hat{k}$ और $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल से,हमें निम्नलिखित रैखिक समीकरण प्राप्त होते हैं:
$1) \vec{r} \cdot \vec{a} = 2x + 3y + z = 9$
$2) \vec{r} \cdot \vec{b} = 4x + y = 7$
$3) \vec{r} \cdot \vec{c} = x - 3y - 7z = 6$
समीकरण $(2)$ से,$y = 7 - 4x$ प्राप्त होता है।
$y$ का मान $(1)$ और $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(1) \Rightarrow 2x + 3(7 - 4x) + z = 9 \Rightarrow 2x + 21 - 12x + z = 9 \Rightarrow -10x + z = -12 \Rightarrow z = 10x - 12$
$(3) \Rightarrow x - 3(7 - 4x) - 7(10x - 12) = 6$
$x - 21 + 12x - 70x + 84 = 6$
$-57x + 63 = 6$
$-57x = -57 \Rightarrow x = 1$
अब,$y$ और $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y = 7 - 4(1) = 3$
$z = 10(1) - 12 = -2$
अतः,$(x, y, z) = (1, 3, -2)$.

(C) माना परिवृत्त का केंद्र मूल बिंदु $O$ है और त्रिज्या $R$ है। शीर्ष $A, B, C, D$ को सदिशों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ द्वारा दर्शाया गया है,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$ है।
दिया गया है कि $(AB)^2 + (CD)^2 = 4R^2$ है।
हम जानते हैं कि $(AB)^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ और $(CD)^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2 = 2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$।
$4R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$।
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 0$।
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।

(D) दिया गया है कि $|\vec{a}|=13, |\vec{b}|=5$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=60$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ होता है।
मान रखने पर: $60 = 13 \times 5 \times \cos \theta = 65 \cos \theta$।
अतः,$\cos \theta = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}$।
अब,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$।
इस प्रकार,$\sin \theta = \frac{5}{13}$।
हम यह भी जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ होता है।
मान रखने पर: $|\vec{a} \times \vec{b}| = 13 \times 5 \times \frac{5}{13} = 25$।

(A) माना $b = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया गया है $a \times b = c$,हम जानते हैं कि $c$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है।
चूंकि $c$,$b$ के लंबवत है,इसलिए $b \cdot c = 0$ होगा।
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}) = 0 \Rightarrow y - z = 0 \Rightarrow y = z$ (समीकरण $1$)।
दिया गया है $a \cdot b = 3$,इसलिए $(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 3 \Rightarrow x + y + z = 3$ होगा।
$y = z$ को इसमें रखने पर,हमें $x + 2y = 3$ प्राप्त होता है (समीकरण $2$)।
अब,सदिश गुणनफल $a \times b = c$ की गणना करें:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{j} - \hat{k}$।
सारणिक का विस्तार करने पर: $\hat{i}(z - y) - \hat{j}(z - x) + \hat{k}(y - x) = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $z - y = 0$ (जो $y = z$ है),$x - z = 1$,और $y - x = -1$ (जो $x - y = 1$ है)।
$x - y = 1$ से,हमारे पास $x = y + 1$ है।
$x = y + 1$ को समीकरण $2$ $(x + 2y = 3)$ में रखने पर:
$(y + 1) + 2y = 3 \Rightarrow 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}$।
चूंकि $y = z$,इसलिए $z = \frac{2}{3}$।
चूंकि $x = y + 1$,इसलिए $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
अतः,$b = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} = \frac{1}{3}(5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$।

(C) मान लीजिए $\vec{u} = \sqrt{P^2-4} \hat{i} + P \hat{j} + \sqrt{P^2+4} \hat{k}$ और $\vec{v} = \tan A \hat{i} + \tan B \hat{j} + \tan C \hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा के अनुसार,$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{P^2-4} \tan A + P \tan B + \sqrt{P^2+4} \tan C = 6P$ है।
हम जानते हैं कि $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण है।
सबसे पहले,$\vec{u}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{P^2-4})^2 + P^2 + (\sqrt{P^2+4})^2} = \sqrt{P^2-4 + P^2 + P^2+4} = \sqrt{3P^2} = \sqrt{3} |P|$।
अतः,$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = \sqrt{3} |P| \sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} \cos \theta = 6P$ है।
चूंकि $|P| \geq 2$,इसलिए $\sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} = \frac{6P}{\sqrt{3} P \cos \theta} = 2\sqrt{3} \sec \theta$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C = (2\sqrt{3})^2 \sec^2 \theta = 12 \sec^2 \theta$ है।
चूंकि $\sec^2 \theta \geq 1$,इसलिए न्यूनतम मान $12(1) = 12$ है।

(A) दिया गया है कि $a \times b = 2(a \times c)$,जिसे हम $a \times (b - 2c) = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि सदिश $(b - 2c)$,$a$ के समांतर है।
चूंकि $b - 2c = \lambda a$,हम इसके परिमाण का वर्ग ज्ञात करते हैं:
$|b - 2c|^2 = |b|^2 + 4|c|^2 - 4(b \cdot c)$.
यहाँ $|b| = 4$,$|c| = 1$,और $b$ तथा $c$ के बीच का कोण $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ है,इसलिए $b \cdot c = |b||c| \cos \theta = 4 \times 1 \times \frac{1}{4} = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|b - 2c|^2 = 4^2 + 4(1)^2 - 4(1) = 16 + 4 - 4 = 16$.
चूंकि $b - 2c = \lambda a$,इसलिए $|\lambda a|^2 = 16$,जिसका अर्थ है $\lambda^2 |a|^2 = 16$.
$|a| = 1$ होने के कारण,$\lambda^2 = 16$,अतः $\lambda = \pm 4$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $4$ है।

(D) दिया गया है $a=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $b=18 \hat{i}-22 \hat{j}-5 \hat{k}$.
चूंकि $x$,$a$ और $b$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $x$,$a \times b$ के समानांतर होना चाहिए।
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 18 & -22 & -5 \end{vmatrix} = 34 \hat{i} + 51 \hat{j} - 102 \hat{k}$.
दिशा सदिश को $17$ से विभाजित करने पर $v = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$,$\hat{j}$ के साथ अधिक कोण बनाता है,इसलिए $\hat{j}$ का घटक ऋणात्मक होना चाहिए।
माना $x = \lambda(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k})$ जहाँ $\lambda > 0$.
$|x| = 14$ होने पर,$\lambda \sqrt{4 + 9 + 36} = 14 \Rightarrow 7\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = 2$.
अतः $x = 2(-2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 6 \hat{k}) = -4 \hat{i} - 6 \hat{j} + 12 \hat{k}$.

(C) दिया गया है $x \times a = b$। दोनों पक्षों का $a$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$a \times (x \times a) = a \times b$
सदिश त्रिक गुणन नियम $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ का उपयोग करने पर:
$(a \cdot a)x - (a \cdot x)a = a \times b$
चूंकि $|a| = \sqrt{3}$,इसलिए $a \cdot a = |a|^2 = 3$:
$3x - (a \cdot x)a = a \times b$
$3x = (a \cdot x)a + a \times b$
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a + a \times b]$
चूंकि $a \times b = -(b \times a)$,हम लिख सकते हैं:
$x = \frac{1}{3}[(a \cdot x)a - b \times a]$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $(x \cdot a)a$ और $b \times a$ के रूप में है।

(D) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ और $\vec{b} = 2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(\lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$2 \lambda^2 + 3 \lambda + 5 = 0$
इस द्विघात समीकरण के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31$ है।
चूंकि $D < 0$ है,इसलिए $\lambda$ का कोई भी वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,वास्तविक मानों का समुच्चय $\phi$ है।

(A) दिया है $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\bar{b} = \sqrt{2} \hat{i} + 3 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \hat{k}$.
यहाँ $|\bar{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3 \sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{2 + 18 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(45^{\circ})$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_1(\sqrt{2}) + a_2(3 \sqrt{2}) + a_3(4) = \sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3$.
अतः,$\sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3 = |\bar{a}| \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} |\bar{a}|$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है $\sqrt{2}(a_1 + 3a_2 - 3|\bar{a}|) + 4a_3 = 0$.
चूंकि $a_1, a_2, a_3$ और $|\bar{a}|$ परिमेय हैं,समीकरण को संतुष्ट करने के लिए अपरिमेय भाग शून्य होना चाहिए और परिमेय भाग भी शून्य होना चाहिए।
अतः,$4a_3 = 0 \Rightarrow a_3 = 0$.
चूंकि $a_3 = 0$,सदिश $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j}$ $XY$-समतल में स्थित है।

(D) माना बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
माना $V = |\overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{BC} \times \overline{AD} + \overline{CA} \times \overline{BD}|$.
सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\overline{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overline{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overline{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overline{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overline{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,$\overline{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.
क्रॉस गुणन का विस्तार करने पर:
$V = |(\vec{b}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{c}) + (\vec{c}-\vec{b}) \times (\vec{d}-\vec{a}) + (\vec{a}-\vec{c}) \times (\vec{d}-\vec{b})|$.
$V = |(\vec{b} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{d} + \vec{a} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{d} - \vec{c} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{d} + \vec{b} \times \vec{a}) + (\vec{a} \times \vec{d} - \vec{a} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b})|$.
पदों को काटने पर,हमें मिलता है $V = |2(\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a})| = 2 |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
चूंकि $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$,इसलिए $V = 4 \times (\triangle ABC$ का क्षेत्रफल)।
अतः,$\lambda = 4$.

(A) दिया गया है: $a = 4 \hat{i} + 6 \hat{j}$ और $b = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$a$ का $b$ पर प्रक्षेप सदिश $c = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $a \cdot b = (4 \hat{i} + 6 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 18$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ ज्ञात करें।
अतः,$c = \left( \frac{18}{25} \right) b$.
अब,परिमाण $|c| = \left| \frac{18}{25} \right| |b| = \frac{18}{25} \times \sqrt{3^2 + 4^2} = \frac{18}{25} \times 5 = \frac{18}{5}$ ज्ञात करें।
इसलिए,$c = \frac{18}{25} b$ और $|c| = \frac{18}{5}$ है।

(B) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1) = (4, 3, -5)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, -8)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ इस प्रकार हैं:
$a = 4 - (-2) = 6$
$b = 3 - 1 = 2$
$c = -5 - (-8) = 3$
अतः,बिंदु $P(a, 3b, 2c)$ का मान $P(6, 3(2), 2(3)) = P(6, 6, 6)$ होगा।
अब,बिंदु $P(6, 6, 6)$ को दिए गए विकल्पों में जाँचने पर:
विकल्प $B$ के लिए: $x+y-2z = 6+6-2(6) = 12-12 = 0$ है।
चूँकि बिंदु समीकरण $x+y-2z=0$ को संतुष्ट करता है,अतः बिंदु $P$ इस समतल पर स्थित है।

(B) एक रेखा के दिक्कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है।
दिए गए दिक्कोसाइन $\frac{a}{\sqrt{83}}, \frac{5}{\sqrt{83}}, \frac{c}{\sqrt{83}}$ हैं।
अतः,$\left(\frac{a}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{5}{\sqrt{83}}\right)^2 + \left(\frac{c}{\sqrt{83}}\right)^2 = 1$.
$\Rightarrow \frac{a^2}{83} + \frac{25}{83} + \frac{c^2}{83} = 1$.
$\Rightarrow a^2 + 25 + c^2 = 83$.
$\Rightarrow a^2 + c^2 = 58$ ...$(i)$.
दिया गया है $c - a = 4$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $(c - a)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$c^2 + a^2 - 2ca = 16$.
समीकरण $(i)$ से $a^2 + c^2 = 58$ प्रतिस्थापित करने पर:
$58 - 2ca = 16$.
$2ca = 58 - 16 = 42$.
$ca = 21$.

(D) $X, Y, Z$-अक्षों पर $a, b, c$ अंतःखंड वाले समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
दिए गए अंतःखंड $a = -2, b = \frac{4}{3}, c = \frac{-4}{5}$ हैं।
इन मानों को रखने पर,समतल का समीकरण $\frac{x}{-2} + \frac{y}{4/3} + \frac{z}{-4/5} = 1$ है।
यह सरल होकर $-\frac{x}{2} + \frac{3y}{4} - \frac{5z}{4} = 1$ हो जाता है।
$4$ से गुणा करने पर,$-2x + 3y - 5z = 4$ या $2x - 3y + 5z + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
समतल के अभिलंब के दिक अनुपात $(2, -3, 5)$ हैं।
दिक कोज्याएँ $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ सूत्र का उपयोग किया जाता है।
यहाँ,$\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$ है।
अतः,दिक कोज्याएँ $\left(\frac{2}{\sqrt{38}}, \frac{-3}{\sqrt{38}}, \frac{5}{\sqrt{38}}\right)$ हैं।

(D) हम जानते हैं कि दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ और दिक्-कोसाइन $(\ell, m, n)$ के बीच संबंध $a = k\ell, b = km, c = kn$ होता है,जहाँ $k$ एक शून्येतर स्थिरांक है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{(k\ell)^2}{(km)^2+(kn)^2} = \frac{k^2\ell^2}{k^2(m^2+n^2)} = \frac{\ell^2}{m^2+n^2}$.
चूंकि $\ell^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $m^2 + n^2 = 1 - \ell^2$ होता है।
अतः,$\frac{a^2}{b^2+c^2} = \frac{\ell^2}{1-\ell^2}$।