यदि C_r = { }^n C_r है,तो C_0 + C_4 + C_8 + C | vedclass

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Question

(A) माना $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ पर विचार करें। इकाई के चतुर्थ मूल $\omega = i$ लें। मूल $1,

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$\frac{2^{\frac{n}{2}} \left[ \cos \frac{n \pi}{4} + 2^{\frac{n}{2}-1} \right]}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $S = C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ विस्तार $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ पर विचार करें। इकाई के चतुर्थ मूल $\omega = i$ लें। मूल $1, i, -1, -i$ हैं। इकाई के मूलों के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\sum_{k=0}^3 (1 + \omega^k x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r \sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$। आंतरिक योग $\sum_{k=0}^3 (\omega^r)^k$ का मान $4$ होता है यदि $r$,$4$ का गुणज है,अन्यथा $0$ होता है। अतः,$4S = (1+1)^n + (1+i)^n + (1-1)^n + (1-i)^n = 2^n + (1+i)^n + 0^n + (1-i)^n$। चूंकि $(1+i) = \sqrt{2} e^{i \pi/4}$ और $(1-i) = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}$,हमारे पास है: $(1+i)^n + (1-i)^n = 2^{n/2} (e^{i n \pi/4} + e^{-i n \pi/4}) = 2^{n/2} \cdot 2 \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$। इसलिए,$4S = 2^n + 2^{n/2+1} \cos \frac{n \pi}{4}$। $S = \frac{2^n}{4} + \frac{2^{n/2+1}}{4} \cos \frac{n \pi}{4} = 2^{n-2} + 2^{n/2-1} \cos \frac{n \pi}{4}$। इसे $\frac{2^{n/2} [\cos \frac{n \pi}{4} + 2^{n/2-1}]}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

यदि $C_r = { }^n C_r$ है,तो $C_0 + C_4 + C_8 + C_{12} + \ldots$ का योग ज्ञात कीजिए।

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